Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi  dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan -skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen  atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai



dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru,  dan  adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan  adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

 Contoh 
Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides  yang dihasilkan dari rotasi sebesar  Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar  dan  sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi  dan  sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagaiRumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika  adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat  maka



Sehingga,



Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan  dan  merujuk pada objek yang sama,



 Rumus perubahan basis 
Misalkan  adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga  atas suatu lapangan . Seorang dapat mendefinisikan  elemen baru  (dengan ) berdasarkan koordinat vektor tersebut , atas 



Misalkan



sebagai matriks yang kolom ke--nya dibentuk dari koordinat . (Di bagian ini dan seterusnya, indeks  selalu digunakan untuk merujuk baris di  dan  sedangkan indeks  selalu digunakan untuk merujuk kolom di  dan  konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut  disebut basis dari  jika dan hanya jika matriks  terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini,  disebut matriks perubahan basis dari basis  ke basis .

Untuk sebarang elemen  misalkan  adalah koordinat  atas , dan  adalah koordinatnya atas , kita memiliki hubunganDengan menjabarkan hubungan tersebut,kita dapatkanDalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalahdengan  dan  masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat  atas s  dan atas .

 Catatan kaki 

 Referensi 

 Daftar pustaka 







 Pranala luar 

 MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare

 Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy