Teorema Heine–Borel

Dalam analisis real, teorema Heine–Borel menyatakan bahwa untuk sembarang bilangan asli , suatu himpunan bagian  dari ruang Euklides  adalah himpunan kompak jika dan hanya jika  merupakan himpunan tertutup dan terbatas. Teorema ini dinamai dari Eduard Heine and Émile Borel.

 Sejarah dan Motivasi 
Sejarah dari apa yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel bermula pada abad ke-19, dengan pencarian fondasi yang kokoh dari analisis real. Inti dari teori ini adalah konsep kontinu seragam dan sebuah teorema yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup dan terbatas bersifat kontinu seragam. Peter Gustav Lejeune Dirichlet adalah orang pertama yang berhasil membuktikan hal ini, dan dia secara implisit menggunakan eksistensi dari subliput hingga dari peliput buka yang diberikan pada sebuah selang tertutup dalam pembuktiannya. Dirichlet menggunakan pembuktian ini pada kuliah tahun 1852 yang ia selenggarakan, yang baru dipublikasikan pada tahun 1904. Eduard Heine, Karl Weierstrass, dan Salvatore Pincherle kemudian menggunakan teknik serupa. Pada tahun 1895, Émile Borel adalah orang pertama yang menyatakan dan membuktikan pernyataan yang sekarang dikenal dengan teorema Heine-Borel. Formulasi yang dia buat dibatasi hanya untuk peliput terhitung. Pierre Cousin (1895), Henri Léon Lebesgue (1898), dan Arthur Moritz Schoenflies (1900) memperumumnya untuk sembarang peliput.

 Bukti 
 Implikasi "hanya jika" 
Diambil sembarang . Diketahui  adalah himpunan kompak. Dengan kata lain, setiap peliput buka dari  memiliki subliput berhingga. Misalkan  menyatakan bola berjari-jari  yang berpusat pada titik .

 Sifat keterbatasan 
Akan dibuktikan bahwa  bersifat terbatas. Perhatikan bahwa  merupakan himpunan terbuka pada , dan

Akibatnya,  adalah peliput buka dari . Oleh karena  adalah himpunan kompak, maka terdapat suatu titik  sedemikian sehingga

Misalkan  dengan . Diambil sembarang titik . Jika  menyatakan titik pusat dari bola yang memuat titik , maka menurut pertidaksamaan segitiga :

Akibatnya, diameter dari  terbatas oleh 

 Sifat ketertutupan 
Akan dibuktikan bahwa  bersifat tertutup melalui kontradiksi. Andaikan  merupakan himpunan kompak, tetapi bukan merupakan himpunan tertutup, maka terdapat suatu titik limit . Didefinisikan

dengan . Perhatikan bahwa  merupakan himpunan terbuka  pada , untuk sembarang , dan

Akibatnya,  merupakan peliput buka dari himpunan . Sekarang perhatikan sembarang subliput hingga dari peliput tersebut, yaitu

Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa . Berdasarkan definisi dari , maka himpunan di atas dapat ditulis sebagai

Perhatikan bahwa
 di satu sisi, himpunan  bersifat saling lepas dengan suatu persekitaran dari titik , yaitu , dengan . Dengan kata lain, 
 di sisi lain, irisan dari himpunan  dan himpunan  tidaklah kosong, sebab diketahui di awal bahwa titik  merupakan titik limit.
Hal ini jelas mustahil terjadi, sebab suatu himpunan tidak mungkin kosong sekaligus tidak kosong. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan  bukan merupakan himpunan tertutup) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa  merupakan himpunan tertutup apabila  adalah himpunan kompak.

Dengan argumentasi serupa, maka dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian kompak  dari suatu ruang topologis Hausdorff  bersifat tertutup pada .

 Implikasi "jika" 
Diambil sembarang  dan sembarang bilangan riil . Pertama-tama, akan dibuktikan bahwa himpunan  merupakan himpunan himpunan kompak melalui kontradiksi.

Andaikan  bukan merupakan himpunan kompak, maka terdapat suatu peliput buka

dari  yang tidak memiliki subliput hingga. Himpunan  kemudian dipartisi menjadi  subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan . Jika semua  subhimpunan dari himpunan  masing-masing dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari , maka himpunan  juga dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari  (yaitu dengan menggabungkan semua subliput hingga dari masing-masing  subhimpunan yang telah dipartisi). Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi berdasarkan asumsi di awal (bahwasanya himpunan  bukan merupakan himpunan kompak). Akibatnya, setidaknya salah satu dari  subhimpunan dari himpunan  tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari . Misalkan subhimpunan ini dinamai .

Dengan proses serupa, himpunan  kemudian dipartisi menjadi  subhimpunan, masing-masing memiliki diameter yang ukurannya setengah dari diameter himpunan . Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, hal ini mengakibatkan setidaknya salah satu dari  subhimpunan dari himpunan  tidak dapat diliput oleh suatu subliput berhingga dari . Misalkan subhimpunan ini dinamai . Proses ini terus dilanjutkan, sehingga terbentuk barisan

Perhatikan bahwa ukuran diameter dari himpunan  ialah , yang akan menuju 0 saat nilai  menuju tak hingga. Misalkan didefinisikan suatu barisan  dengan sifat , untuk setiap . Barisan ini adalah barisan Cauchy, sehingga barisan ini akan konvergen ke suatu nilai limit . Oleh karena  untuk setiap  dan setiap himpunan  merupakan himpunan tertutup, maka diperoleh  untuk setiap .

Berdasarkan definisi dari peliput suatu himpunan, maka berlaku . Oleh karena , maka diperoleh . Dengan kata lain, himpunan  meliput titik . Akibatnya, terdapat suatu  sedemikian sehingga . Oleh karena  adalah himpunan terbuka, maka terdapat suatu  sedemikian sehingga . Jika dipilih , maka . Akibatnya, diperoleh

Berdasarkan hasil di atas, himpunan  memiliki setidaknya satu peliput hingga, yaitu . Akan tetapi, hal ini mustahil terjadi, sebab telah diperoleh sebelumnya bahwa setiap himpunan  tidak dapat diliput oleh suatu subliput hingga dari . Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya himpunan  bukan merupakan himpunan kompak) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa himpunan  merupakan himpunan himpunan kompak.

Diketahui bahwa himpunan  adalah himpunan tertutup dan terbatas. Oleh karena himpunan  adalah himpunan terbatas, maka terdapat suatu  sedemikian sehingga . Misalkan  adalah suatu peliput buka dari himpunan . Oleh karena himpunan  adalah himpunan tertutup, maka  adalah himpunan tertutup, dan himpunan

adalah peliput buka dari himpunan , sebab untuk sembarang elemen 
 Jika , maka , sehingga diperoleh  (sebab )
 Jika , maka , sehingga diperoleh  (sebab )

Telah dibuktikan sebelumnya bahwa himpunan  merupakan himpunan kompak. Akibatnya, peliput buka  memiliki suatu subliput hingga  yang sekaligus meliput himpunan .

Perhatikan bahwa setiap anggota pada himpunan  bukanlah anggota dari himpunan . Akibatnya, himpunan  dapat diliput oleh

yang merupakan subliput hingga dari . Oleh karena  adalah sembarang peliput buka dari himpunan , maka terbukti bahwa himpunan  merupakan himpunan kompak.

 Sifat Heine–Borel 
Teorema Heine-Borel tidak berlaku pada ruang vektor topologis dan ruang metrik secara umum, sehingga perlu adanya istilah khusus untuk menggambarkan ruang-ruang yang memenuhi proposisi ini. Ruang-ruang ini disebut memiliki sifat Heine-Borel.

 Sifat Heine-Borel pada ruang metrik 
Suatu ruang metrik  dikatakan memiliki sifat Heine-Borel jika setiap himpunan yang bersifat tertutup dan terbatasSuatu himpunan  pada ruang metrik  dikatakan terbatas jika  termuat pada suatu bola yang berjari-jari berhingga. Dengan kata lain, terdapat suatu  dan  sedemikian sehingga  pada  adalah himpunan kompak.

Banyak ruang metrik yang tidak memiliki sifat Heine-Borel, seperti ruang metrik bilangan rasional (atau secara umum, setiap ruang metrik tak lengkap). Ruang metrik lengkap pun belum tentu memiliki sifat Heine-Borel. Misalnya, tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang metrik). Bahkan yang lebih trivial, jika garis bilangan real tidk dilengkapi dengan metrik biasa, maka bisa saja sifat Heine-Borel tidak terpenuhi.

Suatu ruang metrik  memiliki metrik Heine-Borel (yang identik lokal Cauchy dengan ) jika dan hanya jika ruang tersebut lengkap, kompak , dan kompak lokal.

 Sifat Heine-Borel pada ruang vektor topologis 
Suatu ruang vektor topologis  dikatakan memiliki sifat Heine-Borel  jika setiap himpunan tertutup dan terbatasSuatu himpunan  pada ruang vektor topologis  dikatakan terbatas jika setiap persekitaran  dari vektor nol pada , terdapat suatu skalar  sedemikian sehingga berlaku  pada  adalah himpunan kompakJika topologi dari suatu ruang vektor topologis  dibangkitkan dari suatu metrik , definisi ini tidak ekuivalen dengan definisi dari sifat Heine-Borel pada  sebagai suatu ruang metrik, sebab konsep dari himpunan terbatas pada  sebagai suatu ruang metrik itu berbeda dengan konsep dari himpunan terbatas pada  sebagai suatu ruang topologis. Sebagai contoh, ruang  dari fungsi mulus pada selang  yang dilengkapi dengn metrik  (notasi  menyatakan turunan ke- dari fungsi ) memiliki sifat Heine-Borel sebagai ruang vektor topologis, tetapi sebagai ruang metrik, ruang tersebut tidak memiliki sifat Heine-Borel. (R. E. Edwards menggunakan istilah ruang kompak terbatas). Tidak ada ruang Banach berdimensi tak hingga yang memiliki sifat Heine-Borel (sebagai ruang vektor topologis), tetapi beberapa ruang Fréchet memilikinya. Misalnya, ruang  dari fungsi-fungsi mulus pada himpunan terbuka  dan ruang  dari fungsi-fungsi holomorfik pada suatu himpunan terbuka .

 Lihat juga 
 Teorema Bolzano–Weierstrass

 Catatan 

 Referensi 

 BookOfProofs: Sifat Heine-Borel





 Pranala luar 


 Mathworld "Teorema Heine-Borel"
 "Analisis dari Bukti Pertama dari Teorema Heine-Borel - Bukti Lebesgue"

Kategori:Teorema dalam analisis real
Kategori:Topologi umum
Kategori:Sifat dari ruang topologis
Kategori:Teorema kekompakan
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian