Teorema apit

Dalam kalkulus, teorema apit merupakan teorema yang melibatkan limit pada suatu fungsi yang diapit oleh dua fungsi lain sehingga ketiga fungsi tersebut memiliki nilai limit yang sama. Sebagai ilustrasi, dapat terlihat pada gambar di samping bahwa fungsi yang berwarna biru diapit dari atas oleh fungsi yang berwarna hijau dan di apit dari bawah oleh fungsi yang berwarna merah.

Teorema apit sering digunakan pada bidang kalkulus dan analisis matematika untuk mencari nilai limit dengan cara membandingkannya dengan dua fungsi lain yang nilai limitnya diketahui. Teorema ini pertama kali digunakan secara geometris oleh matematikawan Archimedes dan Eudoksos untuk menghitung nilai π, yang kemudian dirumuskan menggunakan notasi modern oleh Carl Friedrich Gauss.

 Pernyataan 
Teorema apit secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut:

 Fungsi  dan  (berturut-turut) disebut sebagai batas bawah dan atas dari fungsi 
 Titik  tidak diharuskan berada pada interior dari . Jika  adalah titik ujung dari , maka limit di atas adalah limit kiri atau limit kanan.
 Pernyataan serupa juga berlaku untuk selang takhingga. Sebagai contoh, jika , maka teorema apit dapat digunakan dengan mengambil limit saat  mendekati 

 Bukti 
 Supremum dan Infimum 
Menurut hipotesis di atas, maka
 , dan


Oleh karena , maka dengan mengambil limit saat  mendekati , diperoleh rantai pertidaksamaan

Perhatikan bahwa , sehingga rantai pertidaksamaan di atas menjadi rantai persamaan, maka dapat disimpulkan bahwa 

 Definisi (ε, δ) dari limit 
Diketahui  dan . Jika diberikan suatu , maka



Oleh karena pertidaksamaan  ekuivalen dengan pertidaksamaan , dengan memilih , maka diperoleh rantai pertidaksamaan

yang mengakibatkan  (atau menggunakan tanda mutlak, ). Sehingga, terbukti bahwa . Q.E.D.

 Teorema apit untuk barisan 
jmpl|Ilustrasi teorema apit untuk barisan.|360x360px

Teorema ini juga dapat diterapkan pada barisan. Misalkan  dan  adalah barisan yang konvergen ke  dan  adalah suatu barisan. Jika terdapat suatu bilangan  sedemikian sehingga berlaku

untuk setiap nilai , maka barisan  juga konvergen ke .

 Bukti 
Pernyataan di atas dapat dibuktikan dengan cara serupa seperti sebelumnya. Diketahui  dan  sama-sama konvergen ke . Jika diberikan suatu , maka



Oleh karena pertidaksamaan  ekuivalen dengan pertidaksamaan , dengan memilih , maka diperoleh rantai pertidaksamaan

yang mengakibatkan  (atau menggunakan tanda mutlak, ). Sehingga, terbukti bahwa barisan  juga akan konvergen ke .

 Contoh masalah 

 Contoh pertama 


Nilai limit dari  tidak dapat dicari dengan menggunakan sifat perkalian dari limit, yaitu

sebab nilai  tidak ada. Akan tetapi, perhatikan bahwa berlaku pertidaksamaan

untuk setiap bilangan riil . Dengan memilih , maka didapatkan rantai pertidaksamaan

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa 

Baris kedua diperoleh dengan mengalikan semua ruas pertidaksamaannya dengan . Tanda pertidaksamaan pada baris kedua tidak berubah, sebab nilai  selalu non-negatif.

Oleh karena  dan , maka menurut teorema apit, nilai  haruslah 0 juga.

 Contoh kedua 

Salah satu contoh yang paling terkenal mengenai pencarian limit melalui proses penghimpitan adalah pembuktian nilai

Untuk membuktikan hasil pertama, dapat dengan mudah terlihat (dengan menggunakan ilustrasi geometris di bagian kanan) bahwa

sehingga diperoleh rantai pertidaksamaan

untuk nilai  yang cukup dekat dengan . Oleh karena fungsi kosinus  dan fungsi sinc  sama-sama merupakan fungsi genap, maka pertidaksamaan di atas juga berlaku untuk nilai  negatif. Dengan mengambil nilai limit saat  mendekati , maka didapatkan 

Untuk membuktikan hasil kedua, dengan menggunakan ilustrasi yang sama, perhatikan bahwa  dan  sama-sama merupakan jari-jari lingkaran, sehingga segitiga  merupakan segitiga sama kaki. Oleh karena , maka didapatkan . Akibatnya,

Sehingga,

untuk nilai  positif yang cukup dekat dengan . Oleh karena fungsi  dan fungsi sinus  sama-sama merupakan fungsi ganjil, maka pertidaksamaan di atas akan menjadi

yang berlaku untuk nilai  negatif yang cukup dekat dengan . Dengan mengambil nilai limit saat  mendekati  dari kiri dan dari kanan, maka didapatkan 

Dengan menggunakan identitas Pythagoras beserta informasi  yang telah diperoleh sebelumnya, maka didapatkan

Kedua nilai limit ini digunakan untuk membuktikan turunan dari fungsi sinus adalah fungsi kosinus.

 Contoh ketiga 

Proses penghimpitan juga dapat digunakan untuk membuktikan


Berikut adalah penjelasan ilustrasi di bagian kanan :
 Konstruksikan lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal beserta garis  dan garis , untuk suatu parameter .
 Dengan bantuan identitas Pythagoras, maka diperoleh jarak titik  dengan titik  adalah .
 Kemudian, dikonstruksikan lingkaran berjari-jari  dengan pusat yang sama.
 Lakukan hal serupa untuk sudut 

Perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari . Saat  mendekati , bagian busur lingkaran nya akan mendekati garis lurus, sehingga luas juringnya dapat didekati dengan bangun segitiga. Jika panjang busurnya (yaitu ) dijadikan sebagai alas segitiga, maka tinggi segitiganya adalah jari-jari lingkaran (yaitu ), sehingga diperoleh

Sekarang perhatikan juring lingkaran yang berjari-jari . Dengan argumentasi serupa, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa luas juringnya (yang dinotasikan dengan ) adalah

Bangun yang akan dihimpit oleh  dan  adalah segitiga yang memiliki titik sudut pada koordinat , dan . Jika tinggi segitiganya adalah  satuan, maka panjang alasnya adalah , sehingga luas segitiganya ialah

Akibatnya, diperoleh rantai pertidaksamaan

dengan asumsi bahwa . Apabila , maka didapatkan

Pada kedua kasus di atas, ekspresi pertama dan ketiga sama-sama mendekati  saat  mendekati , sedangkan ekspresi di tengah akan mendekati  saat  mendekati , sehingga terbukti bahwa nilai  menggunakan teorema apit.

 Contoh keempat 
Teorema apit masih dapat digunakan pada kalkulus multivariabel, namun batas bawah (dan batas atas) fungsinya harus berada di bawah (dan di atas) nilai fungsinya untuk setiap persekitaran titik yang akan diselidiki, bukan untuk suatu lintasan tertentu saja. Misalnya, nilai

terbatas ke atas oleh fungsi  dan terbatas ke bawah oleh fungsi  untuk setiap titik pada persekitaran .

Perhatikan bahwa  untuk setiap bilangan riil . Akibatnya,

Dengan menggunakan pertidaksamaan  yang berlaku untuk setiap bilangan riil , maka didapatkan

Oleh karena  dan , maka menurut teorema apit,

 Referensi 

 Pranala luar 

  Teorema Apit by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
  Teorema Apit pada ProofWiki.

Kategori:Limit (matematika)
Kategori:Fungsi matematika
Kategori:Teorema dalam analisis real
Kategori:Teorema dalam kalkulus