Keserupaan matriks

Dalam aljabar linear, dua matriks persegi  and  berukuran  disebut serupa jika ada matriks terbalikkan  yang memenuhi hubunganMatriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan  menjadi matriks perubahan basis. Transformasi  disebut transformasi keserupaan atau konjugasi dari matriks . Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup  dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan  berada di .

 Gambaran umum 
Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di  dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu- positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagaidengan  menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagaidengan  dan  masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai dengan vektor  dan , dan matriks tranformasi  yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan  menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis  yang memetakan  dan  menjadi  dan , sehingga:Alhasil, matriks transformasi di basis awal, , dapat dihitung dengan mudah sebagai . Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru (), lakukan transformasi yang lebih sederhana (), lalu kembali ke basis yang lama ().

 Sifat-sifat 
Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

 Rank
 Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
 Determinan
 Teras
 Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
 Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh )
 Polinomial minimal
 Bentuk normal Frobenius
 Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
 Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks , pencarian matriks "bentuk normal"  yang serupa dengan  dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks  dapat dimudahkan dengan menelitik matriks  yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika  adalah sublapangan dari lapangan , dan  dan  adalah matriks atas , maka  dan  saling serupa atas  jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas . Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas  juga merupakan bentuk kanonik rasional atas . Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

 Lihat pula 

 Bentuk kanonik
 Kekongruenan matriks
 Kesetaraan matriks

 Referensi 

 Kutipan 

 Pustaka 

  (Similarity is discussed many places, starting at page 44.)

Kategori:Matriks
Kategori:Ekuivalensi (matematika)