Metode koefisien tak tentu

Dalam matematika, metode koefisien tak tentu adalah suatu pendekatan untuk mencari solusi khusus dari suatu persamaan diferensial biasa nonhomogen dan relasi perulangan nonhomogen.

Metode koefisien tak tentu tidak seumum metode variasi parameter, sebab metode ini hanya berlaku untuk persamaan diferensial yang memiliki bentuk tertentu. Untuk persamaan yang kompleks, pencarian solusi menggunakan metode variasi parameter akan memakan waktu yang lebih sedikit.Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. .

 Deskripsi Metode 
Perhatikan persamaan diferensial biasa linear nonhomogen dengan bentuk umum sebagai berikut

di mana
  menyatakan turunan ke- dari 
  adalah suatu konstanta


Metode koefisien tak tentu menyediakan cara untuk memperoleh solusi dari PDB ini apabila fungsi  merupakan:
 fungsi polinomial
 fungsi eksponensial (dengan bentuk umum )
 fungsi sinus dan kosinus (dengan bentuk umum  atau )
 hasil perkalian dan penjumlahan berhingga dari (1), (2), dan (3) (misalnya )
untuk suatu konstanta  dan 

Misalkan  adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah , dan misalkan  adalah solusi persamaan diferensial linear yang ruas kanannya adalah . Secara matematis, maka


Oleh karena operator diferensial bersifat linier, maka dengan menggunakan asas superposisi, didapatkan

Dengan kata lain, jika fungsi  di ruas kanan dapat dinyatakan sebagai , maka solusi akhirnya adalah jumlahan dari masing-masing solusi, yaitu . Jika  (yang mengakibatkan ), maka fungsi  disebut sebagai solusi umum, dan  disebut sebagai solusi khusus.

Metode ini secara umum terdiri dari dua bagian, yaitu:
 Pencarian solusi umum, yaitu suatu fungsi  sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi  Dengan kata lain, persamaan diferensialnya dipandang sebagai persamaan diferensial homogen terlebih dahulu.
 Pencarian solusi khusus, yaitu suatu fungsi  sedemikian sehingga fungsi tersebut memenuhi 

Setelah diperoleh  dan , maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

 Bentuk umum beserta solusinya 

Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensialnya, maka terlebih dahulu harus 'ditebak' bentuk umumnya, yang nantinya beberapa koefisien yang ada akan menjadi variabel, yang kemudian akan dicari nilainya. Berikut adalah beberapa jenis fungsi beserta bentuk umum solusinya.

 Bentuk umum  Bentuk umum dari     

Jika salah satu suku pada bentuk umum dari  muncul pada solusi homogen, maka bentuk umumnya harus dikalikan dengan perpangkatan  yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier.

 Contoh pengerjaan 
 Contoh 1 
Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial

maka perhatikan bahwa  adalah fungsi polinomial berderajat 3, sehingga solusi khususnya juga merupakan fungsi polinomial berderajat 3, dengan bentuk umum

yang mengakibatkan

Substitusikan hasil di atas pada persamaan diferensial di awal, maka didapatkan

sehingga diperoleh sistem persamaan

yang solusinya ialah . Sehingga, didapatkan

Oleh karena solusi umum dari persamaan diferensial

adalah , untuk sembarang konstanta , maka solusi akhir dari persamaan diferensial

adalah 

 Contoh 2 

Perhatikan persamaan diferensial linier nonhomogen berikut:

Oleh karena bagian nonhomogen dari persamaan di atas adalah , maka solusi khususnya akan memiliki bentuk umum

Substitusikan bentuk di atas ke persamaan diferensial di awal, maka didapatkan

Dengan membandingkan koefisien pada kedua ruas, maka diperoleh

Sehingga, solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut adalah

Dengan menggunakan informasi bahwa  adalah solusi dari persamaan diferensial linier homogen

untuk sembarang konstanta  dan , maka solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

 Contoh 3 

Untuk mencari solusi dari persamaan diferensial linier nonhomogen

maka perhatikan bahwa  adalah solusi umum dari persamaan diferensial linier homogen

untuk sembarang konstanta . Akan tetapi, fungsi  juga muncul pada bagian nonhomogen dari persamaan diferensial yang diberikan (bagian ruas kanan), yang membuat solusi umumnya tidak bebas linier dengan bentuk umum solusi khususnya (yaitu ). Alhasil, bentuk umum dari solusi khususnya harus dikalikan dengan perpangkatan  yang cukup besar agar solusinya menjadi bebas linier. Dalam kasus ini, bentuk umum solusi khususnya menjadi

Apabila fungsi tersebut (beserta turunannya) disubstitusikan ke persamaan diferensial yang diberikan, maka nilai  dapat diperoleh sebagai berikut

Maka dari itu, solusi akhir dari persamaan diferensialnya ialah

 Referensi 

 Bacaan lanjutan 





Kategori:Persamaan diferensial biasa