Jumlah alikuot

Dalam teori bilangan, jumlah alikuot dari bilangan bulat positif  adalah penjumlahan dari seluruh pembagi sejati dari , yaitu seluruh pembagi  kecuali  itu sendiri. Ekspresi tersebut dinotasikan sebagai berikut:

Jumlah alikuot dapat digunakan untuk mengkarakterisasi banyak karakter bilangan, di antaranya adalah bilangan prima, bilangan sempurna, bilangan sosiabel, bilangan defisien, bilangan berlimpah, bilangan tak tersentuh, dan juga untuk menentukan barisan alikuot suatu bilangan.

 Contoh 
Pembagi sejati dari 12, yaitu bilangan pembagi positif 12 yang bukan 12 adalah , dan 6, maka jumlah alikuot dari 12 adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Nilai  untuk  adalah:

 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... 

 Karakterisasi kelas bilangan 
Fungsi penjumlahan alikuot dapat digunakan untuk mengkarakterisasi beberapa kelas bilangan penting, yaitu:

 1 adalah satu-satunya bilangan yang jumlah alikuotnya 0.
 Suatu bilangan adalah prima jika dan hanya jika jumlah alikuotnya adalah 1.
 Suatu bilangan sempurna jika jumlah alikuotnya sama dengan bilangan itu sendiri. Dalam definisi yang mirip, bilangan defisien dan bilangan berlimpah adalah bilangan yang jumlah alikuotnya lebih kecil dan lebih besar dari bilangan itu sendiri. 
 Bilangan kuasisempurna (jika bilangan tersebut ada) adalah bilangan  yang jumlah alikuotnya sama dengan . 
 Bilangan hampir sempurna (termasuk , bilangan-bilangan yang diketahui sejauh ini) adalah bilangan  yang jumlah alikuotnya sama dengan .
 Bilangan tak tersentuh adalah bilangan yang bukan merupakan penjumlahan alikuot dari bilangan lainnya.  Studi tentang bilangan tak tersentuh setidaknya dimulai dari masa Abu Mansur al-Baghdadi (sekitar tahun 1000 M), yang mengamati bahwa angka 2 dan 5 tidak dapat disentuh. Paul Erdős membuktikan bahwa jumlah bilangan tak tersentik tidak terbatas. Dugaan bahwa 5 adalah satu-satunya bilangan ganjil tak tersentuh masih belum terbukti, tetapi bilangan ini akan mengikuti bentuk konjektur Goldbach bersama dengan pengamatan bahwa, untuk bilangan semiprima , jumlah alikuotnya adalah .

 Perulangan 
Perulangan dari fungsi penjumlahan alikuot akan menghasilkan barisan alikuot  dengan  adalah bilangan bulan bukan negatif. Dalam barisan alikuot ini,  didefinisikan sebagai 0, yaitu .

Dua kelas bilangan spesial yang ada dari baris alikuot ini adalah bilangan sosiabel dan bilangan akrab. Bilangan sosiabel adalah baris alikuotnya berupa barisan periodik. Bilangan akrab adalah bilangan sosiabel yang memiliki periode barisan 2.

Barisan alikuot ini dapat diakhiri oleh bilangan prima, bilangan sempurna, atau periode dari bilangan sosiabel.

 Referensi 

Kategori:Fungsi aritmetika
Kategori:Angka sempurna