Titik akumulasi

Dalam matematika, titik limit, titik akumulasi, atau titik gugus dari suatu himpunan  pada ruang topologis  adalah suatu titik  yang dapat "didekati" dengan titik-titik pada , dalam artian bahwa setiap persekitaran dari  memuat titik dari  selain  itu sendiri. Titik limit dari himpunan  tidak harus termuat pada himpunan .

Terdapat konsep yang berkaitan erat untuk barisan. Titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan  pada ruang topologis  adalah suatu titik  sedemikian sehingga, untuk setiap persekitaran  dari , terdapat takhingga banyaknya bilangan asli  yang memenuhi . Definisi titik gugus atau titik akumulasi dari suatu barisan ini dapat diperumum untuk jaring dan filter.

Konsep bernama serupa mengenai titik limit dari suatu barisan (berturut-turut, titik limit dari suatu filter, titik limit dari suatu jaring) berdasarkan definisi, mengacu kepada suatu titik sedemikian sehingga barisannya konvergen (berturut-turut, filternya konvergen, jaringnya konvergen) ke titik tersebut. Walaupun "titik limit dari suatu himpunan" bersinonim dengan "titik gugus/akumulasi dari suatu himpunan", hal ini tidaklah berlaku untuk barisan (maupun jaring ataupun filter). Dengan kata lain, "titik limit dari suatu barisan" bukanlah sinonim dari "titik gugus/akumulasi dari suatu barisan".

Titik limit jangan dikelirukan dengan titik adheren (yang dikenal juga sebagai titik penutup), yaitu suatu titik  yang setiap persekitarannya memuat suatu titik dari himpunan . Berbeda dengan titik limit, titik adheren  pada  mungkin saja memiliki suatu persekitaran yang tidak memuat titik selain  itu sendiri. Titik limit dapat dikarakterkan sebagai titik adheren yang bukan merupakan titik terisolasi.

Titik limit juga jangan dikelirukan dengan titik batas. Sebagai contoh,  merupakan titik batas (namun bukan merupakan titik limit) dari singleton  pada  dengan topologi baku. Di sisi lain,  merupakan titik limit (namun bukan merupakan titik batas) dari selang  pada  dengan topologi baku. Untuk contoh titik limit yang tidak terlalu trivial, lihat takarir pertama.

Konsep ini memperumum gagasan limit, dan menunjang pengertian konsep-konsep seperti himpunan tertutup dan penutup himpunan. Suatu himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika himpunan tersebut memuat semua titik limitnya, dan operasi penutup topologis dapat diartikan sebagai operasi yang memperkaya suatu himpunan dengan menggabungkan himpunan tersebut dengan titik-titik limitnya.

 Definisi 
 Titik akumulasi dari himpunan 
Misalkan  adalah himpunan bagian dari ruang topologis . Suatu titik  disebut sebagai titik limit atau titik gugus atau   jika setiap persekitaran dari  memuat setidaknya satu titik pada  selain  itu sendiri.

Perhatikan bahwa tidak ada perbedaan jika persyaratan ini dibatasi hanya untuk persekitaran terbuka. Sering kali lebih mudah untuk menggunakan definisi versi "persekitaran terbuka" untuk menunjukkan bahwa suatu titik merupakan titik limit, dan kemudian menggunakan definisi versi "persekitaran secara umum" untuk mencari fakta/sifat dari titik limit tersebut.

Jika  merupakan ruang  (seperti ruang metrik), maka  merupakan titik limit dari  jika dan hanya jika setiap persekitaran dari  memuat takhingga banyaknya titik pada . Faktanya, ruang  dikarakterkan oleh sifat ini.

Jika  merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka  merupakan titik limit dari  jika dan hanya jika terdapat suatu barisan titik-titik pada  yang limitnya ialah . Faktanya, ruang Fréchet–Urysohn dikarakterkan oleh sifat ini.

Himpunan seluruh titik limit dari  disebut himpunan turunan dari .

Titik akumulasi dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, diantaranya:
 Jika setiap persekitaran dari titik  memuat takhingga banyaknya titik pada , maka  merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut  dari .
 Jika setiap persekitaran dari titik  memuat takterhitung banyaknya titik pada , maka  merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut titik kondensasi dari .
 Jika irisan dari himpunan  dengan setiap persekitaran dari titik  memiliki kardinalitas yang sama dengan kardinalitas , maka  merupakan titik limit berjenis khusus yang disebut  dari .

 Titik akumulasi dari barisan dan jaring 

Dalam ruang topologis , titik  disebut sebagai  atau   jika untuk setiap persekitaran  dari , terdapat takhingga banyaknya  sedemikian sehingga . Hal ini setara dengan mengatakan bahwa untuk setiap persekitaran  dari  dan untuk setiap , terdapat suatu  sedemikian sehingga . Jika  merupakan ruang metrik atau ruang pertama-terhitung (atau secara umum, ruang Fréchet–Urysohn), maka  merupakan titik gugus dari  jika dan hanya jika  merupakan limit dari suatu subbarisan dari . Himpunan semuaa titik-titik gugus dari suatu barisan dikenal sebagai himpunan limit.

Perhatikan bahwa sudah terdapat gagasan mengenai limit barisan, yaitu suatu titik  di mana barisan tersebut konvergen (yaitu, setiap persekitaran dari  memuat seluruh kecuali berhingga banyaknya elemen barisannya). Itulah mengapa istilah titik limit dari suatu barisan bukanlah sinonim dari titik akumulasi dari barisan.

Konsep jaring memperumum konsep barisan. Jaring merupakan suatu fungsi  dengan  merupakan himpunan berarah dan  merupakan ruang topologis. Suatu titik  disebut sebagai  atau   jika, untuk setiap persekitaran  dari titik  dan untuk setiap , terdapat suatu  sedemikian sehingga , atau secara ekuivalen, jika  memiliki subjaringan yang konvergen ke . Titik gugus pada jaring mencakup gagasan mengenai titik kondensasi dan titik akumulasi ω. Penggugusan dan titik limit juga dapat didefinisikan untuk filter.

 Sifat-sifat 

Setiap limit dari barisan tak konstan merupakan titik akumulasi dari barisan tersebut, dan berdasarkan definisi, setiap titik limit merupakan titik adheren.

Penutup dari himpunan  (yang ditulis sebagai ) merupakan gabungan lepas dari himpunan titik-titik limitnya beserta himpunan titik-titik terisolasinya. Secara matematis, maka

Jika  menyatakan himpunan titik-titik limit dari , maka diperoleh karakterisasi lain dari penutup . Karakterisasi ini terkadang digunakan sebagai definisi dari operator penutup himpunan.

Akibat dari hasil di atas ialah karakterisasi lain dari himpunan tertutup, yang dinyatakan sebagai berikut

 Lihat juga 

 Titik adheren
 Titik kondensasi
 Filter (topologi)
 Himpunan turunan (matematika)
 Titik terisolasi
 Limit fungsi
 Limit barisan
 Limit subbarisan

 Rujukan 

 Referensi 


 Pranala luar 


Kategori:Himpunan limit
Kategori:Topologi
Kategori:Topologi umum