Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil

jmpl|Grafik mengenai fungsi bilangan bulat terkecil
jmpl|Grafik mengenai fungsi bagian bilangan bulat.
Dalam matematika, khususnya di bidang teori bilangan dan ilmu komputer, suatu fungsi  dikatakan fungsi atap (ceiling function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real  ke bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan .Sukardi, mathcyber1997.com: Materi, Soal, dan Pembahasan - Fungsi Lantai dan Fungsi Atap. Diakses pada 5 Agustus 2023. Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi atap juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terkecil.

Sebaliknya, suatu fungsi  dikatakan fungsi lantai (floor function), dinotasikan oleh , adalah fungsi yang memetakan bilangan real  ke bilangan bulat terbesar yang lebih kecil daripada atau sama dengan . Sebagai contoh, nilai dari . Fungsi lantai juga dapat disebut fungsi bilangan bulat terbesar.

Galibnya, definisi pada fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil dapat ditulis sebagai

Hubungan kedua fungsi di atas dapat diterapkan pada salah satu fungsi berikut, yaitu bagian bilangan bulat (), di mana bilangan riil yang dipetakan ke fungsi tersebut sehingga menjadi bilangan bulat yang muncul sebelum bilangan desimal, dilambangkan  atau terkadang dinotasikan sebagai  dan dirumuskan sebagai

Untuk memahami lebih lanjut, tinjau  yang bernilai , maka . Hal yang serupa dengan bilangan bertandakan negatif, contohnya sederhananya, .

 Sejarah 

Fungsi atap dan lantai dikenal masuk dalam bagian bilangan bulat. Namun, bagian bilangan bulat juga digunakan untuk pemotongan bilangan bulat mendekati 0 pada bilangan bulat negatif, yang berbeda dengan fungsi lantai di bilangan negatif.

Bagian bilangan bulat didefinisikan oleh Adrien-Marie Legendre pada tahun 1798. Selanjutnya, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan penggunaan notasi tanda kurung kotak untuk menuliskan fungsi bilangan bulat terbesar. Namun, tidak ada notasi standar untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil. Beberapa penulis bahkan menggunakan notasi  untuk penulisan fungsi bilangan bulat terkecil, yang tidak menjadi standar.

Pada tahun 1962, Kenneth Eugene Iverson memperkenalkan fungsi atap dan lantai dalam bukunya, A Programming Language. Penggunaan notasi ini dipopulerkan oleh Donald Ervin Knuth yang sekarang menjadi standar penggunaan dalam berbagai artikel teknis tanpa perlu penjelasan fungsi tersebut.

 Sifat dan identitas 
Beberapa sifat yang terkandung dalam fungsi bilangan bulat besar dan fungsi bilangan bulat terkecil adalah sebagai berikut:

  untuk suatu  bilangan real.
  dan  jika dan hanya jika  adalah bilangan bulat.
  jika  adalah bilangan real dan  bila  bilangan bulat.
 Untuk suatu  bilangan bulat, .
Untuk sifat fungsi bagian bilangan bulat, antara lain



Beberapa penulis mendefinisikan bagian bulat sebagai fungsi bilangan bulat terbesar, menggunakan notasi berikut:Luke Heaton, A Brief History of Mathematical Thought, 2015,  (n.p.)Albert A. Blank et al., Calculus: Differential Calculus, 1968, hlm. 259John W. Warris, Horst Stocker, Handbook of mathematics and computational science, 1998, , hlm. 151

  untuk  adalah bilangan bulat.

 Kalkulus 

 Turunan 
Turunan fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil tidak terdiferensialkan bila  adalah bilangan bulat. Bila  bukanlah bilangan bulat, maka turunannya terdiferensialkan di mana-mana, yakni bernilai 0.

 Integral 
Dalam integral, fungsi bilangan bulat terbesar dapat dinyatakan sebagai

 .

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil,

 .

 Representasi deret 
Dalam representasi deret, fungsi bilangan bulat terbesar dirumuskan sebagai berikut:

 Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan
 asalkan  bilangan real dan bukan bilangan bulat.

Hal yang serupa dengan fungsi bilangan bulat terkecil.

 Dalam bentuk deret Fourier, dirumuskan

 asalkan  bilangan real dan bukan bilangan bulat.
 Rujukan 

Kategori:Fungsi khusus
Kategori:Notasi matematika
Kategori:Operasi uner