Rasionalisasi (matematika)

Dalam aljabar elementer, merasionalkan akar adalah proses menghilangkan Akar bilangan pada bagian penyebut dari suatu pecahan.

Jika bagian penyebutnya merupakan monomial dalam bentuk akar, seperti  (dengan ), maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan .

Jika , maka menurut pembagian bersisa,  dapat ditulis sebagai

sehingga diperoleh

yang kemudian dapat dilanjutkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan , serupa seperti sebelumnya.

Jika bagian penyebutnya linear dalam akar kuadrat, katakanlah , maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan , dan menjabarkan hasil perkalian pada bagian penyebut.

Teknik ini dapat diperluas menjadi sembarang penyebut aljabar, dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan semua konjugat aljabar dari bagian penyebut, dan menjabarkan penyebut yang baru dengan norma dari penyebut yang lama. Akan tetapi, terkecuali pada kasus khusus, hasil pecahannya mungkin memiliki bagian pembilang dan penyebut yang cukup besar, sehingga teknik ini umumnya digunakan hanya untuk kasus-kasus dasar seperti di atas.

 Merasionalkan monomial akar kuadrat dan akar kubik 
Cara dasar untuk merasionalkan akar adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama.

 Contoh 1 
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan  pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh

Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kuadrat, sebab , berdasarkan definisi akar kuadrat:

yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

 Contoh 2 
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan  pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh

Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kubik, sebab akar kubiknya telah dipangkatkan tiga. Akibatnya,

yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

 Akar sekawan 
Jika bagian penyebutnya adalah

maka proses merasionalkan akarnya dapat dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan:

dan diikuti oleh identitas selisih dua bilangan kuadrat (yang dalam kasus ini, menghasilkan bilangan ). Cara ini berlaku secara umum, yaitu ekspresi akar dalam bentuk  pada bagian penyebut dapat dihilangkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan .

 Contoh 3 
Untuk merasionalkan ekspresi , maka dengan mengalikan  pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh

Dari sini, akar kuadrat pada bagian penyebut berhasil dihilangkan, yang menghasilkan ekspresi

 Contoh 4 
Proses ini juga berlaku untuk bilangan kompleks. Misalnya, pecahan

dapat dirasionalkan menjadi

 Perumuman 
Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua bilangan aljabar dan fungsi aljabar (sebagai bentuk penerapan dari bentuk norma). Sebagai contoh, untuk merasionalkan akar pangkat tiga, diperlukan dua faktor linear yang melibatkan akar satuan ketiga, atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.

 Referensi 
Materi ini terdapat pada buku-buku aljabar klasik. Misalnya:
  George Chrystal, Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189–199.

Kategori:Aljabar elementer
Kategori:Pecahan (matematika)