Hukum De Morgan

Dalam logika proposional dan aljabar Boolean, Hukum De Morgan, aturan De Morgan, atau teorema De MorganTeorema De Morgan adalah sepasang aturan penarikan kesimpulan yang menghubungkan konjungsi dan disjungsi melalui negasi. Aturan ini dinamai dari Augustus De Morgan, seorang matematikawan abad ke-19 berkebangsaan Inggris.

Hukum De Morgan dapat dinyatakan dalam bahasa Indonesia sebagai:
 Negasi dari disjungsi adalah konjungsi dari negasi
 Negasi dari konjungsi adalah disjungsi dari negasi
atau
 Komplemen dari gabungan dua himpunan sama dengan irisan dari komplemen kedua himpunan tersebut
 Komplemen dari irisan dua himpunan sama dengan gabungan dari komplemen kedua himpunan tersebut
atau
 bukan ( atau ) = (bukan ) dan (bukan )
 bukan ( dan ) = (bukan ) atau (bukan )
dengan " atau " menyatakan disjungsi inklusif (yang berarti setidaknya satu dari dari  atau  bernilai benar), dan bukan logika disjungsi eksklusif (yang berarti tepat satu dari dari  atau  bernilai benar).

Dalam teori himpunan dan aljabar Boolean, Hukum De Morgan dapat ditulis secara formal sebagai

dengan
  dan  adalah sembarang himpunan
  menyatakan komplemen dari himpunan 
  menyatakan operasi irisan pada himpunan
  menyatakan operasi gabungan pada himpunan

Dalam bahasa formal, Hukum De Morgan dapat ditulis secara formal sebagai

dengan
  dan  merupakan proposisi
  menyatakan operator logika negasi (tidak)
  menyatakan operator logika konjungsi (dan)
  menyatakan operator logika disjungsi (atau)
  adalah simbol metalogika yang berarti "dalam bukti logis, dapat diganti dengan" dan sering kali dibaca sebagai "jika dan hanya jika". Untuk setiap kombinasi nilai benar/salah untuk  dan , ruas kiri dan kanan dari panahnya akan memiliki nilai kebenaran yang sama setelah diselesaikan.
Bentuk lain dari Hukum De Morgan dapat dinyatakan sebagai berikut

Penerapan dari aturan ini salah satunya ialah menyederhanakan ekspresi logika pada program komputer dan desain rangkaian digital. Hukum De Morgan adalah contoh dari suatu konsep umum dari dualitas matematika.

 Notasi Formal 
Dengan menggunakan notasi sekuensi, maka aturan negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :

Dengan cara serupa, aturan negasi dari disjungsi dapat ditulis dalam notasi sekuensi sebagai berikut :

Dalam bentuk aturan, negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :
{| style = "text-align:center"
|-
| 
| 
| 
|}

Dengan cara serupa, negasi dari konjungsi dapat ditulis sebagai berikut :
{| style = "text-align:center"
|-
| 
| 
| 
|}

dan saat dituliskan sebagai suatu teorema dalam logika proposisional, maka Hukum De Morgan dapat dinyatakan sebagai

dengan  dan  adalah proposisi yang diekspresikan dalam suatu sistem formal.
Hukum De Morgan yang diperumum menawarkan ekuivalensi saat menegasikan konjungsi atau disjungsi yang melibatkan banyak suku. Jika  menyatakan proposisi ke-, maka Hukum De Morgan yang diperumum ialah

 Teori himpunan 
Dalam teori himpunan, Hukum De Morgan sering kali dinyatakan sebagai "gabungan dan irisan ditukar saat dikomplemenkan",Boolean Algebra by R. L. Goodstein.  yang dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut :

dengan
  dan  adalah sembarang himpunan
  menyatakan komplemen dari himpunan 
  menyatakan operasi irisan pada himpunan
  menyatakan operasi gabungan pada himpunan

Hukum De Morgan juga dapat diperumum untuk sembarang jumlah himpunan, yaitu

dengan  adalah suatu himpunan indeks (bisa himpunan terhitung, maupun himpunan tak terhitung)

Rekayasa
Dalam aljabar Boolean, teknik listrik dan teknik komputer, Hukum De Morgan biasa ditulis sebagai berikut :

dengan
  menyatakan operator logika negasi (TIDAK) dari 
  menyatakan operator logika konjungsi (DAN)
  menyatakan operator logika disjungsi (ATAU)

 Pencarian teks 
Hukum De Morgan sering digunakan dalam pencarian teks menggunakan operator Boolean DAN, ATAU, dan BUKAN (TIDAK). Misalkan terdapat beberapa dokumen yang memuat kata "merah" dan "biru". Hukum De Morgan menyatakan bahwa kedua pencarian ini akan menghasilkan dokumen-dokumen yang sama :

Pencarian A : BUKAN (merah ATAU biru)
Pencarian B : (BUKAN merah) DAN (BUKAN biru)

Dokumen-dokumen yang memuat kata "Merah" atau "biru" dapat dikelompokkan menjadi empat kategori, yaitu :
Kategori 1 : Hanya memuat kata "merah"
Kategori 2 : Hanya memuat kata "biru"
Kategori 3 : Memuat kata "merah" dan juga "biru"
Kategori 4 : Tidak memuat kata "merah" maupun "biru"

Di satu sisi, jelas bahwa pencarian "(merah ATAU biru)" akan menampilkan kategori 1, 2, dan 3. Akibatnya, negasi dari pencarian tersebut (yaitu hasil pencarian A) akan menampilkan dokumen-dokumen lainnya, yaitu dokumen-dokumen pada kategori 4.

Di sisi lain, pencarian "(BUKAN merah)" akan menampilkan kategori 2 dan kategori 4, dan pencarian "(BUKAN biru)" akan menampilkan kategori 1 dan kategori 4. Dengan menerapkan operator DAN pada kedua pencarian ini (yaitu pencarian B), maka hasilnya akan menampilkan hasil yang sama-sama dijumpai pada kedua pencarian ini, yaitu dokumen-dokumen pada kategori 4.

Argumentasi serupa juga dapat diterapkan pada dua pencarian berikut

Pencarian C : BUKAN (merah DAN biru)
Pencarian D : (BUKAN merah) ATAU (BUKAN biru)

yang sama-sama menampilkan dokumen-dokumen pada kategori 1, 2, dan 4

 Bukti formal 
Disini, akan digunakan notasi  untuk menyatakan komplemen dari himpunan , sama seperti penggunaan pada . Untuk membuktikan bahwa , maka
 Bagian pertama 
Akan dibuktikan bahwa . Diambil sembarang elemen . Perhatikan bahwa

Akan dibuktikan bahwa  akan mengakibatkan  dan  melalui kontradiksi.
 Andaikan , maka . Akan tetapi, hal itu mustahil terjadi, sebab diperoleh informasi bahwasanya  pada baris pertama di atas. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian di awal (bahwasanya ) bernilai salah. Akibatnya, diperoleh .
 Andaikan , maka . Akan tetapi, hal itu mustahil terjadi, sebab diperoleh informasi bahwasanya  pada baris pertama di atas. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian di awal (bahwasanya ) bernilai salah. Akibatnya, diperoleh .
Dari dua kasus di atas, maka terbukti bahwa  akan mengakibatkan  dan .

sehingga terbukti bahwa .
 Bagian kedua 
Akan dibuktikan bahwa . Diambil sembarang elemen . Perhatikan bahwa

Akan dibuktikan bahwa  dan  akan mengakibatkan  melalui kontradiksi. Andaikan , maka menurut definisi operasi gabungan pada himpunan, diperoleh  atau .
 Jika , maka hal tersebut kontradiksi dengan hasil pada baris kedua di atas (bahwasanya )
 Jika , maka hal tersebut kontradiksi dengan hasil pada baris kedua di atas (bahwasanya )
Oleh karena terjadi kontradiksi pada kedua kasus di atas, maka pengandaian di awal (bahwasanya ) bernilai salah. Akibatnya, terbukti bahwa informasi  dan  akan mengakibatkan .

sehingga terbukti bahwa .

Argumentasi serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa 

 Referensi 

 Pranala luar 



 Dualitas dalam Logika dan Bahasa, Internet Encyclopedia of Philosophy.

Kategori:Aljabar Boolean
Kategori:Teori-teori dualitas
Kategori:Aturan penarikan kesimpulan
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Teorema dalam logika proposisional