Konjektur Poincaré

Dalam ranah matematika khususnya topologi geometris, Konjektur Poincaré (, , ) adalah sebuah teorema mengenai karakterisasi dari bola-3, yakni hipersfera yang menjadi batas dari bola satuan di dalam ruang empat dimensi.

Awalnya dikemukakan sebagai sebuah konjektur oleh Henri Poincaré pada tahun 1904, teorema ini membahas ruang-ruang yang secara lokal tampak seperti ruang tiga dimensi biasa, tetapi terbatas dan tidak tak-hingga. Poincaré mengajukan dugaan bahwa bila sebuah ruang seperti itu memiliki sifat tambahan, yakni setiap lingkaran di dalamnya dapat disusutkan secara kontinu hingga menjadi sebuah titik, maka ruang tersebut niscaya adalah sebuah bola tiga dimensi. Upaya untuk membuktikan konjektur ini menjadi motor penggerak penting bagi kemajuan topologi geometris sepanjang abad ke-20.

Bukti akhirnya bertumpu pada program Richard S. Hamilton yang menggunakan aliran Ricci untuk menyelesaikan persoalan ini. Dengan mengembangkan berbagai teknik dan hasil baru dalam teori aliran Ricci, Grigori Perelman berhasil menyempurnakan dan menyelesaikan program Hamilton. Dalam serangkaian makalah yang ia unggah ke repositori arXiv pada tahun 2002 dan 2003, Perelman memaparkan karyanya yang membuktikan Konjektur Poincaré (serta konjektur geometrisasi yang lebih luas dari William Thurston). Selama beberapa tahun berikutnya, sejumlah matematikawan menelaah karya tersebut dan menyusunnya kembali dalam uraian yang lebih sistematis.

Karya Hamilton dan Perelman mengenai konjektur ini diakui luas sebagai tonggak bersejarah dalam penelitian matematika. Hamilton dianugerahi Shaw Prize pada tahun 2011 dan Leroy P. Steele Prize for Seminal Contribution to Research pada tahun 2009. Jurnal Science menobatkan bukti Perelman atas Konjektur Poincaré sebagai Terobosan Ilmiah Tahun Ini pada 2006. Clay Mathematics Institute, yang sebelumnya telah memasukkan Konjektur Poincaré dalam daftar bergengsi Masalah Hadiah Milenium, menawarkan hadiah sebesar US$1 juta pada tahun 2010 atas keberhasilan penyelesaiannya. Namun, ia menolak penghargaan tersebut, dengan alasan bahwa kontribusi Hamilton sama besarnya dengan miliknya.Google Translated archived link at  (archived 2014-04-20)

 Ikhtisar 

Konjektur Poincaré merupakan sebuah persoalan besar dalam bidang topologi geometris. Dengan bahasa khas bidang tersebut, isi konjektur ini dapat dirumuskan demikian:
Konjektur Poincaré.Setiap lipatan topologis berdimensi tiga yang tertutup, terhubung, dan mempunyai grup fundamental trivial adalah homeomorfik dengan bola berdimensi tiga.

Bentuk-bentuk yang familiar, seperti permukaan sebuah bola (yang dalam matematika disebut sebagai sfera berdimensi dua) atau sebuah torus, sesungguhnya adalah dua dimensi. Permukaan bola memiliki grup fundamental trivial, artinya setiap lintasan pada permukaan dapat disusutkan secara kontinu hingga menjadi satu titik. Sebaliknya, permukaan torus memiliki grup fundamental nontrivial, sebab ada lintasan-lintasan yang tidak dapat disusutkan demikian. Keduanya sama-sama lipatan topologis yang tertutup (tidak memiliki batas dan terbatas ruangnya) serta terhubung (tersusun dari satu kesatuan utuh). Dua lipatan tertutup disebut homeomorfik bila titik-titik dari yang satu dapat dipetakan ke titik-titik dari yang lain secara kontinu. Karena trivialitas grup fundamental diketahui tetap terjaga di bawah homeomorfisme, maka sfera dua dimensi dan torus jelas tidaklah homeomorfik.

Analogi dua dimensi dari Konjektur Poincaré menyatakan bahwa setiap lipatan topologis dua dimensi yang tertutup dan terhubung, tetapi tidak homeomorfik dengan sfera dua dimensi, pasti memiliki sebuah lintasan yang tidak bisa disusutkan menjadi titik. (Hal ini tergambar dari contoh torus di atas.) Analogi tersebut diketahui benar, melalui klasifikasi lipatan topologis dua dimensi yang tertutup dan terhubung, suatu hasil yang telah dipahami dalam berbagai bentuk sejak dekade 1860-an. Namun, pada dimensi lebih tinggi, lipatan topologis tertutup dan terhubung tidak memiliki klasifikasi yang mudah, sehingga penyelesaian Konjektur Poincaré pun tidak dapat ditempuh dengan cara sederhana.

 Sejarah 

 Pertanyaan Poincaré 

Pada abad ke-19, Bernhard Riemann dan Enrico Betti memulai kajian tentang invarian topologi dari lipatan. English translation:  Mereka memperkenalkan bilangan Betti, yang mengaitkan pada setiap lipatan sebuah daftar bilangan bulat tak-negatif. Riemann menunjukkan bahwa sebuah lipatan dua dimensi yang tertutup dan terhubung dapat sepenuhnya ditentukan melalui bilangan Betti-nya. Sebagai bagian dari makalahnya pada tahun 1895 Analysis Situs (yang pertama kali diumumkan pada 1892), Poincaré menunjukkan bahwa hasil Riemann tidak dapat diperluas begitu saja ke dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu, ia memperkenalkan grup fundamental sebagai invarian topologis baru, dan menunjukkan contoh lipatan tiga dimensi yang memiliki bilangan Betti sama tetapi grup fundamental berbeda. Di sinilah ia mengajukan pertanyaan: apakah grup fundamental cukup untuk mengkarakterisasi sebuah lipatan (pada dimensi tertentu)? Namun, ia tidak mencoba menjawab pertanyaan itu, hanya menegaskan bahwa jawabannya akan “menuntut kajian panjang dan sukar”.

Tujuan utama makalah Poincaré adalah menafsirkan bilangan Betti melalui grup homologi yang baru diperkenalkannya, bersama dengan teorema dualitas Poincaré tentang simetri bilangan Betti. Setelah menerima kritik atas kelemahan argumennya, ia menerbitkan sejumlah “tambahan” (supplements) untuk memperbaiki dan memperdalam pekerjaannya. Pada penutup tambahan keduanya, yang terbit tahun 1900, ia menulis:
Agar tulisan ini tidak berlarut-larut, saya batasi diri hanya menyatakan teorema berikut, yang pembuktiannya akan menuntut pengembangan lebih lanjut:

Setiap polihedron yang seluruh bilangan Bettinya sama dengan 1 dan semua tabelnya  dapat diorientasikan adalah sederhana terhubung, yakni homeomorfik dengan sebuah hipersfera.

(Dengan bahasa modern, mengingat Poincaré menggunakan istilah sederhana terhubung dengan makna yang berbeda dari sekarang,cf. komentar Stillwell dalam  maksudnya adalah: sebuah lipatan terhubung dan tertutup yang terorientasi, dengan homologi sama seperti sfera, haruslah homeomorfik dengan sfera.) Rumusan ini mengubah generalisasi negatifnya atas karya Riemann dengan dua cara. Pertama, kini ia menggunakan grup homologi penuh, bukan sekadar bilangan Betti. Kedua, ia mempersempit ruang masalah dari pertanyaan apakah lipatan sebarang dapat ditentukan oleh invarian topologis, menjadi apakah sfera dapat dikarakterisasi demikian.

Namun, setelah dipublikasikan ia menyadari bahwa teorema yang ia umumkan itu keliru. Dalam tambahan kelimanya, yang terbit pada 1904, ia membuktikan kekeliruan tersebut lewat contoh tandingan berupa sfera homologi Poincaré, yakni lipatan tiga dimensi tertutup dan terhubung yang memiliki homologi sama seperti sfera, tetapi grup fundamentalnya terdiri atas 120 elemen. Contoh ini memperlihatkan dengan jelas bahwa homologi saja tidak cukup kuat untuk mengkarakterisasi topologi sebuah lipatan. Dalam penutup tambahan kelima itu, Poincaré merevisi teorema keliru tersebut dengan mengganti homologi menggunakan grup fundamental:
Satu pertanyaan tersisa: mungkinkah grup fundamental dari  mereduksi menjadi identitas tanpa  itu sendiri sederhana terhubung? [...] Namun, pertanyaan ini akan membawa kita terlalu jauh.

Dalam pernyataan itu, sebagaimana juga pada penutup tambahan keduanya, Poincaré menggunakan istilah “sederhana terhubung” dengan cara yang tidak sejalan dengan pemakaian modern, bahkan berbeda dengan definisinya sendiri pada 1895. (Menurut penggunaan modern, pertanyaan Poincaré adalah tautologi, seolah bertanya apakah mungkin sebuah lipatan sederhana terhubung tanpa benar-benar sederhana terhubung.) Namun, dari konteks dapat dipahami,Paragraf awal dalam  menyebut “sederhana terhubung dalam arti sejati kata itu” sebagai kondisi homeomorfik dengan sfera. bahwa Poincaré sejatinya menanyakan: apakah trivialitas grup fundamental cukup untuk mengkarakterisasi sfera?

Sepanjang karya Riemann, Betti, dan Poincaré, gagasan topologis yang mereka gunakan belumlah didefinisikan atau dipakai dengan ketepatan seperti dalam pandangan modern. Bahkan istilah kunci “lipatan” sendiri tidak konsisten digunakan Poincaré, dan kerap terjadi kekaburan antara lipatan topologis, lipatan PL, dan lipatan mulus. Karena itu, pertanyaan Poincaré tidak bisa dibaca secara gamblang tanpa ambiguitas. Baru melalui formalisasi dan perbendaharaan istilah topologi yang dikembangkan matematikawan kemudianlah pertanyaan penutup Poincaré dipahami sebagai “Konjektur Poincaré” seperti yang telah dirumuskan dalam bagian sebelumnya.

Namun, meski lazim dikenal sebagai sebuah konjektur — yakni usulan bahwa semua lipatan dengan sifat tertentu adalah homeomorfik dengan sfera — Poincaré sendiri sejatinya hanya mengajukan pertanyaan terbuka, tanpa pernah berani menebak jawabannya. Lebih jauh, tidak ada bukti yang menunjukkan arah jawaban mana yang sebenarnya ia yakini.

 Referensi 

 Pranala luar 

 "The Poincaré Conjecture" – BBC Radio 4 programme In Our Time, 2 November 2006. Contributors June Barrow-Green, Lecturer in the History of Mathematics at the Open University, Ian Stewart, Professor of Mathematics at the University of Warwick, Marcus du Sautoy, Professor of Mathematics at the University of Oxford, and presenter Melvyn Bragg.

Kategori:Henri Poincaré
Kategori:Manifold dimensi tiga
Kategori:Teorema dalam topologi
Kategori:Topologi geometrik
Kategori:Konjektur yang sudah dibuktikan
Kategori:Masalah Milenium