Fungsi cembung

ka|jmpl|300x300px|Fungsi (kurva hitam) bersifat cembung jika dan hanya jika daerah di atas grafik fungsi tersebut berupa himpunan cembung.
ka|jmpl|300x300px|Grafik fungsi bivariat cembung .
Dalam matematika, fungsi bernilai riil dikatakan cembung jika ruas garis antara sebarang dua titik berbeda pada grafik fungsi, berada di atas atau berada pada grafik fungsi di antara dua titik tersebut. Istilah lain dari fungsi dengan sifat tersebut adalah fungsi konveks dan fungsi cekung ke atas. Dalam kalimat yang lebih mudah, grafik fungsi cembung berbentuk seperti mangkuk  (atau garis lurus seperti fungsi linear), sedangkan fungsi cekung berbentuk seperti tutup .

Fungsi satu variabel yang terdiferensialkan dua kali bersifat cembung jika dan hanya jika turunan kedua fungsi tersebut bernilai non-negatif di seluruh domainnya. Beberapa contoh fungsi cembung yang umum dikenal antara lain: fungsi linear  (dengan  adalah bilangan riil), fungsi kuadratik ( adalah bilangan riil non-negatif), dan fungsi ekponensial  ( adalah bilangan riil non-negatif).

Fungsi cembung memainkan peran penting dalam banyak bidang matematika. Fungsi ini banyak dipelajari dalam masalah-masalah optimisasi karena memiliki beberapa sifat yang mudah digunakan. Sebagai contoh, fungsi cembung tegas pada himpunan buka hanya memiliki satu minimum. Bahkan di ruang dimensi tak-hingga, dengan beberapa asumsi tambahan yang sesuai, fungsi cembung tetap memenuhi sifat tersebut; dan sebagai akibatnya, mereka menjadi fungsi yang paling dipahami dalam kalkulus variasi. Dalam teori peluang, fungsi cembung yang diterapkan pada nilai harapan dari suatu variabel acak akan terbatas dari atas, oleh nilai harapan dari fungsi cembung dari variabel acak. Sifat tersebut, dikenal sebagai pertidaksamaan Jensen, dapat digunakan untuk menentukan bentuk-bentuk pertidaksamaan lainnya, seperti pertidaksamaan rerata aritmetik–geometrik dan pertidaksamaan Hölder.

 Definisi 
Misalkan  adalah himpunan cembung dari suatu ruang vektor riil, dan misalkan  adalah sebuah fungsi. Fungsi  dikatakan cembung jika dan hanya jika ada kondisi berikut yang terpenuhi:

 Untuk sebarang  dan sebarang  berlaku: Ruas kanan merepresentasikan ruas garis lurus yang menghubungkan  dan  sebagai fungsi dari  memperbesar  dari  ke  atau memperkecil  dari  ke  akan menghasilkan titik yang melintasi ruas garis ini. Mirip dengan itu, argumen dari fungsi  di ruas kiri merepresentasikan garis lurus antara dan  di  (sumbu- dari grafik ). Akibatnya, kondisi ini mengharuskan ruas garis yang menghubungkan sebarang dua titik pada kurva  berada di atas atas atau berada menyentuh grafik dari fungsi tersebut.
 Untuk sebarang  dan sebarang  dengan  berlaku: Perbedaan kondisi ini dengan kondisi sebelumnya adalah kondisi ini tidak menyertakan titik-titik perpotongan antara garis dengan kurva fungsi (yakni saat   atau  atau ). Malahan, titik-titik tersebut tidak perlu dipertimbangkan dalam penentuan kecembungan fungsi, karena (jika mengikuti kondisi pertama) akan menghasilkan bentuk  dan  yang selalu benar.

Kondisi kedua dari syarat kecembungan fungsi juga dapat diubah untuk menghasilkan definisi kecembungan tegas (strict convexity), dengan mengubahmenjadi pertidaksamaan tegas Secara matematis, fungsi  dikatakan cembung tegas jika dan hanya jika untuk sebarang  dan  dengan  berlaku hubungan: Fungsi  dikatakan cekung (atau cekung tegas) jika  bersifat cembung (atau cembung tegas).

 Sifat 
Banyak sifat-sifat dari fungsi cembung untuk fungsi banyak variabel memiliki formulasi yang sama dengan versi fungsi satu variabel; walau tidak semuanya.

 Fungsi satu variabel 

 Misalkan  adalah fungsi riil yang terdefinisi pada suatu selang, dan misalkanmenyatakan kemiringan dari garis yang melintasi titik  dan . Fungsi  cembung jika dan hanya jika  monoton tak-menurun di  untuk setiap  yang dijaga tetap (dan sebaliknya).
 Fungsi cembung  yang terdefinisi di suatu selang buka  akan bersifat kontinu di  Fungsi  juga memiliki turunan kiri dan turunan kanan, dan keduanya monoton tak-menurun. Lebih lanjut, turunan kiri bersifat kontinu kiri dan turunan kanan bersifat kontinu kanan. Sebagai akibatnya,  terdiferensial di , kecuali di (paling banyak) terhingga banyaknya titik. Jika  tertutup,  mungkin tidak kontinu di ujung-ujung selang dari  (lihat bagian Contoh di bawah).
 Fungsi terdiferensialkan bersifat cembung pada suatu interval jika dan hanya jika turunan dari fungsi monoton tak-menurun pada interval tersebut. Jika fungsi terdiferensialkan dan cembung, maka fungsi tersebut juga terdiferensialkan secara kontinu.
 Fungsi terdiferensialkan bersifat cembung jika dan hanya jika grafik fungsi tersebut berada di atas semua garis singgung-nya:untuk sebarang titik  dan  di selang.
 Fungsi terdiferensialkan dua kali bersifat cembung pada suatu selang, jika dan hanya jika turunan kedua dari fungsi berniali tak negatif pada selang tersebut. Sifat ini memberikan cara praktis menguji kecembungan: secara visual, grafik fungsi terdiferensialkan dua kali yang cembung akan "melengkung ke atas," tanpa berbelok ke arah sebaliknya (titik belok).

 Fungsi multivariabel 

 Fungsi terdiferensialkan  yang terdefinisi pada himpunan cembung bersifat cembung jika dan hanya jika berlaku untuk sebarang  titik  dan  di himpunan.
 Fungsi terdiferensilakan dua kali bersifat cembung pada suatu himpunan cembung jika dan hanya jika matriks Hesse dari turunan parsial kedua bersifat semidefinit positif pada bagian dalam (interior) himpunan tersebut.
 Sebarang minimum lokal dari fungsi cembung juga merupakan minimum global fungsi tersebut. Fungsi cembung tegas memiliki paling banyak satu maksimum global.

 Operasi yang mempertahankan sifat kecembungan 
Beberapa operasi berikut mempertahankan sifat kecembungan dari fungsi :

  bersifat cekung jika dan hanya jika  cembung.
 Untuk sebarang bilangan riil , fungsi  cembung jika dan hanya jika  cembung.
 Jumlah berbobot tak negatif: jika  dan  semuanya cembung, maka  juga cembung. Secara khusus, jumlah dari dua fungsi cembung akan berupa fungsi cembung. Sifat ini dapat diperumum ke penjumlahan tak hingga, integral, maupun nilai harapan (mengasumsikan mereka ada).
 Komposisi fungsi:
 Jika fungsi  dan  cembung dan  tak menurun pada suatu selang, maka fungsi  bersifat cembung. Sebagai contoh, jika  cembung, maka begitu pula dengan , karena  cembung dan monoton menaik.
 Jika  cekung, dan  cembung dan tak menaik pada suatu selang, maka fungsi  bersifat cembung.
 Kecembungan bersifat invarian dibawah pemetaan afin. Artinya, jika  cembung pada domain , begitu pula fungsi , dengan  pada domain 

 Contoh 

 Fungsi satu variabel 

 Fungsi  memiliki , sehingga  merupakan fungsi cembung.
 Fungsi nilai mutlak  bersifat cembung, walau fungsi tidak memiliki turunan di  Fungsi ini tidak cembung tegas. Secara lebih umum, fungsi  dengan  bersifat cembung.
 Fungsi  dengan domain  yang didefinisikan sebagai  untuk , merupakan fungsi cembung. Fungsi ini kontinu pada selang buka  tapi tidak kontinu di 0 dan 1.
 Fungsi  memiliki turunan kedua , mengakibatkan fungsi ini cembung pada selang  dan cekung pada selang 
 Contoh fungsi yang monoton menaik tapi tidak cembung, adalah  dan 
 Contoh fungsi cembung tapi tidak monoton menaik, adalah  dan 

 Fungsi  dengan , bersifat cembung pada selang  dan pada selang , tapi tidak cembung pada selang  karena singular di 

 Fungsi multivariabel 

 Fungsi LogSumExp, yang juga dikenal sebagai fungsi softmax, adalah fungsi cembung.
 Fungsi  pada domain matriks definit-positif bersifat cembung.

 Referensi 

 Pustaka 


 Borwein, Jonathan, and Lewis, Adrian. (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer.

 Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste, and Lemaréchal, Claude. (2004). Fundamentals of Convex analysis. Berlin: Springer.








 Pranala luar 




 Referensi 

konveks
Kategori:Analisis konveks