Konstruksi bilangan riil

Dalam matematika, ada beberapa cara mendefinisikan bilangan riil, salah satunya adalah membentuknya menjadi suatu medan terurut lengkap yang tidak mengandung setiap medan terurut lengkap yang lebih kecil. Terdapat suatu definisi yang tidak membuktikan bahwa suatu medan terurut lengkap itu ada, dan keberadaan akan bukti tersebut melibatkan konstruksi struktur matematika yang memenuhi definisi.

 Definisi aksiomatik 
Bilangan riil didefinisikan secara aksiomatik sebagai unsur-unsur medan terurut lengkap. Definisi yang lebih presisinya adalah sebagai berikut: Model bilangan riil terdiri dari himpunan , dua unsur 0 dan 1 dari , dua operasi biner  (penambahan) dan  (perkalian) di , dan relasi biner  di . Model tersebut memenuhi sifat-sifat berikut.

  membentuk suatu medan. Dengan kata lain, 
 Untuk semua , , dan  di , berlaku asosiatif penambahan dan perkalian  dan .
 Untuk semua  dan  di , berlaku komutatif penambahan dan perkalian  dan .
 Untuk semua , , dan  di , berlaku distributif penambahan dan perkalian .
 Untuk semua  di , berlaku identitas penambahan  dan identitas perkalian .
 Untuk setiap  di , terdapat unsur  di , sehingga .
 Untuk setiap  di , terdapat unsur  di , sehingga .
  membentuk suatu himpunan terurut total. Dengan kata lain,
 Untuk semua  di , . (refleksivitas)
 Untuk semua  dan  di , jika  dan , maka . (antisimetri)
 Untuk semua , , dan  di , jika  dan , maka . (transitif)
 Untuk semua  dan  di ,  atau . (totalitas)
 Operasi  dan  di medan  dikatakan kompatible (compatible) dengan urutan . Dengan kata lain, 
 Untuk semua , , dan  di , jika , maka .
 Untuk semua , , dan  di , jika  dan , maka .
 Urutan  dikatakan lengkap dalam artian berikut: setiap subhimpunan tak kosong dari batas atas  mempunyai batas atas terkecil. Dengan kata lain, jika  mempunyai batas atas, maka  setidaknya mempunyai batas atas , sehingga untuk setiap batas atas  dari , .

 Aksiomatisasi bilangan riil Tarski 

Terdapat aksiomatisasi bilangan riil dan aritmetikanya lain yang dibuat dan dihimpun oleh Alfred Tarski. Aksiomatisasi ini terdiri dari delapan aksioma terdiri dari empat gagasan primitif.

Kategori:Bilangan riil
Kategori:Konstruktivisme (matematika)