Simetri tetrahedral

Sebuah tetrahedron reguler memiliki 12 simetri rotasi (atau orientasi-kekal), dan urutan simetri dari 24 yang termasuk transformasi menggabungkan refleksi dan rotasi.

Grup semua simetri adalah isomorfik terhadap grup S4, grup simetris dari permutasi empat objek, karena satu simetri tersebut untuk setiap permutasi simpul dari tetrahedron. Himpunan simetri kekal orientasi membentuk grup yang disebut sebagai subgrup selang-seling A4 dari S4.

Detail
Kiral dan penuh (atau simetri tetrahedral akiral dan simetri piritohedral) adalah simetri titik diskrit (atau ekuivalen simetri pada bola). Ia termasuk di antara grup titik kristal dari sistem kristal kubik.
+ Sumbu girasiC312pxC312pxC212px223

Terlihat pada proyeksi stereografik tepi dari tetrakis heksahedron membentuk 6 lingkaran (atau garis radial pusat) pada bidang. Masing-masing dari 6 lingkaran ini mewakili garis cermin dalam simetri tetrahedral. Irisan/potongan lingkaran ini bertemu pada urutan 2 dan 3 titik girasi.
OrtogonalProyeksi stereografisLipatan-4Lipatan-3Lipatan-2Simetri tetrahedral kiral, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+],  = 150px150px150px150pxSimetri piritohedral, Th, (3*2), [4,3+], 150px150px150px150pxSimetri tetrahedral akiral, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3],  = 150px150px150px150px

 Simetri tetrahedral kiral 
150pxRotasi tetrahedral grup T dengan domain fundamental; untuk triakis tetrahedron, lihat di bawah, yang terakhir adalah satu wajah penuh150pxSebuah tetrahedron ditempatkan 12 posisi berbeda dengan rotasi. Ini diilustrasikan atas dalam format grafik siklus, bersama dengan tepi 180° (panah biru) dan sudut 120° (panah merah) rotasi bahwa permutasi tetrahedron melalui posisi tersebut.150pxDalam tetrakis heksahedron satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya meratakan himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap subset menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.
T, 332, [3,3]+, atau 23, urutan 12 - kiral atau simetri tetrahedral rotasi. Ada tiga sumbu rotasi ortogonal lipatan-2, seperti kiral simetri dihedral D2 atau 222, dengan tambahan empat sumbu lipatan-3, berpusat di antara tiga arah ortogonal. Grup isomorfik hingga A4, grup selang-seling pada 4 elemen; sebenarnya itu adalah grup permutasi genap dari empat sumbu lipatan-3: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234 ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Kelas konjugasi dari T adalah:
identitas
4 × rotasi sebesar 120° searah jarum jam (dilihat dari titik sudut): (234), (143), (412), (321)
4 × rotasi sebesar 120° berlawanan arah jarum jam (ditto)
3 × rotasi 180°

Rotasi 180°, bersama dengan identitas, dalam bentuk subgrup normal tipe Dih2, dengan grup hasil bagi tipe Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, mempertahankan orientasi.

A4 adalah grup terkecil yang menunjukkan bahwa inversi dari Teorema Lagrange tidak benar secara umum: diberikan grup hingga G dan pembagi d dari |G|, tidak ada subgrup G dengan urutan d: grup  tidak memiliki subgrup urutan 6. Meskipun itu adalah sifat untuk grup abstrak secara umum, jelas dari grup isometri simetri tetrahedral kiral: karena kiralitas, subgrup harus menjadi C6 atau D3, tetapi keduanya tidak berlaku.

Subgrup simetri tetrahedral kiral

Schoe.CoxeterOrb.H-MGeneratorStrukturSiklusUrutanIndeks T[3,3]+ = 332232A4  25px121 D2[2,2]+ = 2222223Dih2 25px43 C3 [3]+3331Z325px34C2[2]+2221Z225px26C1[ ]+1111Z125px112

 Simetri tetrahedral akiral 
150px|thumb|right|Grup tetrahedral penuh Td dengan domain fundamental
Td, *332, [3,3] or 3m, urutan 24 – akiral atau simetri tetrahedral penuh, juga dikenal sebagai (2,3,3) grup segitiga. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, tetapi dengan enam bidang cermin, masing-masing melalui dua sumbu tiga kali lipat. Sumbu lipatan-2 sekarang menjadi sebagai sumbu S4 (). Td dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S4, grup simetris pada 4 objek. Td adalah gabungan T dan himpunan yang diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen  dengan inversi. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan.

Kelas konjugasi dari Td adalah:
identitas
8 × rotasi 120° (C3)
3 × rotasi 180° (C2)
6 × refleksi pada bidang melalui dua sumbu rotasi (Cs)
6 × rotorefleksi sebesar 90° (S4)

Subgrup simetri tetrahedral akiral 
280px|thumb|Subgrup tetrahedral akiral
Schoe.CoxeterOrb.H-MGeneratorStrukturSiklusUrutanIndeks Td[3,3]*3323m3S425px 241 C3v [3]*333m2Dih3=S325px64 C2v[2]*22mm22Dih225px46 Cs[ ]* atau m1Z2 = Dih125px212 D2d[2+,4]2*22m2Dih425px83 S4[2+,4+]2×1Z4 25px46 T[3,3]+332232 A4 25px122 D2[2,2]+2222222Dih225px46 C3 [3]+3331Z3 = A325px38C2[2]+2221Z225px212C1[ ]+1111Z125px124

 Simetri piritohedral 
150px|thumb|Grup piritohedron Th dengan domain fundamental
Th, 3*2, [4,3+] atau m, urutan 24 – simetri piritohedral. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin melalui dua arah ortogonal. Sumbu lipatan-3 sekarang adalah sebagai S6 (), dan simetri inversi pusat. Th isomorfik terhadap : setiap elemen Th adalah elemen T, atau elemen yang digabungkan dengan inversi. Selain dua subgrup normal ini, ada juga subgrup normal D2h (dalam bentuk kubus), berjenis . Ini adalah produk langsung dari subgrup normal T (lihat di atas) dengan Ci. Geup hasil bagi sama seperti di atas: berjenis Z3. Tiga elemen yang terakhir adalah identitas, "rotasi searah jarum jam", dan "rotasi berlawanan arah jarum jam", sesuai dengan permutasi dari tiga sumbu lipatan-2 ortogonal, sebagai orientasi.

Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (yang sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol keluar di garis pemisah dan menjadi lebih sempit di sana. Ini adalah subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu lipatan-3.

Kelas konjugasi Th termasuk kelas T, dengan dua kelas 4 digabungkan, dan masing-masing dengan inversi:
identitas
8 × rotasi 120° (C3)
3 × rotasi 180° (C2)
inversi (S2)
8 × rotorefleksi sebesar 60° (S6)
3 × refleksi pada bidang (Cs)

Subgrup simetri piritohedron 
280px|thumb|Subgrup piritohedral
Schoe.CoxeterOrb.H-MGeneratorStrukturSiklusUrutanIndeks Th[3+,4]3*2m2A4×225px 241 D2h[2,2]*222mmm3Dih2×Dih1 25px83 C2v[2]*22mm22Dih2 25px46 Cs[ ]* atau m1Dih1 25px212 C2h[2+,2]2*2/m2Z2×Dih1 25px46 S2[2+,2+]×12 atau Z2 25px212 T[3,3]+332232A425px 122 D3[2,3]+32232Dih3 25px64 D2[2,2]+2222223Dih4 25px46 C3 [3]+3331Z3 25px38C2[2]+2221Z2 25px212C1[ ]+1111Z1 25px 124

 Padatan dengan simetri tetrahedral kiral 
100px
Ikosahedron berwarna sebagai tetrahedron umpat memiliki simetri kiral.

 Padatan dengan simetri tetrahedral penuh 
KelasNamaGambarWajahTepiSudutPadatan platonistetrahedron40px|Tetrahedron464Padatan Archimedean tetrahedron penggal 40px|Tetrahedron pengggal 8  18 12Padatan Catalantriakis tetrahedron40px|Triakis tetrahedron 12 18 8Padatan Johnson-luputTriakis tetrahedron potongan40px 16 42 28 Dodecahedron tertetrasi40px 28 54 28Polihedron bintang seragamTetrahemiheksahedron40px7126

Lihat pula
Simetri oktahedral
simetri ikosahedral
Grup tetrahedral biner

 Referensi 
 Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,  
 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar


Kategori:Grup hingga
Kategori:Simetri rotasi