Lapangan terurut

Dalam matematika, lapangan terurut atau medan terurut, adalah lapangan dengan urutan total pada elemen-elemennya dan sesuai dengan operasi-operasi pada lapangan tersebut. Contoh sederhana dari lapangan terurut adalah lapangan bilangan rasional dan bilangan real, masin-masing dengan pengurutan standar mereka.

Setiap sublapangan dari sebarang lapangan terurut juga merupakan suatu lapangan terurut dengan urutan yang sama. Setiap lapangan terurut mengandung suatu sublapangan terurut yang isomorfik ke (sistem) bilangan rasional. Setiap lapangan terurut lengkap-Dedekind isomorfik ke bilangan real. Kuadrat harus bernilai non-negatif dalam sebarang lapangan terurut. Hal ini mengartikan bilangan kompleks tidak dapat diurutkan, karena kuadrat dari unit imajiner  adalah  (yang bersifat negatif dalam sebarang lapangan terurut). Lapangan hingga tidak dapat diurutkan.

Dari aspek sejarah, aksiomatisasi lapangan terurut adalah proses abstraksi yang perlahan dari sistem bilangan real, oleh para matematikawan yang meliputi David Hilbert, Otto Hölder, dan Hans Hahn. Upaya ini akhirnya berkembang menjadi teorema Artin–Schreier untuk lapangan terurut dan lapangan real yang formal (formally real field).

 Definisi 
Ada dua definisi umum yang saling setara untuk lapangan terurut. Definisi menggunakan urutan total muncul pertama kali dalam sejarah, dan merupakan aksiomatisasi tingkat-pertama dari urutan  sebagai predikat biner. Artin dan Schereier memberikan definisi menggunakan kerucut positif di tahun 1926, yang mengaksiomatisasi subkoleksi dari elemen-elemen non-negatif.

 Urutan total 
Sebarang lapangan  dengan suatu urutan total  pada  disebut sebagai lapangan terurut jika pengurutan yang digunakan memenuhi sifat-sifat berikut untuk sebarang 

 Jika  maka  dan
 Jika  dan  maka 

Seperti biasa, notasi  digunakan untuk merujuk  dan . Notasi  dan  masing-masing mengartikan  dan . Elemen-elemen  dengan  disebut positif.

 Kerucut positif 
Kerucut prepositif atau pra-pengurutan dari sebarang lapangan  adalah suatu subset  yang memenuhi sifat-sifat berikut:Lam (2005) p. 289

 Untuk  dan  di  elemen  dan  berada di 
 Jika  maka   Secara khusus,   dan  
 Elemen  tidak ada di 

Suatu lapangan pra-terurut adalah lapangan yang dilengkapi dengan suatu pra-pengurutan  Elemen-elemen tak-nol  membentuk suatu subgrup dari grup multiplikatif dari  Jika, sebagai tambahan, himpunan  adalah gabungan dari  dan  subset  disebut sebagai suatu kerucut positif dari   Elemen-elemen tak-nol di  disebut elemen positif dari  Lapangan terurut adalah lapangan  yang dilengkapi kerucut positif 

Pra-pengurutan pada  adalah irisan dari kerucut-kerucut positif pada  Kerucut positif adalah maksimal dari pra-pengurutan.

 Kesetaraan kedua definisi 
Misalkan  merupakan lapangan. Terdapat suatu bijeksi antara pengurutan lapangan dari  dengan kerucut-kerucut positif dari 

Dari definisi pertama,  memiliki pengurutan , dan himpunan semua elemen  membentuk suatu kerucut positif dari  Kebalikannya, dari definisi kedua,  memiliki kerucut positif , dan suatu pengurutan total  pada  dapat disusun dengan menetapkan  untuk mengartikan  Hal ini mengartikan  memenuhi sifat-sifat dari definisi pertama. 

 Contoh 
Beberapa contoh lapangan terurut antara lain:

 Lapangan bilangan rasional  dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
 Lapangan bilangan real  dengan pengurutan standarnya (yang juga merupakan satu-satunya pengurutan yang dimilikinya).
 Sebarang sublapangan dari lapangan terurut; seperti bilangan aljabar dan bilangan terhitung real, merupakan lapangan terurut dengan membatasi pengurutan ke sublapangan tersebut.
 Lapangan fungsi rasional real  dengan  dan  berupa polinomial dengan koefisien rasional dan , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan menetapkan suatu bilangan transenden  dan mendefinisikan   jika dan hanya jika  Cara tersebut setara dengan menyisipkan  ke  lewat  dan membatasi pengurutan dari  ke suatu pengurutan dari bayangan dari . Dalam gaya ini, kita dapat mendapatkan banyak pengurutan dari .
 Lapangan  dari fungsi rasional , dengan  dan  berupa polinomal dengan koefisien real dan , dapat dibuat menjadi lapangan terurut dengan mendefinisikan  untuk mengartikan , dengan  dan  masing-masing adalah koefisien terdepan dari polinomial  dan . Cara lain yang setara: untuk setiap fungsi rasional  kita memiliki  jika dan hanya jika  untuk semua  yang cukup besar. Dalam lapangan terurut ini, polinomial  lebih besar dari sebarang polinomial konstan, mengakibatkan lapangan terurut tidak bersifat Archimedes.
 Lapangan  dari deret Laurent formal dengan koefisien real dan  dianggap infitesimal dan positif.

 Sifat 
jmpl|Untuk sebarang  dan , akan berlaku 
jmpl|Untuk sebarang  akan berlaku 
Untuk sebarang lapangan terurut  dan sebarang  di , sifat-sifat ini berlaku untuk :

 Antara  atau 
 Pertidaksamaan dapat "dijumlahkan": jika  dan , maka .
 Pertidaksamaan dapat "dikalikan dengan elemen positif": jika  dan , maka .
 "Mengalikan dengan elemen negatif akan membalik pertidaksamaan": jika  dan , maka .
 Transitivitas dari pertidaksamaan: jika  dan , maka .
 Jika  dan , maka .
 Penguadratan selalu non-negatif: . Secara khusus, karena  kita dapatkan  Tapi  sehingga kita simpulkan 
 Medan terurut memiliki karakteristik 0. (Karena , maka  dan  dst., sehingga tidak ada jumlah terhingga dari  yang dapat bernilai ). Secara khusus, ini mengartikan lapangan hingga tidak dapat diurutkan.
 Setiap jumlah tak-trivial dari penguadratan bernilai tak-nol. Secara matematis, Lam (2005) hlm. 41Lam (2005) hlm. 232

Semua sublapangan dari sebarang lapangan terurut  juga merupakan lapangan terurut (mewarisi pengurutan yang digunakan ). Sublapangan terkecil dari  isomorfik ke rasional (sama seperti semua lapangan dengan karakteristik 0 lainnya), dan urutan pada sublapangan rasional ini akan sama dengan urutan pada bilangan rasional. Lapangan terurut  isomorfik ke lapangan bilangan real  jika dan hanya jika, setiap subset tak-kosong dari  dengan batas atas di  memiliki batas atas terkecil di .

Jika setiap elemen dari suatu lapangan terurut selalu terletak di antara dua elemen dari sublapangan rasionalnya, maka lapangan tersebut dikatakan bersifat Archimedes. Tapi jika tidak, lapangan bersifat non-Archimedes dan mengandung infinitesimal. Sebagai contoh, bilangan real membentuk suatu lapangan Archimedes, tetapi bilangan hiperreal tidak, karena sistem bilangan ini memperluas bilangan real dengan elemen-elemen yang lebih besar daripada semua bilangan asli standar.

 Ruang vektor atas lapangan terurut 

Ruang vektor (khususnya ruang koordinat) atas suatu lapangan terurut memiliki beberapa sifat penting dan memiliki struktur yang khusus, yakni: orientasi, kecembungan, dan hasil-kali dalam yang definit-positif.

 Keterurutan lapangan 
Semua lapangan terurut merupakan lapangan real yang formal (formally real field), artinya, elemen 0 tidak dapat dituliskan sebagai jumlah dari kuadrat-kuadrat elemen tak-nol. Kebalikannya, semua lapangan real yang formal dapat dilengkapi dengan suatu urutan total (yang sesuai), yang mengubahnya menjadi lapangan terurut. Bukti hubungan ini memerlukan lema Zorn.Lam (2005) p. 236

Lapangan hingga dan secara umum lapangan dengan karakteristik positif, tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut. Bilangan kompleks juga tidak dapat diubah menjadi lapangan terurut, karena  adalah kuadrat dari unit imajiner . Selain itu, bilangan p-adik tidak dapat diurutkan karena berdasarkan lema Hensel,  mengandung akar kuadrat dari  sehingga  dan  dengan  mengandung akar kuadrat dari  sehingga 

 Lihat pula 

 Gelanggang terurut
 Ruang vektor terurut

 Catatan kaki 

 Pustaka 




Kategori:Geometri