Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan  adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.

 Definisi 
Katakan  adalah bilangan asli. Untuk basis , kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit   , , sekiranya:



Di mana  adalah jumlah digit bilangan pada basis ,  adalah faktorial dari  dan



adalah nilai dari digit ke- bilangan tersebut. Bilangan asli  tergolong  - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk , yaitu jika .  dan  adalah titik tetap untuk seluruh basis , dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap , dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis  adalah faktorion karena  .

Untuk , jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka  pada basis 2 karena  .

Suatu bilangan asli  adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik , Di mana  untuk bilangan bulat positif , dan membentuk siklus periode  . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai , dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai  .  

Semua bilangan asli  adalah poin praperiodik untuk , apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis  dengan digit-digit  menghasilkan  .Tapi, jika , maka  untuk , jadi apapun  akan menghasilkan  hingga . Ada banyak bilangan asli yang kurang dari , oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari , dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk , jumlah digit  untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis  .

 perlu jumlah iterasi  untuk mencapai titik tetap  fungsi persistensi , dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

 Faktorion  

 b = ( k − 1)! 
Katakan  adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan . Oleh sebab itu:

  adalah faktorion  untuk semua  

  adalah faktorion  untuk semua  .

+Faktorion     4 6 41 42 5 24 51 52 6 120 61 62 7 720 71 72

 b = k ! − k +1 
Katakan  adalah bilangan bulat positif dan basis . Oleh sebab itu:

  adalah faktorion  untuk semua  .

 Tabel faktorion dan siklus  
Basis  mewakilkan semua angka.
Basis  Faktorion nontrivial ( ,  )  Siklus 2   3   4 13 3 → 12 → 3 5 144  6 41, 42  7  36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36 8  3 → 6 → 1320 → 12

175 → 12051 → 175 9 62558 10 145, 40585 871 → 45361 → 871 Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

872 → 45362 → 872 Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

 Referensi 

Kategori:Aritmetika