Batas (topologi)

Definisi umum 
Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai batas himpunan bagian  dari ruang topologis  yang dapat dilambangkan sebagai   atau cukup ditulis :

 Batas himpunan merupakan ketertutupan  dikurangi interior : 
dengan  menyatakan ketertutupan  di , dan  menyatakan interior topologis  di .
 Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan  dengan ketertutupan komplemen:
 Batas himpunan merupakan himpunan titik  sehingga setiap lingkungan  memuat setidaknya satu titik  dan setidaknya satu titik yang bukan : 

 Contoh-contoh 
jmpl|Batas komponen hiperbolik himpunan Mandelbrot.
Tinjau garis real  dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan  merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di  kosong). Maka






Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk batas  dari subhimpunan , memuat subhimpunan terbuka takkosong dari . Dalam artian untuk interior  di  adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi, batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.

Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang ), batas dari  adalah kosong, di mana  bilangan irasional.

Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada , maka batas cakram tertutup  merupakan lingkaran sekeliling cakram: . Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu , maka batas cakramnya adalah cakram itu sendiri: . Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang ), maka batas cakramnya kosong.

 Sifat-sifat 
Ketertutupan dari himpunan  sama dengan gabungan dari himpunan dengan batas himpunan :dengan  menyatakan ketertutupan  di . Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat batas himpunan , dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari batas himpunan . Batas himpunannya adalah tertutup, yang diikuti dari rumus . Notasi  merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup 

("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan  maka setiap titik , tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu  dan 
jmpl|350x350px|Pengertian diagram Venn memperlihatkan kaitan antara titik himpunan bagian  yang berbeda dari .  adalah himpunan titik limit dari ,  adalah himpunan titik batas dari  luas dinaungi warna hijau merupakan himpunan titik interior dari , luas dinaungi warna kuning merupakan himpunan titik pencil dari , luas dinaungi warna hitam adalah himpunan kosong. Setiap titik  adalah titik interior maupun titik batas dan setiap titik  adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Demikian juga, setiap titik batas  adalah sebuah titik kumpulan maupun sebuah titik pencil. Titik pencil selalu merupakan titik batas.
Ketiga himpunan (yaitu  dan ) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong,Pernyataan ini memerlukan syarat bahwa himpunan tersebut adalah tak kosong, sebab berdasarkan definisi, himpunan dalam sebuah partisi diperlukan agar menjadi himpunan tak kosong. maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari 

Sebuah titik  merupakan titik batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga  memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan. Batas interior himpunan yang juga merupakan batas dari ketertutupan himpunan memuat di batas himpunan.
 Batas dari sebuah batas 
Untuk suatu himpunan , , dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika batas  tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika  baik tertutup atau buka. Karena batas himpunan tertutup,  untuk suatu himpunan . Demikian, operator batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.

Dalam membahas batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya, batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa batas dari batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya, batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya, batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya, batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara batas manifoldnya adalah invarian.)

 Lihat pula 

 Lihat diskusi batas di manifold topologis untuk lebih lanjut
 Batas manifold
 Titik pembatas – konsep matematis yang berkaitan dengan himpunan bagian ruang vektor
 Ketertutupan (topologi)
 Eksterior (topologi) – himpunan bagian buka terbesar yang dengan adanya "diluar" himpunan bagian
 Interior (topologi)
 Himpunan rapat tak di mana-mana
 Teorema kerapatan Lebesgue, untuk pencirian ukuran teoretik dan sifat-sifat batas.
 Permukaan (topologi) – manifold berdimensi dua

 Catatan 

 Referensi 

 Bacaan lebih lanjut 





Kategori:Topologi umum