Bilangan persegi

Dalam matematika, sebuah bilangan persegi atau kuadrat sempurna adalah sebuah bilangan bulat yang merupakan pangkat dua dari sebuah bilangan bulat;Beberapa penulis juga menyebut kuadrat bilangan rasional sebagai kuadrat sempurna. Dengan kata lain, bilangan persegi adalah perkalian dari suatu bilangan bulat dengan dirinya sendiri. Contohnya, 9 adalah sebuah bilangan persegi, karena sama dengan  dan dapat ditulis sebagai .

Notasi yang biasa digunakan untuk kuadrat dari sebuah bilangan  adalah bukan hasil kali , tetapi ekuivalen dengan ekponensial , yang biasanya diucapkan sebagai " persegi (atau  dikuadratkan atau  pangkat 2)". Istilah persegi berasal dari nama bentuknya. Unit dari luas didefinisikan sebagai luas dari sebuah persegi satuan. Karenanya, sebuah persegi dengan panjang sisi  memiliki luas . Jika sebuah bilangan persegi direpresentasikan oleh n titik, titik-titik tersebut dapat disusun dalam barisan sebagai sebuah persegi yang setiap sisinya memiliki jumlah titik yang sama dengan akar kuadrat dari n. Dengan demikian, bilangan persegi adalah jenis bilangan bergambar (contoh lainnya adalah bilangan kubus dan bilangan segitiga).

Dalam sistem bilangan riil, bilangan persegi adalah non-negatif. Sebuah bilangan bulat non-negatif adalah sebuah bilangan persegi jika akar kuadratnya adalah bilangan bulat. Sebagai contoh,  sehingga 9 adalah bilangan persegi.

Sebuah bilangan bulat positif yang tidak memiliki pembagi persegi, kecuali 1 disebut sebagai bilangan bulat bebas kuadrat.

Untuk sebuah bilangan bulat non-negatif , bilangan persegi ke- adalah , dengan  sebagai yang ke-nol. Konsep persegi atau kuadrat dapat diperluas ke beberapa sistem bilangan yang lain. Jika bilangan rasional dimasukkan, maka sebuah persegi atau kuadrat adalah rasio dua bilangan bulat persegi, dan, sebaliknya, rasio dua bilangan bulat persegi adalah persegi, misalnya, 
.

Dimulai dengan angka 1, terdapat  banyaknya bilangan persegi hingga dan termasuk , di mana ekspresi  merepresentasikan fungsi lantai dari bilangan .

 Contoh 
Bilangan persegi (Barisan A000290 dalam OEIS) lebih kecil dari 602 = 3600: 02 = 0
 12 = 1
 22 = 4
 32 = 9
 42 = 16
 52 = 25
 62 = 36
 72 = 49
 82 = 64
 92 = 81 102 = 100
 112 = 121
 122 = 144
 132 = 169
 142 = 196
 152 = 225
 162 = 256
 172 = 289
 182 = 324
 192 = 361 202 = 400
 212 = 441
 222 = 484
 232 = 529
 242 = 576
 252 = 625
 262 = 676
 272 = 729
 282 = 784
 292 = 841 302 = 900
 312 = 961
 322 = 1024
 332 = 1089
 342 = 1156
 352 = 1225
 362 = 1296
 372 = 1369
 382 = 1444
 392 = 1521 
 402 = 1600
 412 = 1681
 422 = 1764
 432 = 1849
 442 = 1936
 452 = 2025
 462 = 2116
 472 = 2209
 482 = 2304
 492 = 2401 
 502 = 2500
 512 = 2601
 522 = 2704
 532 = 2809
 542 = 2916
 552 = 3025
 562 = 3136
 572 = 3249
 582 = 3364
 592 = 3481Selisih antara suatu kuadrat sempurna dan kuadrat sempurna sebelumnya diberikan oleh identitas . Ekivalen, mungkin untuk menghitung bilangan persegi dengan menambahkan kuadrat terakhir, akar kuadrat terakhir, dan akar saat ini, yaitu, .

 Sifat-sifat 
Bilangan m adalah bilangan persegi jika dan hanya jika seseorang dapat menyusun m titik dalam sebuah persegi:
Berkas:Square_number_1.pngBerkas:Square_number_4.pngBerkas:Square_number_9.pngBerkas:Square_number_16.pngBerkas:Square_number_25.png

Ekspresi untuk bilangan persegi ke- adalah . Ini juga sama dengan jumlah n angka ganjil pertama seperti yang dapat dilihat pada gambar di atas, di mana kuadrat dihasilkan dari kuadrat sebelumnya dengan menambahkan titik-titik bernilai ganjil (ditunjukkan dalam warna magenta). Rumusnya adalah sebagai berikut:Contohnya, .
jmpl|Jumlah dari n bilangan bulat ganjil pertama adalah n2. . Visualisasi animasi 3D dalam tetrahedron.
Terdapat beberapa metode rekursi untuk menghitung bilangan persegi. Contohnya, bilangan persegi ke- dapat dihitung dari kuadrat sebelumnya dengan . Selain itu, bilangan persegi ke- dapat dihitung dari dua angka sebelumnya dengan menggandakan kuadrat ke-, mengurangkan kuadrat ke-, dan menambahkan 2, karena . Contoh,

 .

Bilangan persegi dikurangi satu dari sebuah bilangan  selalu merupakan hasil dari  dan  sehingga,Contoh, karena , kita memiliki . karena sebuah bilangan prima hanya memiliki faktor 1 dan dirinya sendiri, dan karena  adalah satu-satunya nilai  yang tidak nol yang memberikan faktor  di ruas kanan persamaan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa  adalah satu-satunya bilangan prima yang kurang dari sebuah bilangan persegi ().

Secara umum, selisih kuadrat dari dua bilangan adalah hasil kali jumlah dan selisihnya. Artinya,Ini adalah selisih dua bilangan kuadrat, yang dapat berguna untuk aritmetika mental. Contohnya,  dapat dengan mudah dihitung sebagai .

Suatu bilangan persegi juga merupakan jumlah dari dua bilangan segitiga yang berurutan. Jumlah dari dua bilangan persegi yang berurutan adalah bilangan persegi terpusat. Setiap bilangan persegi ganjil juga merupakan bilangan oktagonal terpusat.

Sifat lain dari bilangan persegi adalah (kecuali 0), bilangan ini memiliki jumlah pembagi positif ganjil, sedangkan bilangan asli lainnya memiliki jumlah pembagi positif genap. Akar bilangan bulat adalah satu-satunya pembagi yang berpasangan dengan dirinya sendiri untuk menghasilkan bilangan persegi, sedangkan pembagi lainnya berpasangan.

Teorema empat persegi Langrange menyatakan bahwa setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari empat atau kurang dari kuadrat sempurna. Tiga bilangan persegi tidak cukup untuk bilangan-bilangan yang memiliki bentuk . Sebuah bilangan bulat positif dapat direpresentaskan sebagai jumlah dari dua bilangan persegi tepat jika faktorisasinya mengandung pangkat ganjil dari bilangan prima yang memiliki bentuk . Ini diperluas dalam masalah Waring.

Dalam basis 10, sebuah bilanhan persegi hanya dapat diakhiri dengan digit angka 0, 1, 4, 5, 6 atau 9, sebagai berikut:

 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, kuadratnya berakhiran 00;
 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 1 atau 9, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 1;
 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 2 atau 8, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 4;
 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 3 atau 7, kuadratnya diakhiri dengan angka genap diikuti dengan angka 9;
 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 4 atau 6, kuadratnya diakhiri dengan angka ganjil diikuti dengan angka 6; Dan
 jika digit terakhir suatu bilangan adalah 5, maka kuadratnya berakhiran 25.

Dalam basis 12, sebuah bilangan persegi hanya dapat diakhir dnegan digit kuadrat (seperti dalam basis 12, sebuah bilangan prima hanya dapat diakhir oleh digit prima atau 1), yaitu, 0, 1, 4 or 9, sebagai berikut:

 jika suatu bilangan habis dibagi 2 dan 3 (yaitu habis dibagi 6), kuadratnya berakhiran 0, dan digit sebelumnya harus 0 atau 3;
 jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2 atau 3, kuadratnya diakhiri dengan 1, dan digit sebelumnya harus genap;
 jika suatu bilangan habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 3, kuadratnya berakhiran 4, dan digit sebelumnya harus 0, 1, 4, 5, 8, atau 9; dan
 jika suatu bilangan tidak habis dibagi 2, tetapi habis dibagi 3, maka kuadratnya berakhiran 9, dan digit sebelumnya harus 0 atau 6.

Aturan sejenis dapat diberikan untuk basis yang lain, selain yang telah disebutkan sebelumnya, atau untuk digit-digit sebelumnya (contohnya, digit puluhan, bukan digit satuan).. Semua aturan tersebut dapat dibuktikan dengan memeriksa sejumlah kasus dan menggunakan aritmetika modular .

Secara umum, jika bilangan prima  membagi bilangan kuadrat  maka kuadrat dari  juga harus membagi  ; jika  gagal membagi , maka  pasti bukan bilangan persegi. Dengan mengulangi pembagian pada kalimat sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa setiap bilangan prima harus membagi kuadrat sempurna yang diberikan sebanyak genap (termasuk mungkin 0 kali). Dengan demikian, bilangan  adalah bilangan kuadrat jika dan hanya jika, dalam representasi kanoniknyanya, semua eksponennya genap.

Uji kuadrat dapat digunakan sebagai cara alternatif dalam faktorisasi untuk bilangan besar. Daripada menguji keterbagian, ujilah kuadrat: untuk  dan bilangan tertentu , jika  adalah kuadrat suatu bilangan bulat  lalu  membagi  . (Ini adalah penerapan faktorisasi selisih dua kuadrat.) Misalnya,  adalah kuadrat dari 3, jadi  membagi 9991. Tes ini bersifat deterministik untuk pembagi ganjil dalam rentang dari  hingga  dimana  mencakup beberapa rentang bilangan asli 

Bilangan persegi tidak mungkin merupakan bilangan sempurna .

Jumlah n bilangan persegi pertama adalahNilai awal dari penjumlahan ini, bilangan piramida persegi, adalah:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
jmpl|100x100px| Bukti tanpa kata-kata untuk teorema jumlah bilangan ganjil
Jumlah bilangan bulat ganjil pertama yang dimulai dengan satu adalah kuadrat sempurna: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, dst. Hal ini menjelaskan hukum bilangan ganjil Galileo : jika suatu benda jatuh dari keadaan diam mencakup satu satuan jarak dalam selang waktu sembarang pertama, mencakup 3, 5, 7, dst., satuan jarak dalam selang waktu berikutnya yang panjangnya sama. Dari , untuk  dan konstanta  (percepatan gravitasi tanpa hambatan udara); jadi  sebanding dengan , dan jarak dari titik awal adalah kuadrat berurutan untuk nilai bilangan bulat waktu yang telah berlalu.

Jumlah n kubik pertama adalah kuadrat jumlah n bilangan bulat positif pertama; ini adalah teorema Nicomachus .

Semua pangkat empat, pangkat enam, pangkat delapan, dan seterusnya adalah kuadrat sempurna.

Hubungan unik dengan bilangan segitiga  adalah:

 Bilangan kuadrat ganjil dan genap 
Kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap dan habis dibagi 4, karena  . Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil dan kongruen dengan 1 modulo 8, karena , dan  selalu genap. Dengan kata lain, semua bilangan kuadrat ganjil mempunyai sisa 1 jika dibagi 8.

Setiap bilangan ganjil sempurna adalah bilangan oktagonal berpusat . Selisih dua bilangan ganjil sempurna adalah kelipatan 8. Selisih antara 1 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi selalu delapan kali suatu bilangan segitiga, sedangkan selisih antara 9 dan kuadrat sempurna ganjil yang lebih tinggi adalah delapan kali suatu bilangan segitiga dikurangi delapan. Karena semua bilangan segitiga mempunyai faktor ganjil, tetapi tidak ada dua nilai dari  yang berbeda dengan jumlah yang mengandung faktor ganjil, satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk  adalah 1, dan satu-satunya kuadrat sempurna berbentuk  adalah 9.

 Kasus khusus 

 Jika suatu bilangan berbentuk  dimana  mewakili digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah  dimana  dan mewakili digit-digit sebelum 25. Misalnya, kuadrat dari 65 dapat dihitung dengan  sehingga kuadratnya sama dengan 4225.
 Jika bilangan tersebut berbentuk  dimana  melambangkan digit-digit sebelumnya, maka kuadratnya adalah  dimana  . Misalnya kuadrat 70 adalah 4900.
 Jika suatu bilangan mempunyai dua digit dan berbentuk  dimana  melambangkan digit satuan, maka kuadratnya adalah  dengan  dan  . Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 57,  dan  dan , jadi  .
 Jika bilangan digitnya berakhiran 5, kuadratnya akan berakhiran 5; demikian pula untuk berakhiran 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, dst. Jika bilangan berakhiran 6, maka kuadratnya berakhiran 6, begitu pula bilangan yang berakhiran 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Misalnya, kuadrat dari 55376 adalah 3066501376, keduanya berakhiran 376 . (Angka 5, 6, 25, 76, dst disebut bilangan automorfik. Merupakan barisan A003226 dalam OEIS . )
 Pada basis 10, dua digit terakhir bilangan kuadrat mengikuti pola berulang yang dicerminkan secara simetris di sekitar kelipatan 25. Pada contoh 24 dan 26, keduanya 1 turun dari 25,  dan , keduanya diakhiri dengan 76. Secara umum,  . Pola analogi berlaku untuk 3 digit terakhir di sekitar kelipatan 250, dan seterusnya. Akibatnya, dari 100 kemungkinan 2 digit terakhir, hanya 22 digit yang muncul di antara bilangan kuadrat (karena 00 dan 25 diulang).

 Catatan 

 Bacaan lanjutan 

 Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
 Kiran Parulekar. Amazing Properties of Squares and Their Calculations. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC

Kategori:Teori bilangan
Kategori:Bilangan bulat
Kategori:Aritmetika dasar