Matriks normal

Dalam matematika, suatu matriks persegi  dengan entri-entri kompleks dikatakan normal jika ia bersifat komutatif atas perkalian matriks dengan transpos konjugat ; secara matematis dinyatakan sebagai . Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi operator normal di ruang vektor bernorma berdimensi tak hingga, dan elemen normal di aljabar C*.

 Definisi 
Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan  adalah matriks kompleks berukuran , pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

  adalah matriks normal.
  dapat diagonalkan oleh suatu matriks uniter.
 Ada suatu himpun vektor-vektor eigen dari  yang membangun basis ortonormal bagi .
  untuk sembarang .
 Norma Frobenius dari  dapat dihitung dari nilai-nilai eigen , yakni .
 Bagian Hermite  dan bagian skew-Hermitian  dari  saling komutatif.
  suatu polinomial (dengan derajat maksimum ) dalam .Bukti: Jika  normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial  sedemikian sehingga  , dengan  adalah nilai-nilai eigen dari .
  untuk suatu matriks uniter .
  dan  saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki dekomposisi kutub  dengan suatu matriks uniter  dan suatu matriks semidefinit positif .
  saling komutatif dengan suatu matriks normal  yang nilai-nilai eigennya yang unik.
  untuk semua , dengan  dan  masing-masing adalah nilai-nilai singular dan nilai-nilai eigen dari .

 Kasus khusus 
Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks uniter, Hermite, dan skew-Hermitian bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks ortogonal, simetrik, dan skew-symmetric bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau  (skew-)Hermite. sebagai contoh,



tidak uniter, Hermite, maupun skew-Hermitian, namun merupakan matriks normal karena



 Catatan kaki 

 Referensi 

 Sumber 

 .


Kategori:Matriks

ja:正規作用素