Teorema limit seragam

Dalam matematika, teorema limit seragam menyatakan bahwa limit seragam dari suatu barisan fungsi kontinu juga fungsi kontinu.

 Isi Pernyataan 
Lebih tepatnya, diberikan  adalah suatu ruang topologis dan  adalah ruang metrik. Misalkan  adalah barisan fungsi yang konvergen seragam ke fungsi . Menurut teorema limit seragam, jika fungsi  adalah fungsi kontinu (untuk setiap bilangan asli ), maka limit fungsinya (yaitu fungsi ) adalah fungsi kontinu juga.

Teorema ini tidak berlaku jika hipotesis konvergensi seragam diganti dengan konvergensi titik demi titik. Sebagai contoh, misalkan  adalah barisan fungsi . Dari definisi fungsi , terlihat jelas bahwa fungsi  adalah fungsi kontinu, untuk setiap bilangan asli . Akan tetapi, barisan tersebut konvergen titik demi titik ke suatu fungsi  yang diskontinu, dengan
 Contoh lainnya dapat dilihat pada gambar di bagian kanan atas halaman ini.

Dalam istilah pada ruang fungsi, teorema limit seragam menyatakan bahwa ruang  dari semua fungsi kontinuu dari ruang topologis  ke ruang metrik  adalah himpunan bagian tertutup dari  terhadap norma seragam. Pada kasus di mana  merupakan ruang metrik lengkap, hal tersebut mengakibatkan  juga merupakan ruang metrik lengkap. Lebih lanjut, jika  adalah ruang Banach, maka  itu sendiri adalah ruang Banach terhadap norma seragam.

Teorema limit seragam juga berlaku jika hipotesis fungsi kontinu diganti dengan kontinu seragam. Dengan kata lain, jika  dan  adalah ruang metrik dan  adalah barisan fungsi kontinu seragam yang konvergen seragam ke fungsi , maka fungsi  juga fungsi yang kontinu seragam.

 Bukti 
 Kasus Khusus : Bilangan Riil dengan Jarak Euklides 
Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi  pada interval  dengan fungsi jarak beda mutlak, maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa

untuk setiap .

Diambil sembarang  dan suatu nilai . Berdasarkan hipotesis,
 Diketahui bahwa fungsi  konvergen seragam ke . Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka  untuk sembarang . Jika dipilih , maka berlaku pertidaksamaan  untuk sembarang . Oleh karena , maka berlaku juga 
 Diketahui bahwa fungsi  adalah fungsi kontinu pada interval , untuk setiap . Berdasarkan definisi kontinuu, maka  Oleh karena , maka 
Apabila dipilih , maka semua pertidaksamaan di atas akan terpenuhi, sehingga dengan menggunakan pertidaksamaan segitiga, diperoleh

Oleh karena nilai  dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi  kontinuu pada .

 Perumuman 
Untuk membuktikan kekontinuan dari fungsi  pada suatu ruang topologis  dengan suatu ruang metrik , maka berdasarkan definisi kekontinuan, harus ditunjukkan bahwa untuk setiap , terdapat suatu persekitaran  dari setiap titik  sedemikian sehingga

Diambil sembarang  dan suatu nilai . Berdasarkan hipotesis,
 Diketahui bahwa fungsi  konvergen seragam ke . Berdasarkan definisi konvergensi seragam, maka  Jika dipilih , maka berlaku pertidaksamaan  untuk sembarang . Oleh karena , maka berlaku 
 Diketahui bahwa fungsi  adalah fungsi kontinu pada ruang topologis , untuk setiap . Berdasarkan definisi kontinuu, maka  Oleh karena , maka 
Diambil sembarang . Dengan menggunakan aksioma pertidaksamaan segitiga pada ruang metrik , diperoleh

Oleh karena nilai  dan  dipilih secara sembarang, maka terbukti bahwa fungsi  kontinuu pada .

 Teorema Limit Seragam dalam Analisis Kompleks 
Terdapat beberapa variasi dari teorema limit seragam yang digunakan dalam analisis kompleks, walau dengan modifikasi asumsi.

 Catatan 

 Referensi 



 E. M. Stein, R. Shakarachi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.

 E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.

Kategori:Teorema dalam analisis real
Kategori:Topologi dari ruang fungsi