Daftar identitas logaritma

Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai 

 .

dimana  adalah adalah basis atau bilangan pokokArchangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA , hlm. 15. dari logaritma, dengan syarat  atau ,  adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus,Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X , hlm. 29. dan bilangan positif  adalah hasil dari logaritma yang disebut dengan antilogaritma. 

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan , kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

 Sifat dasar 

 Sifat trivial 
Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah , karena . Terdapat sifat dasar lain, yaitu

 , karena .
 .

Sebagai pengecualian, logaritma dengan  tidak memiliki nilai. Hasil limit dari  ketika . Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

 Perkalian dan pembagian 



Misalkan  dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  dan . Maka,

.

Ambil logaritma basis  pada kedua ruas sehingga

.
Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

 .



Misalkan  dan . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh  dan . Maka,

Ambil logaritma basis  pada kedua ruas sehingga

.

 Penambahan dan pengurangan 




Lebih umumnya lagi,

 .

 Perubahan basis 
Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai



dengan syarat  dan  dan , dengan mengikuti definisi logaritma.Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.Misal . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh . Maka, kita tuliskan sebagai

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

Substitusi kembali sehingga didapati
.

 Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma 




 Pertukaran basis 
Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

 .

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan  akan memperoleh
. 

 Logaritma dalam eksponen 

  atau 

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

. 

 Membatalkan eksponen 
Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

  karena ; dan
  karena .

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa .

 Logaritma dengan basis lain 

 Logaritma natural 








 Logaritma dalam kalkulus 

 Limit 
jmpl|360x360px|Untuk , ketika , maka grafik menunjukkan bahwa nilai yang diperoleh menuju  dengan drastis dan ketika , maka menuju  secara perlahan.




Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis  sembarang (untuk ). Sebagai catatan, untuk ,




Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.




Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

  jika 
  jika 

 Turunan 
Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

 , dengan , , dan .

Perhatikan bahwa 
 jika dan hanya jika ,

maka kita memperoleh
.

Dengan substitusi kembali, diperoleh
.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan
 Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
Turunan dalam basis lain, antara lain



 Integral 
Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai



Integral dalam basis lain, antara lain



Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan . Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan , ,  dan , maka

. 

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas tambahannya.

 Deret 



 Pendekatan logaritma 




 Bentuk pecahan berlanjut 

 Logaritma alami 





 Lihat pula 

 Daftar identitas eksponensiasi

 Rujukan 

Kategori:Identitas matematika
Kategori:Logaritma