Identitas Brahmagupta

Dalam aljabar, identitas Brahmagupta menyatakan untuk  yang diberikan, produk dari dua bilangan berbentuk  itu sendiri adalah bilangan dari bentuk tersebut. Dengan kata lain, himpunan bilangan tersebut adalah tertutup di bawah perkalian. Secara khusus:

Baik (1) dan (2) dapat diverifikasi dengan pengembangan setiap sisi persamaan. Juga, (2) dapat diperoleh dari (1), atau (1) dari (2), dengan mengubah b menjadi −b.

Identitas ini berlaku baik dalam gelanggang bilangan bulat dan gelanggang bilangan rasional, dan khususnya dalam gelanggang komutatif mana pun.

Sejarah
Identitas adalah generalisasi dari apa yang disebut identitas Fibonacci (di mana n=1) yang sebenarnya ditemukan dalam Arithmetica Diophantus' (III, 19).
Identitas tersebut ditemukan kembali oleh Brahmagupta (598–668), seorang matematikawan India dan astronom, yang menggeneralisasi dan menggunakannya dalam studinya tentang apa yang saat ini disebut persamaan Pell. Brahmasphutasiddhanta miliknya diterjemahkan dari Sansekerta ke Arab oleh Mohammad al-Fazari, dan kemudian diterjemahkan ke Latin pada tahun 1126.George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, hal. 306. Pers Universitas Princeton. . Identitas tersebut kemudian muncul dalam Book of Squares (Fibonacci) pada tahun 1225.

 Penerapan persamaan Pell 
Dalam konteks aslinya, Brahmagupta menerapkan penemuannya pada solusi dari apa yang kemudian disebut persamaan Pell, yaitu x2 − Ny2 = 1. Menggunakan identitas dalam formulir

ia "menyusun" rangkap tiga (x1, y1, k1) dan (x2, y2, k2) itu adalah solusi dari x2 − Ny2 = k, untuk menghasilkan rangkap tiga baru

Ini tidak hanya memberikan cara untuk menghasilkan banyak solusi untuk x2 − Ny2 = 1 dimulai dengan satu solusi, tetapi juga, dengan membagi komposisi tersebut dengan k1k2, solusi bilangan bulat atau "dekat bilangan bulat" sering kali diperoleh. Metode umum untuk menyelesaikan persamaan Pell yang diberikan oleh Bhaskara II pada tahun 1150, yaitu metode chakravala (siklik), juga didasarkan pada identitas ini.

Lihat pula
 Matriks Brahmagupta
 Identitas Brahmagupta–Fibonacci
 Rumus interpolasi Brahmagupta
 matematika India
 Daftar matematikawan India

Referensi

Pranala luar
Identitas Brahmagupta di PlanetMath
Identitas Brahmagupta di MathWorld
 Kumpulan Identitas Aljabar

Kategori:Aljabar
Kategori:Aljabar dasar
Kategori:Identitas matematika
Kategori:Brahmagupta