Kekisi dikomplemenkan

Dalam matematika disiplin teori tatanan, sebuah kisi dikomplemenkan adalah kisi dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1, di mana setiap elemen a memiliki dikomplemenkan, yaitu elemen b memuaskan a ∨ b = 1 dan a ∧ b = 0.
Dikomplemen tidak menggunakan sifat unik.

Sebuah kisi dikomplemenkan relatif adalah kisi sedemikian rupa untuk setiap interval [ c ,  d ], dipandang sebagai kisi hingga sendiri, adalah kisi dikomplemenkan.

Sebuah ortokomplementasi pada kisi dikomplemenkan adalah involusi yang merupakan tatanan invers dan memetakan setiap elemen menjadi pelengkap. Kisi ortokomplementasi yang memenuhi bentuk lemah hukum modular disebut kisi ortomodular.

Dalam kisi distributif, komplemen bersifat unik. Setiap kisi distributif komplementer memiliki ortokomplementasi unik dan sebenarnya adalah aljabar Boolean.

 Definisi dan sifat dasar 
Sebuah kisi dikomplemenkan adalah kisi terbatas dengan elemen terkecil 0 dan elemen terbesar 1, di mana setiap elemen a memiliki dikomplemen, yaitu elemen b sedemikian rupa maka
a ∨ b = 1 dan a ∧ b = 0.

Secara umum suatu elemen mungkin memiliki lebih dari satu komplemen. Namun, dalam sebuah kisi distributif (terbatas) setiap elemen akan memiliki paling banyak satu dikomplemen.Grätzer (1971), Lemma I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Teorema 9.3 hal. 25. Kisi di mana setiap elemen memiliki tepat satu pelengkap disebut kisi dikomplemenkan unik.

Kisi dengan sifat yang dilengkapi setiap interval (dipandang sebagai sub kisi) disebut kisi dikomplemen relatif. Dengan kata lain, kisi dikomplemen relatif dicirikan dengan sifat bahwa untuk setiap elemen a dalam interval [c, d] elemen b sedemikian rupa maka
a ∨ b = d dan a ∧ b = c.
Unsur b disebut pelengkap dari a relatif terhadap interval.

Kisi distributif dikomplemenkan jika dan hanya jika dibatasi dan relatif komplekmen.Grätzer (1971), Lemma I.6.2, hal. 48. Hasil ini berlaku lebih umum untuk kisi modular, lihat Latihan 4, hal. 50.Birkhoff (1961), Corollary IX.1, hal. 134 Kisi subruang dari ruang vektor memberikan contoh kisi komplementer yang secara umum tidak distributif.

 Ortokomplementasi 

Sebuah ortokomplementasi kisi terbatas adalah fungsi yang memetakan setiap elemen a sebagai "ortokomplemen" a⊥ sedemikian rupa maka aksioma berikut dipenuhi:, p. 11.
Hukum komplekmen a⊥ ∨ a = 1 dan a⊥ ∧ a = 0.
Hukum involusi a⊥⊥ = a.
 Tatanan pembalik jika a ≤ b maka b⊥ ≤ a⊥.
Sebuah kisi ortokomplemenkan atau ortokisi adalah kisi terbatas yang dilengkapi dengan ortokomplementasi. Kisi subruang dari ruang hasilkali dalam, dan operasi komplemen ortogonal, memberikan contoh kisi ortokomplemenkan yang secara umum tidak distributif.Matentikawan Unapologetik: Pelengkap Ortogonal dan Kisi Subruang.

Aljabar Boolean adalah kasus khusus kisi ortokomplemenkan, yang gilirannya merupakan kasus khusus kisi dikomplemenkan dengan struktur ekstra. Ortokisi paling sering digunakan di logika kuantum, di mana tertutup subruang dari pisahan Ruang Hilbert mewakili proposisi kuantum dan sebagai kisi ortokomplementasi.

Kisi ortokomplementer, seperti aljabar Boolean yang memenuhi hukum de Morgan:

 (a ∨ b)⊥ = a⊥ ∧ b⊥
 (a ∧ b)⊥ = a⊥ ∨ b⊥.

 Kisi ortomodular 

Sebuah kisi disebut modular jika untuk semua elemen a, b dan c duimplikasikan sebagai
jika a ≤ c, maka a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c
Ini lebih dari sifat distributivitas, misalnya kisi yang ditunjukkan di atas M3 bersifat modular, tetapi tidak distributif. Pelemahan alami lebih lanjut dari kondisi ini untuk kisi ortokomplementer yang diperlukan untuk aplikasi dalam logika kuantum, hanya memerlukannya dalam kasus khusus b = a⊥. Oleh karena itu, kisi ortomodular didefinisikan sebagai kisi ortokomemen sehingga untuk dua elemen apa pun implikasinya.
jika a ≤ c, maka a ∨ (a⊥ ∧ c) = c.

Bentuk kisi sangat penting untuk mempelajari logika kuantum, karena ini bagian dari aksiomisasi ruang Hilbert rumus mekanika kuantum. Garrett Birkhoff dan John von Neumann mengamati bahwa kalkulus proposisional dalam logika kuantum "secara formal tidak dapat dibedakan dari kalkulus subruang linear [dari ruang Hilbert] sehubungan dengan hasil himpunan, jumlah linear, dan ortogonal dikomplemenkan" sesuai dengan peran dan, atau dan tidak dalam kisi Boolean. Pernyataan ini telah memicu minat pada subruang tertutup dari ruang Hilbert yang membentuk kisi ortomodular.

 Lihat pula 
 Kekisi pseudokomplemenkan

 Catatan 

 Referensi 





 Pranala luar 







Kategori:Teori kekisi