Teorema Euclid-Euler

Dalam teori bilangan, Teorema Euclid-Euler adalah teorema yang menghubungkan bilangan sempurna dengan bilangan prima Mersenne. Teorema tersebut menyatakan bahwa suatu bilangan genap adalah bilangan sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut memiliki bentuk umum , dengan  adalah bilangan prima. Teorema ini dinamai dari Euclid dan Leonhard Euler, yang berturut-turut membuktikan aspek "jika" dan "hanya jika" dari teorema ini.

Terdapat konjektur yang menyatakan bahwa terdapat tak terhingga banyaknya bilangan prima Mersenne. Walaupun kebenaran konjektur tersebut masih belum diketahui, menurut teorema Euclid-Euler, hal tersebut ekuivalen dengan konjektur bahwa terdapat tak terhingga banyaknya bilangan sempurna genap. Namun, tidak diketahui juga apakah terdapat setidaknya satu bilangan sempurna ganjil.

 Definisi, Pernyataan, dan Contoh 
Suatu bilangan asli disebut sebagai bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan jumlahan pembagi wajarnya, yaitu bilangan yang kurang dari dan habis membagi bilangan tersebut (atau dengan kata lain, sisa pembagiannya adalah ). Sebagai contoh, pembagi wajar dari  adalah , , dan , dan karena hasil jumlahnya sama dengan , maka  adalah bilangan sempurna.

Suatu bilangan prima disebut bilangan prima Mersenne apabila bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai , dengan  adalah bilangan prima. Perhatikan bahwa tidak semua  akan menghasilkan bilangan prima Mersenne. Misalnya,  adalah bilangan prima Mersenne, tetapi  bukan.

Teorema Euclid-Euler menyatakan bahwa suatu bilangan asli genap adalah bilangan sempurna jika dan hanya jika bilangan tersebut memiliki bentuk umum , dengan  adalah bilangan prima Mersenne.. Bilangan sempurna  diperoleh dengan memilih , sebab  dan , dan bilangan prima Mersenne  berkorespondensi (dengan cara serupa) dengan bilangan sempurna .

 Bukti 
Bukti Euler tergolong pendek dan mengandalkan fakta bahwa fungsi jumlah pembagi  bersifat multiplikatif; yaitu, jika  dan  adalah dua bilangan bulat yang relatif prima, maka berlaku . Agar rumus ini dapat digunakan, semua bilangan positif yang habis membagi bilangan tersebut harus dijumlahkan, termasuk bilangan itu sendiri. Dengan menggunakan fungsi ini, suatu bilangan asli adalah bilangan sempurna jika dan hanya jika hasil jumlah dari pembaginya bernilai dua kali bilangan tersebut.

 Syarat Cukup 
Salah satu arah dari teoremanya (bagian yang telah dibuktikan oleh Euclid) diakibatkan langsung dari sifat multiplikatif: setiap bilangan prima Mersenne akan menghasilkan bilangan sempurna genap. Saat  adalah bilangan prima, maka  dan  akan relatif prima, sehingga berlaku

Perhatikan bahwa
 Pembagi positif dari  adalah , sehingga hasil jumlah dari pembagi bilangan  adalah deret geometri yang nilainya adalah .
 Oleh karena  adalah bilangan prima, maka pembagi positifnya ialah , sehingga hasil jumlah pembagi bilangan  adalah .
Dengan menggabungkan dua hasil di atas, jika bilangan asli  dapat dinyatakan sebagai , maka

Akibatnya, bilangan asli  adalah bilangan sempurna....

 Syarat Perlu 
Untuk membuktikan arah lainnya, misalkan diberikan suatu bilangan sempurna genap . Dari informasi tersebut, maka  dapat dinyatakan sebagai

dengan  adalah bilangan ganjil. Oleh karena  adalah bilangan sempurna, maka berlaku

Perhatikan bahwa faktor  pada ruas kiri bernilai ganjil, sehingga , satu-satunya faktor ganjil pada ruas kanan. Berdasarkan definisi dari "habis membagi", maka terdapat suatu bilangan bulat  sedemikian sehingga . Akibatnya,

Oleh karena nilai  tidak kurang dari , maka  adalah pembagi wajar dari . Akibatnya,

Agar persamaan di atas bernilai benar, maka tidak ada faktor lain yang habis membagi  selain  dan  itu sendiri, sehingga  haruslah  dan  adalah bilangan prima dengan bentuk umum .

 Referensi 

Kategori:Teorema dalam teori bilangan
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Leonhard Euler
Kategori:Bilangan prima Mersenne
Kategori:Bilangan sempurna
Kategori:Euclid