Barisan aritmetika-geometrik

Dalam matematika, barisan aritmetika-geometrik adalah hasil dari perkalian suku-demi-suku pada barisan aritmetika dengan suku barisan geometri yang bersesuaian. Secara matematis, suku ke- dari barisan aritmetika-geometrik adalah hasil kali dari suku ke- dari barisan aritmetika dengan suku ke- dari barisan geometrik. Barisan aritmetika-geometrik muncul pada berbagai aspek, seperti perhitungan nilai harapan dalam teori peluang.

Alternatifnya, barisan aritmetika-geometrik dapat didefinisikan sebagai barisan dengan bentuk umum

untuk suatu nilai  dan . Dari bentuk di atas, maka terlihat bahwa barisan aritmetika-geometrik adalah kasus spesial dari relasi perulangan linier.
 Jika , maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan aritmetika
 Jika , maka barisan aritmetika-geometrik akan menjadi barisan geometrik

 Suku barisan 

Dari definisi di atas, misalkan bagian yang berwarna biru menyatakan barisan aritmetika dengan nilai awal  dan beda , dan bagian yang berwarna merah menyatakan barisan geometri dengan nilai awal  dan rasio . Maka, beberapa suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik ialah:

 Contoh 
Sebagai contoh, barisan

dapat dikonstruksikan dengan memilih  dan .

 Jumlahan berhingga 
Jumlahan  suku pertama dari barisan aritmetika-geometrik memiliki bentuk tertutup

 Bukti 
 Deret Teleskopik 
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan , dengan indeks  menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Akan digunakan notasi  untuk menyatakan suku ke- dari barisan aritmetika, dan notasi  untuk menyatakan suku ke- dari barisan geometri. Dengan menggunakan informasi bahwa  dan , perhatikan bahwa

Sehingga diperoleh

Oleh karena  dan , maka rumus  di atas dapat ditulis ulang sebagai

 Penjabaran Langsung 
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan , dengan indeks  menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Perhatikan bahwa  dapat dituliskan sebagai
{| style = "text-align:center; margin:auto"
|-
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
|
|
|
|
| 
|
| 
|
|
|
| 
|-
|
|
|
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|-
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
| 
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
|-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
|}

Dengan menuliskan  menggunakan cara di atas, maka terlihat bahwa nilai  diperoleh dari hasil penjumlahan kolom per kolom. Akan tetapi, perspektif di atas juga menunjukkan bahwa menjumlahkan baris per baris akan menghasilkan jawaban yang sama, sebab suku yang dijumlahkan melalui kedua cara tersebut tidak berubah, dan hasilnya pasti berhingga. Jika penjabaran suku di atas dijumlahkan secara horizontal, maka

 Kalkulus Diferensial 
Misalkan hasil jumlahannya dinotasikan dengan , dengan indeks  menyatakan banyaknya suku berurutan yang akan dijumlahkan. Oleh karena banyaknya suku yang dijumlahkan hanya berhingga banyaknya, maka hasilnya tidak akan divergen. Dengan menggunakan sifat linier dari turunan, perhatikan bahwa

yang merupakan hasil yang sama dengan dua metode sebelumnya.

 Deret takhingga 
Jika , maka  akan mendekati  apabila nilai  cukup besar. Sehingga, nilai dari deret aritmetika-geometrik (disimbolkan dengan ) ialah

Jika  berada di luar jangkauan di atas, maka deretnya termasuk
 Deret divergen menuju , saat , atau saat  (dimana deretnya menjadi deret aritmetika takhingga) serta  dan 
 Jika  dan , semua nilai suku nya akan menjadi , sehingga nilai deret takhingga tidak divergen.
 Deret selang-seling, saat nilai 

 Tangga Jibril 
Jika  dan , maka jumlahan dari barisan takhingga ini dikenal dengan sebutan tangga Jibril:

 Contoh Penerapan : Perhitungan Nilai Harapan 
Saat suatu koin adil dilempar, peluang untuk mendapatkan "gambar" adalah . Apabila  menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah  lemparan, maka diperoleh

Karena  menyatakan peluang munculnya "gambar" untuk pertama kalinya setelah  lemparan, maka lemparan pertama sampai lemparan ke- haruslah muncul "angka". Oleh karena lemparan koin bersifat saling bebas, maka rumus peluang koin adil yang dilempar adalah .

Dikarenakan lemparan terakhir haruslah muncul "gambar", maka rumus peluangnya harus dikalikan dengan peluang munculnya "gambar", sehingga didapatkan

Dengan menggunakan rumus di atas, maka ekspektasi banyaknya koin yang harus dilempar sebelum mendapat "gambar" dapat dicari dengan

yang merupakan deret aritmetika-geometrik takhingga, dengan  dan . Dengan rumus deret aritmetika-geometrik, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa jumlahan di atas konvergen ke 

 Referensi 

 Bacaan lanjutan 



Kategori:Barisan bilangan bulat
Kategori:Deret matematika