Fungsi Weierstrass

Dalam matematika, fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi bernilai real yang kontinu di manapun namun tidak terdiferensialkan di manapun. Fungsi ini adalah contoh sebuah fungsi fraktal. Fungsi ini dinamakan dengan nama penemunya, Karl Weierstrass.

Fungsi Weierstrass muncul sebagai fungsi "diluar nalar", pertama kali diterbitkan (1872) sebagai sebuah contoh untuk menantang konsep bahwa semua fungsi kontinu akan terdiferensialkan kecuali pada himpunan titik pencil.Setidaknya dua peneliti memformulasikan fungsi kontinu yang tak terdiferensialkan dimanapun, tetapi hasil penelitian tidak dipublikasikan semasa hidup mereka. Sekitar tahun 1831, Bernard Bolzano (1781 - 1848), seorang matematikawan Ceko, filosofer, dan pendeta Katolik, membuat fungsi tersebut, tetapi tidak dipublikasikan sampai tahun 1922. Lihat:

 Martin Jašek (1922) "Funkce Bolzanova"  (fungsi Bolzano), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 2, pages 69–76 (in Czech and German).
 Vojtěch Jarník (1922) "O funkci Bolzanově" (On Bolzano's function), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Journal for the Cultivation of Mathematics and Physics), vol. 51, no. 4, hlm 248 - 264 (bahasa Ceko).  Tersedia daring dalam bahasa Ceko di:  http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf   .  Tersedia daring dalam bahasa Inggris di:  http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf   .
 Karel Rychlík (1923) "Über eine Funktion aus Bolzanos handschriftlichem Nachlasse" (Tentang sebuah fungsi dari manuskrip Bolzano), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Prag) (Proceedings of the Royal Bohemian Society of Philosophy in Prague) (untuk tahun 1921-1922), Class II, no. 4, hlm 1-20.  (Sitzungsberichte was continued as:  Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Journal of the Royal Czech Society of Science, Mathematics and Natural Sciences Class).)Sekitar 1860, Charles Cellérier (1818 - 1889), seorang  profesor matematika, mekanika, astronomi, dan geografi fisik Universitas Jenewa, Swiss, secara independen mengembangkan sebuah fungsi kontinu yang tak terdiferensialkan dimanapun yang mirip dengan fungsi Weierstrass. Penemuan Cellérier, malangnya, dipublikasikan anumerta:
 Cellérier, C. (1890) "Note sur les principes fondamentaux de l'analyse" (Catatan mengenai dasar-dasar analisis), Bulletin des sciences mathématiques, second series, vol. 14, hlm. 142 - 160. Bukti Weierstrass bahwa kekontinuan tidak menyiratkan keterdiferensial hampir-di manapun memutar-balikkan ilmu matematika, menggulingkan beberapa pembuktian yang berdasar pada intuisi geometris dan definisi kemulusan yang rancu. Jenis fungsi ini dikecam oleh beberapa matematikawan semasa itu: Henri Poincaré dikenal dengan mengutarakan fungsi tersebut sebagai "monster" dan menyebut karya Weierstrass' sebagai "sebuah kemarahan terhadap akal sehat", sedangkan Charles Hermite menulis bahwa fungsi itu "bencana yang menyedihkan". Fungsi Weierstrass tidak dapat divisualisasikan sampai kemunculan komputer di abad selanjutnya. Fungsi ini tidak diterima secara luas sampai saat diterapkan untuk model gerak Brown yang memerlukan fungsi yang bergerigi dengan jumlah tak hingga (saat ini dikenal sebagai fungsi fraktal).

 Konstruksi 
ka|jmpl|Animasi berdasarkan kenaikan nilai b dari 0,1 ke 5.
Dalam makalah asli Weierstrass, fungsi ini didefinisikan sebagai sebuah deret pangkat:



dengan ,   adalah bilangan ganjil positif, dan



Nilai minimum  sehingga ada  yang memenuhi syarat tersebut adalah . Definisi ini, beserta bukti bahwa fungsi tidak terdiferensialkan pada sembarang selang, disampaikan oleh Weierstrass dalam sebuah makalah yang disajikan untuk Akademi Sains Prusia pada 18 Juli 1872.Di halaman 560 karya tahun 1872 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Laporan Bulanan Akademika Sains Prusia di Berlin), ada menyinggung secara singkat bahwa pada 18 Juli, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten" (Mr. Weierstrass membaca [sebuah makalah] mengenai fungsi kontinu tanpa turunan [di] tak hingga [titik]). Tetapi, makalah Weierstrass tidak diterbitkan di Monatsberichte.Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (Mengenai fungsi kontinu dengan argumen real yang tidak memiliki turunan untuk setiap nilai argumennya) di: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, hlm. 71–74.Lihat pula: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Risalah dari Teori Fungsi] (Berlin, Germany:  Julius Springer, 1886), hlm. 97.

Walaupun tidak terdiferensialkan, fungsi ini kontinu. Suku-suku yang mendefinisikan jumlah tak-hingga terbatas oleh , yang memiliki nilai yang hingga untuk  . Jenis konvergensi dari jumlah suku-suku ini adalah seragam lewat uji-M Weierstrass dengan . Karena setiap jumlah parsial bersifat kontinu, dengan teorema limit seragam dapat ditunjukkan  kontinu. Terlebih lagi, karena setiap jumlah parsial kontinu seragam, fungsi  juga kontinu seragam.

Dapat dibayangkan bahwa sebuah fungsi kontinu harus memiliki turunan, atau bahwa himpunan titik yang tak terdiferensialkan harus terhitung (baik hingga atau tak hingga). Berdasarkan Weierstrass di makalahnya, banyak matematikawan di masa lalu, termasuk Gauss, sering mengasumsikan intuisi tersebut benar. Hal tersebut mungkin diakibatkan karena sulitnya menggambar atau membayangkan sebuah fungsi kontinu yang himpunan titik tak terdiferensialkannya tak terhitung.

 Kekontinuan Hölder 
Fungsi Weierstrass lebih nyaman untuk ditulis ulang sebagai



Untuk .  Fungsi  selanjutnya dapat ditunjukkan kontinu Hölder pangkat , yang mengartikan ada konstanta  sehingga



untuk setiap  dan ., p. 47. Lebih lanjut,  kontinu Hölder untuk semua pangkat  tetapi tidak kontinu Lipschitz.

 Referensi 

 Daftar pustaka 







 Versi bahasa Inggris: 

Kategori:Analisis real
Kategori:Jenis fungsi
Kategori:Teori fungsi kontinu