Bukti bahwa 22/7 melebihi π

Hasil pembuktian matematis mengenai nilai bilangan rasional  lebih dari  (pi) telah ada sejak dahulu. Salah satu pembuktiannya, baru-baru ini dikembangkan tetapi hanya memerlukan teknik dasar dari kalkulus, berhasil menarik perhatian matematika modern karena keindahan dan koneksinya dengan teori Hampiran Diophantus. Stephen Lucas menyebut bukti ini sebagai "salah satu hasil menawan yang berkaitan dengan hampiran ". Julian Havil mengakhiri diskusi mengenai penghampiran pecahan berlanjut dari  dengan hasil ini, menyebutnya sebagai "hal yang mustahil untuk tidak disinggung" pada konteks tersebut.

Tujuan dari pembuktian ini bukanlah untuk meyakinkan pembaca kalau nilai  (atau ) lebih dari ; terdapat berbagai metode sistematis untuk menghitung nilai dari . Jika seseorang mengetahui kalau  memiliki nilai sekitar , maka secara trivial, dapat disimpulkan kalau , yakni sekitar . Dengan menggunakan metode pada pembuktian ini, menunjukkan  jauh lebih mudah dibandingkan menunjukkan nilai  itu sekitar .

 Latar Belakang 
Nilai  adalah hampiran Diophantus dari  yang banyak digunakan. Bilangan tersebut bernilai lebih dari , yang dapat dilihat dari representasi desimal dari kedua nilai tersebut:

Nilai hampiran tersebut telah diketahui sejak lama. Archimedes menjadi orang pertama yang menulis bukti mengenai nilai bilangan  melebihi  pada abad ke-3 SM, walaupun mungkin saja Archimedes bukanlah yang pertama menggunakan hampiran tersebut. Alur pembuktiannya adalah dengan menunjukkan bahwa  lebih dari rasio dari keliling segi-96 beraturan terhadap diameter lingkaran yang dilingkupinya.

 Pembuktian 

Pembuktiannya dapat dijabarkan secara singkat sebagai berikut:

Sehingga, diperoleh  atau .

Integral ini merupakan soal pertama pada Kompetisi Putnam tahun 1968.

Soal ini lebih mudah daripada soal kompetisi Putnam pada umumnya; kompetisi ini seringkali memberikan soal yang terlihat rumit, yang ternyata merujuk kepada sesuatu yang sangat akrab. Integral ini juga telah digunakan dalam ujian masuk Institut Teknologi India.Ujian Masuk ITI 2010, soal nomor 41 pada halaman 12, bagian matematika.

 Detail Pengerjaan Integral 
Hasil integral yang positif datang dari nilai integran yang non-negatif; bagian penyebutnya positif dan pembilangnya adalah hasil kali bilangan non-negatif. Dapat dengan mudah ditunjukkan kalau terdapat setidaknya satu titik pada interval integrasi yang nilai integrannya positif, misalnya . Oleh karena integrannya kontinuu pada titik tersebut dan nilai integrannya non-negatif pada titik lainnya, maka hasil integral dari 0 sampai 1 haruslah positif.

Yang tersisa adalah menunjukkan nilai integralnya sama dengan 

(lihat Pembagian polinomial dengan cara bersusun dan Teorema dasar kalkulus)

 Estimasi Batas Atas dan Batas Bawah 
Mengacu pada , jika nilai  pada penyebut diganti dengan , maka akan diperoleh batas bawah dari integral tersebut, dan jika nilai  pada penyebut diganti dengan , maka akan diperoleh batas atas dari integralnya.. Perhatikan bahwa

Sehingga,

yang berarti  dalam representasi desimal. Batas tersebut menyimpang kurang dari  from . Lihat juga ..

 Bukti kalau 355/113 melebihi  
Seperti yang telah dibahas pada , hampiran Diophantus  yang terkenal dan estimasi atas yang lebih baik untuk  dapat diperoleh dari

di mana enam digit pertama setelah tanda koma serasi dengan enam digit pertama dari . Jika nilai  pada penyebut diganti dengan , maka akan diperoleh batas atas dari integral tersebut, yaitu

Substitusikan nilai  pada variabel  di bagian penyebut, maka diperoleh setengah dari nilai ini sebagai batas bawahnya, sehingga

Dalam representasi desimal, ini artinya , dengan digit yang digarisbawahi pada batas bawah dan batas atas adalah digit yang serasi dengan bilangan .

 Lihat juga 
Hampiran dari 
Kronologi dari komputasi bilangan 
Teorema Lindemann–Weierstrass (bukti bahwa  adalah Bilangan transenden)
Daftar topik yang berkaitan dengan 
Bukti bahwa  merupakan bilangan irasional

 Catatan kaki 

 Catatan 

 Sitasi 

 Pranala luar 
 The problems of the 1968 Putnam competition, with this proof listed as question A1.

Kategori:Pi
Kategori:Article proofs