Garis berat (geometri)

Dalam geometri, garis berat segitiga merupakan sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut ke titik tengah dari sisi yang berhadapan, sehingga membagi sisi tersebut menjadi dua bagian yang sama panjang. Setiap segitiga mempunyai tiga garis berat yang dihubungkan dari titik sudut, dan ketiga garis tersebut berpotongan satu sama lain di titik berat. Dalam segtiga sama kaki dan sama sisi, sebuah garis berat membagi sebarang sudut di titik sudut dengan kedua sisi depan mempunyai panjang yang sama.

Konsep garis berat ini memperluas ke bidang empat.

 Kaitannya dengan pusat massa 
Setiap garis berat segitiga akan berpotongan di titik berat segitiga, sebuah titik pusat massa dari objek tipis kerapatan seragam tak berhingga yang berimpitan dengan segitiga. Dengan demikian, sebuah objek akan seimbang di perpotongan garis berat. Titik berat segitiga dua kali lebih dekat di sepanjang sebarang garis berat ke sisi dengan garis berat memotongnya, sama halnya dengan titik sudut.

 Pembagian luas yang sama 

Masing-masing garis berat membagi luas segitiga menjadi setengah, dan karena itu suatu objek segitiga dengan kerapatan seragam akan seimbang di sebarang garis berat. (Garis-garis lain yang membagi luas segitiga menjadi dua bagian yang sama tidak akan berpotongan di titik berat.)Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256 Ketiga garis berat segitiga membaginya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dan mempunyai luas yang sama.

 Bukti sifat luas yang sama 
Misalkan  adalah sebuah segitiga. Misalkan pula  adalah titik tengah ,  adalah titik tengah ,  adalah titik tengah , dan  adalah titik pusat segitiga.

Berdasarkan definisi, , , . Dengan demikian, , , , dan , dengan  mewakili luas segitiga . Hal ini berlaku karena dalam setiap kasus, kedua segitiga memiliki alas dengan panjang yang sama dan membagi garis tinggi segitiga yang sama dari alas (yang diperluas), dan demikian akan memperoleh luas segitiga yang sama dengan setengah perkalian dari alas dan tinggi segitiga. Oleh karena itu, diperoleh  dan , sehingga disimpulkan bahwa Karena , maka , dan oleh sebab itu, . Dengan menggunakan metode yang sama, maka dapat diperlihatkan bahwa 

 Tiga segitiga yang kongruen 
Pada tahun 2014, Lee Sallows menemukan teorema berikut:Sallows, Lee, "A Triangle Theorem " Mathematics Magazine, Vol. 87, No. 5 (December 2014), p. 381Garis berat segitiga memisahkannya menjadi enam segitiga yang lebih kecil dengan luas yang sama dengan tiga pasangan segitiga yang berdampingan akan bertemu di titik tengah ,  dan . Jika masing-masing dua segitiga yang berpasangan diputar di titik tengah yang sama sampai bertemu ke sisi yang sama, maka ketiga segitiga baru yang dibentuk oleh gabungan dari masing-masing pasangan dikatakan kongruen. 

 Rumus yang melibatkan panjang garis berat 
Dengan menggunakan teorema Apollonius, akan didapati panjang garis berat, yang dirumuskan sebagai:

dengan ,  dan  adalah sisi-sisi segitiga terhadap garis berat , , dan  dari titik tengahnya. Dengan demikian, rumus-rumus tersebut akan menyiratkan:

 Sifat-sifat lainnya 
Misalkan  sebuah segitiga, dan misalkan  adalah titik berat segitiga. Misalkan pula  adalah titik tengah ,  adalah titik tengah , dan  adalah titik tengah . Untuk sebarang titik  di bidang , makaProblem 12015, American Mathematical Monthly, Vol.125, January 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465Titik berat segitiga membagi masing-masing garis berat menjadi beberapa bagian dengan perbandingan 2:1. Dengan kata lain, titik berat menjadi dua kali lebih dekat dengan titik tengah sisi segitiga, sama halnya dengan titik sudut yang berhadapan.

Untuk sebarang segitiga dengan sisi  dan garis berat ,Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996: pp. 86–87.

Garis berat dari sisi  dan  tegak lurus jika dan hanya jika .Boskoff, Homentcovschi, and Suceava (2009), Mathematical Gazette, Note 93.15.

Garis berat segitiga siku-siku dengan hipotenusa  memenuhi .

Untuk sebarang luas segitiga , dapat dinyatakan dalam garis berat , , dan  sebagai berikut: Jika semi-jumlah  dinyatakan sebagai , maka dipunyaiBenyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle", Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.

 Bidang empat 

Bidang empat (atau tetrahedron) merupakan sebuah objek dalam dimensi tiga yang mempunyai empat muka segitiga. Sebuah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut bidang empat ke titik berat dari muka yang berhadapan disebut garis berat bidang empat. Dalam bidang empat, terdapat empat garis berat yang setumpu di titik berat bidang empat.Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54 Pada kasus dimensi dua, titik berat bidang empat merupakan pusat massa. Akan tetapi, kebalikan dengan kasus berdimensi dua, titik berat membagi garis dengan perbandingan 3:1, bukan 2:1. (teorema Commandino).

 Lihat pula 

 Titik istimewa pada segitiga
 Garis bagi
 Garis tinggi
 Garis sumbu
 Segitiga automedian

 Referensi 

 Pranala luar 

 The Medians  di cut-the-knot
 Area of Median Triangle  di cut-the-knot
 Medians of a triangle  dengan animasi interaktif
 Constructing a median of a triangle with compass and straightedge , demonstrasi yang dianimasikan


Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Garis lurus didefinisikan untuk sebuah segitiga