Fungsi hiperbolik invers

pra=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Mplwp_inverse_hyperbolic_functions.svg|ka|jmpl|300x300px|Fungsi hiperbolik invers
Dalam matematika, fungsi hiperbolik invers merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik.

 Notasi 
Asal-usul prefiks ar- berasal dari singkatan dari notasi fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arsinh dan arcosh) berdasarkan ISO 80000-2. Prefiks arc- yang berasal dari fungsi hiperbolik yang serupa (seperti, arcsinh dan arccosh) juga sering kali dipakai berdasarkan penamaan fungsi invers trigonometri. Namun sayangnya, pemakaian kedua prefiks tersebut keliru sebab prefiks arc merupakan singkatan dari arcus, sedangkan prefiks ar merupakan singkatan dari area (). Karena itu, fungsi hiperbolik secara tidak langsung dikaitkan dengan busur.Menurut Jan Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers (New York: W. W. Norton & Company, 1997), , hlm. 539:Another form of notation, , , etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with arc, but with area, as is demonstrated by their full Latin names,
arsinh     area sinus hyperbolicus
arcosh     area cosinus hyperbolicus, etc.Terjemahan:Bentuk notasi yang lain, seperti fungsi arcsinh x, arccosh x, dsb., sebaiknya dihindari. Sebab fungsi-fungsi tersebut tidak mempunyai kaitan dengan [awalan] arc, melainkan area (), seperti yang ditunjukkan berdasarkan nama panjang dalam bahasa Latin, seperti arsinh (area sinus hyperbolicus), arcosh (area cosinus hyperbolicus), dsb.Menurut Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch dan Hans Rudolf Schwarz (diterjemahkan oleh Bruce Hunt, ke Oxford Users' Guide to Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2004), , Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", hlm. 68:"The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of x). ..." This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.Terjemahan:"Nama-nama untuk fungsi hiperbolik invers, dalam bahasa Latin, adalah area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, dan area kontangen hyperbolicus (dari x). ...". Sumber yang telah disebutkan memakai notasi arsinh, arcosh, artanh, dan arcoth untuk masing-masing fungsi hiperbolik invers.Menurut Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol dan Heiner Mühlig, Handbook of Mathematics (Berlin: Springer-Verlag, 5th ed., 2007), , , Section 2.10: "Area Functions", hlm. 91:The area functions are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e., the inverse hyperbolic functions. The functions , , and  are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh x has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name area refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...Terjemahan:Area functions () merupakan fungsi invers dari fungsi hiperbolik, atau disebut sebagai fungsi hiperbolik invers. Fungsi-fungsi tersebut seperti , , dan  merupakan [fungsi yang] monoton dengan sempurna, yang membuat fungsi tersebut hanya mempunyai satu buah fungsi invers tanpa adanya batasan. Di sisi lain, fungsi cosh x mempunyai dua interval monotonik, dan begitupula kita dapat menganggap kedua fungsi invers [yang lain]. Nama area () mengacu pada fakta bahwa definisi geometri dari fungsi merupakan luas dari daerah-daerah hiperbolik tertentu ...

Notasi seperti , , dst. juga dipakai sebagai penggantinya. Namun sayangnya, superskrip −1 membingungkan para pembaca karena dapat diartikan sebagai perpangkatan atau fungsi invers (sebagai contoh, bandingkan  dengan 

 Definisi fungsi invers hiperbolik dalam logaritma 
Karena fungsi hiperbolik merupakan fungsi rasional dari , dengan derajat pada pembilang maupun penyebut setidaknya bernilai dua, fungsi-fungsi tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk  dengan menggunakan rumus kuadratik. Maka, dengan mengambil logaritma alami akan memberikan ekspresi berikut untuk fungsi hiperbolik invers.
Nama fungsi invers hiperbolikDefinisi fungsi invers hiperbolik dalam DomainFungsi sinus hiperbolik invers:Di seluruh garis bilangan realFungsi kosinus hiperbolik inversDi interval tertutup Fungsi tangen hiperbolik inversDi interval terbuka Fungsi kotangen hiperbolik inversDi gabungan dari interval terbuka  dan Fungsi sekan hiperbolik inversDi interval semi- terbuka Fungsi kosekan hiperbolik inversDi garis bilangan real, tetapi tidak memuat 0.
 Rumus penambahan 











 Identitas lainnya 





 Komposisi dari fungsi hiperbolik dan fungsi hiperbolik invers 



 Komposisi dari fungsi invers hiperbolik dan fungsi trigonometri 





 Konversi 









 Turunan 



Sebagai contoh, misalkan , maka dengan .

 Ekspansi deret 
Ekspansi deret dapat diperoleh untuk fungsi-fungsi di atas:













Ekspansi asimtotik untuk fungsi  dinyatakan dengan



 Referensi 

 Bibilografi 

 Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, page 207, Academic Press.

 Pranala luar 


Kategori:Fungsi hiperbolik invers