Grup terbangkit terbatas

Dalam matematika, grup disebut terbangkit terbatas jika dapat dinyatakan sebagai hasil kali terhingga dari subgrup siklik. Sifat terbangkit terbatas juga terkait erat dengan masalah subgrup kongruensi (lihat ).

 Definisi 

Grup G disebut terbangkit terbatas jika terdapat bilangan bagian terhingga S dari G dan bilangan bulat positif m sehingga setiap elemen g dari G bisa ditunjukkan sebagai hasil kali dari paling banyak m pangkat dari elemen S:

  dengan  dan  adalah bilangan bulat.

Himpunan hingga S menghasilkan G, jadi grup terbangkit terbatas adalah terbangkit terhingga.

Definisi yang mirip dengan sebelumnya dapat dinyatakan dalam bentuk subgrup siklik. Grup G disebut terbangkit terbatas jika ada keluarga terhingga C1, …, CM dari subgrup siklik yang belum tentu berbeda sehingga G = C1…CM sebagai suatu himpunan.

 Sifat 

 Bertingkat secara terbatas tidak terpengaruh dengan meneruskan ke subgrup indeks hingga: jika H adalah subgrup indeks berhingga dari G maka G adalah bertingkat secara hingga jika dan hanya jika H adalah terbangkit terbatas.
 Bertingkat terbatas masuk ke dalam ekstensi: jika grup G memiliki subgrup normal N sedemikian rupa sehingga N dan G/N adalah terbangkit terbatas, maka G itu sendiri.
 Setiap grup hasil bagi dari grup terbangkit terbatas juga merupakan terbangkit terbatas.
 Grup torsi terbangkit terbatas tetap berhingga jika itu merupakan terbangkit terbatas; secara ekuivalen, grup torsi terbangkit terbatas-tak hingga bukan merupakan terbangkit terbatas.

Sebuah karakter semu pada grup diskrit G didefinisikan sebagai fungsi bernilai real f pada G sehingga
f(gh) − f(g) − f(h) adalah terbatas seragam dan f(gn) = n·f(g).

 Ruang vektor karakter semu dari grup G terbangkit terbatas adalah dimensi-hingga.

 Contoh 
 Jika n ≥ 3, maka grup SLn(Z) yang merupakan terbangkit terbatas dengan subgrup dasarnya, dibentuk oleh matriks yang berbeda dari matriks identitas hanya dalam satu entri off-diagonal. Pada tahun 1984, Carter dan Keller memberikan bukti dasar dari hasil tersebut, yang termotivasi oleh pertanyaan dalam aljabar .
 Grup bebas pada setidaknya dua pembangkit bukan merupakan terbangkit terbatas (lihat di bawah).
 Grup SL2(Z) bukan merupakan terbangkit terbatas, karena berisi subgrup bebas dengan dua generator indeks 12.
 Grup hiperbolik Gromov merupakan terbangkit terbatas jika dan hanya jika siklik virtual (atau elementer), yaitu berisi subgrup siklik dari indeks hingga.

 Grup bebas yang bukan merupakan terbangkit secara terbatas 
Dalam literatur matematika, beberapa penulis telah menyatakan dengan jelas bahwa grup bebas bangkit terhingga bukan merupakan terbangkit terhingga. Bagian ini berisi berbagai cara yang jelas dan kurang jelas untuk membuktikan hal ini. Beberapa metode yang melibatkan kohomologi terbatas penting karena lebih geometris dibandingkan aljabar, sehingga dapat diterapkan pada kelas grup yang lebih luas, misalnya grup hiperbolik Gromov.

Karena untuk setiap n ≥ 2, grup bebas pada 2 generator F2 berisi sebagai grup bebas pada pembangkit n yaitu  Fn yang dikenal sebagai subgrup indeks hingga (yang sebenarnya adalah n − 1), sekali satu grup bebas non-siklik pada banyak generator diketahui yang bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk semuanya. Demikian pula, karena SL2(Z) berisi F2 sebagai subgrup indeks 12 yang cukup untuk mempertimbangkan SL2(Z). Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa tidak ada Fn dengan n ≥ 2 memiliki generasi terbatas, cukup untuk membuktikan ini untuk salah satu dari mereka atau bahkan hanya untuk SL2(Z) .

Kontracontoh Burnside
Karena generasi terbatas dipertahankan di bawah pengambilan gambar homomorfik, jika satu grup yang terbangkit hingga dengan setidaknya dua generator diketahui bukan terbangkit secara terbatas, ini akan berlaku untuk grup bebas pada jumlah generator yang sama, dan karenanya untuk semua grup bebas. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada gugus bebas (non-siklik) yang memiliki terbangkit terbatas, maka cukup untuk menghasilkan satu contoh dari grup terbangkit hingga yang bukan terbangkit secara terbatas, dan grup torsi tak hingga yang terbangkit secara terbatas akan berfungsi. Keberadaan grup tersebut merupakan solusi negatif Golod dan Shafarevich dari masalah Burnside umum pada tahun 1964; kemudian, contoh eksplisit lain dari grup torsi terbangkit hingga secara tak hingga dikembangkan oleh Aleshin, Olshanskii, dan Grigorchuk yang menggunakan automata. Akibatnya, grup bebas peringkat setidaknya dua bukan termasuk terbangkit secara terbatas.

Grup simetris
Grup simetris Sn dapat dihasilkan oleh dua elemen yaitu siklus 2 dan siklus n, sehingga merupakan grup hasil bagi F2. Di sisi lain, mudah untuk menunjukkan bahwa orde maksimal M(n) dari sebuah elemen dalam Sn memenuhi

 log M(n) ≤ n/e

dengan e adalah bilangan Euler (Edmund Landau membuktikan perkiraan asimtotik yang lebih tepat log M(n) ~ (n log n)1/2).  Faktanya jika siklus dalam dekomposisi siklus dari permutasi memiliki panjang N1, ..., Nk dengan N1 + ··· + Nk = n, maka urutan permutasi membagi hasil kali N1 ··· Nk, yang pada gilirannya dibatasi oleh (n/k)k, menggunakan ketaksamaan purata aritmetika dan geometrik. Sebaliknya, (n/x)x dimaksimalkan ketika x = e. Jika F2 dapat ditulis sebagai produk dari subgrup siklik m, maka n! harus kurang dari atau sama dengan M(n)m untuk semua n yang bertentangan dengan rumus asimtotik Stirling.

Geometri hiperbolik
Ada juga bukti geometris sederhana bahwa G = SL2(Z) tidak dihasilkan secara terbatas. Hal ini bertindak dengan transformasi Möbius pada medan setengah atas H, dengan metrik Poincaré. Semua penyangga kompak bentuk-1 α pada ranah fundamental dari G meluas secara unik ke invarian-G bentuk-1 pada  H. Jika z adalah H dan γ adalah geodesik dari z ke g(z), fungsi didefinisikan oleh


memenuhi kondisi pertama untuk karakter semu karena teorema Stokes


dimana Δ adalah segitiga geodesik dengan simpul z, g(z) dan h−1(z), dan segitiga geodesik memiliki luas terbatas oleh π. Fungsi yang dihomogenkan

mendefinisikan karakter semu, hanya bergantung pada α. Sebagaimana diketahui dari teori sistem dinamik, orbit apapun (gk(z)) dari elemen hiperbolik g memiliki himpunan batas yang terdiri dari dua titik tetap pada sumbu real diperluas; maka segmen geodesik dari z ke g(z) memotong hanya sedikit translasi domain fundamental. Oleh karena itu mudah untuk memilih α sehingga fα sama dengan satu pada elemen hiperbolik tertentu dan menghilang pada himpunan berhingga elemen hiperbolik lain dengan titik tetap yang berbeda. Karena G memiliki ruang dimensi tak hingga dari karakter semu, ia tidak dapat dibangkitkan secara terbatas.

Sifat dinamis elemen hiperbolik juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa setiap grup hiperbolik Gromov non-dasar tidak dihasilkan secara terbatas.

Karakter semu Brooks
Robert Brooks memberikan skema kombinatorial untuk menghasilkan karakter semu dari grup bebas apa pun Fn; skema ini kemudian terbukti menghasilkan keluarga pseudokarakter berdimensi tak hingga (lihat ). Epstein dan Fujiwara kemudian memperluas hasil ini ke semua kelompok hiperbolik Gromov non-dasar.

 Batas Gromov 
Pembuktian cerita rakyat sederhana ini menggunakan sifat dinamis dari aksi elemen hiperbolik pada batas Gromov dari grup Gromov-hiperbolik. Untuk kasus khusus grup bebas Fn, batas (atau ruang ujung) dapat diidentikkan dengan ruang X dari kata reduksi semi-ketakhinggaan

g1 g2 ···

dalam generator dan kebalikannya. Ini memberikan pemadatan alami dari pohon yang diberikan oleh grafik Cayley sehubungan dengan generator. Urutan kata semi-ketakhinggaan konvergen ke kata lain yang serupa asalkan segmen awal sependapat setelah tahap tertentu, sehingga X salah satu kompak (dan termetrikkan). Grup bebas bertindak dengan perkalian kiri pada kata-kata semi-ketakhinggaan. Selain itu, setiap elemen g pada Fn memiliki tepat dua titik tetap g ±∞, yaitu kata-kata ketakhinggaan tereduksi yang diberikan oleh batas g&hairsp;n sebagai n cenderung ±∞. Selain itu, g&hairsp;n·w cenderung g ±∞ karena n cenderung ±∞ untuk kata semi-ketakhinggaan w; dan lebih umum jika wn cenderung w ≠ g ±∞, lalu g&hairsp;n·wn cenderung g&hairsp;+∞ sebagai n cenderung ∞.

Jika Fn terbangkit secara hingga dapat ditulis sebagai produk dari grup siklik Ci dihasilkan oleh elemen hi. Misalkan X0 menjadi himpunan bagian yang dapat dihitung yang diberikan oleh banyak orbit Fn berhingga
dari titik tetap hi ±∞, titik tetap dari hi dan semua konjugatnya. Karena X tidak terhitung, disitulah adalah elemen g dengan titik tetap di luar X0 dan titik w di luar X0 berbeda dari titik tetap ini. Kemudian untuk beberapa suburutan (gm) dari (gn)

gm = h1n(m,1) ··· hkn(m,k), dengan masing-masing n(m,i&hairsp;) konstan atau monoton sempurna.

Di satu sisi, dengan penggunaan aturan yang berurutan untuk menghitung batas bentuk h&hairsp;n·wn, batas sisi kanan yang diterapkan ke x tentu saja merupakan titik tetap dari salah satu konjugat-konjugat hi. Di sisi lain, batas ini juga harus g&hairsp;+∞ yang bukan salah satu dari poin ini, yaitu kontradiksi.

 Referensi 

 (see pages 222-229, also available on the Cornell archive)

.

Kategori:Aljabar
Kategori:Teori grup geometris