Persamaan beda rasional

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentukSkellam,  J.G. (1951).  “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.

di mana kondisi awal  sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk  apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama
Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk



Bila  dan kondisi awal  adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis  sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain  yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.

 Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertamaBrand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492.    online untuk mengembangkan variabel yang diubah , ketika  ditulis sebagai

di mana   dan  dan di mana .

Penulisan lebih lanjut  ditampilkan sebagai hasil


Pendekatan kedua 

Pendekatan iniMitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.  diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk  alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana  bukanlah negatif. Tulis sebagai  diimplikasikan , di mana  yang diberikan oleh  dan di mana . Maka dapat ditunjukkan bahwa  dievolusikan sebagai



Pendekatan ketiga
Persamaan

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

di mana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalahMartin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.

di mana

Aplikasi

Hal ini ditunjukkanBalvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159. bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk



yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Referensi

Bacaan lebih lanjut

 Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.

Aljabar
Hubungan perulangan
Kategori:Sistem dinamik