Polinomial karakteristik

Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian dalam keserupaan dan memiliki nilai-nilai eigen sebagai akar-akarnya. Nilai Determinan dan teras dari matriks ada di dalam koefisien-koefisien polinomial karakteristik. Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan, adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dengan definisi yang serupa, polinomial karakteristik dari endomorfisme suatu ruang vektor dimensi terhingga, adalah polinomial karakteristik dari representrasi matriks dari endomorfisme tersebut, atas sebarang basis; yang mengartikan polinomial karakteristik tidak bergantung pada pemilihan basis. Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik dari sebuah graf adalah polinomial karakteristik dari matriks kedampingan graf tersebut.

 Motivasi 

Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran penting, karena untuk sebarang pilihan transformasi linear, vektor eigen adalah vektor yang arahnya tidak berubah akibat transformasi tersebut, dan nilai eigen yang berkorespodensi dengan vektor eigen tersebut menyatakan perubahan besar vektor.

Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan sebagai sebuah matriks persegi  maka vektor eigen  dan nilai eigen  yang berkorespoden dengannya, harus memenuhi persamaan berikutatau, setara dengan bentuk di atas, dengan  menyatakan matriks identitas, dan  (vektor nol tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai ). Hal ini menyimpulkan bahwa matriks  harus bersifat singular, dan determinan-nya bernilai nol, yang ditulis sebagai  Dengan kata lain, nilai eigen dari  adalah akar-akar dari  yakni polinomial monik dalam  dan berderajat , ketika  berukuran . Polinomial ini merupakan polinomial karakteristik dari .

 Definisi formal 

Misalkan  adalah matriks atas lapangan  dan berukuran . Polinomial karakterisitik dari , yang dinyatakan dengan notasi  adalah polinomial yang didefinisikan sebagaidengan  melambangkan matriks identitas berukuran .

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai . Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan sebelumnya, dengan sebuah tanda . Walau tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti akar-akarnya adalah nilai eigen dari , polinomial  hanya bersifat monik ketika  genap.

 Contoh-contoh 

Misalkan kita ingin menentukan polinomial karakteristik dari matriksUntuk itu, kita perlu menghitung determinan dari matriks
sehingga diperoleh polinomial karakteristik dari matriks , yaitu .

Contoh berikut menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik . Untuk matriks polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah

 Sifat-sifat 

Polinomial karakteristik  dari sebuah matriks  bersifat monik (koefisien dari suku terbesarnya adalah 1) dan derajatnya adalah . Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen  adalah akar-akar dari  (fakta ini juga berlaku untuk polinomial minimal dari , tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi dari entri-entri matriks. Secara khusus, koefisien  bernilai , koefisien  bernilai , dan koefisien  bernilai , dengan  melambangkan teras dari . (Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya;Dalil 28 dalam catatan kuliah ini. sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai  dan .Teorema 4 dalam catatan kuliah ini.) Sebagai contoh, untuk sebarang matriks  dengan ukuran , polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, polinomial karakteristik dari matriks  berukuran  dapat dinyatakan sebagaidengan  menyatakan teras dari pangkat eksterior dari , yang memiliki dimensi . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama ukuran  dari . Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien. Ketika lapangan dari koefisien-koefisien memiliki karakteristik bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai sebuah determinan tunggal dari matriks , yakni

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa mensubtitusi  dalam polinomial karakteristik dengan  (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan  sebagai perkalian  dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, hubungan ini mengartikan setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik mereka. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal  membagi polinomial karakteristik .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.

Sebarang matriks dan transpos-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks  serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas  (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal). Dalam kasus ini,  serupa dengan suatu matriks dalam bentuk normal Jordan.

 Polinomial karakteristik dari perkalian dua matriks 

Jika  dan  adalah dua matriks persegi berukuran , maka polinomial karakteristik dari  dan  adalah sama; dengan kata lain,  Jika  bersifat tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan dari fakta  dan  serupa: Sedangkan untuk kasus  dan  berupa matriks singular, identitas yang diinginkan adalah sebuah kesamaan pada kedua polinomial karakteristik (dalam ) mereka dan pada koefisien-koefisien dari matriks. Dengan demikian, kesamaan dapat ditunjukkan dengan cukup membuktikan bahwa kesamaan tersebut berlaku pada suatu subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan buka dari ruang semua matriks, maka kesamaan berhasil ditunjukkan.

Lebih umumnya, jika matriks  berukuran  dan  berukuran , maka  adalah matriks  dan  adalah matriks , dan terdapat hubungan  Untuk membuktikan hal tersebut, anggap , dengan menukarkan  dan  kalau diperlukan. Lalu, dengan menambahkan  baris nol setelah baris terbawah di matriks , dan menambahkan  kolom nol setelah kolom terkanan di matriks , akan didapatkan dua matriks berukuran , yakni  dan . Kedua matriks yang baru ini memenuhi  dan  sama dengan  yang dibatasi oleh  baris dan kolom nol. Dengan demikian, hubungan dapat ditunjukkan dengan menggunakan kasus matriks persegi lalu membandingkan polinomial karakteristik  dan .

 Polinomial karakteristik dari Ak 

Jika  adalah nilai eigen dari matriks persegi  yang berkorespodensi dengan vektor eigen , maka  adalah nilai eigen dari , sebab  Sifat yang sama dapat ditunjukkan berlaku untuk kelipatan dari matriks, dan dapat diperumum untuk sebarang polinomial:

Teorema ini mengartikan bahwa kelipatan aljabar (algebraic multiplicity) dari  dalam  sama dengan jumlah kelipatan-kelipatan aljabar  dalam  atas  yang memenuhi . Secara khusus, dan . Sebagai contoh, polinomial  yang dievaluasi pada matriks , dapat ditulis dengan sederhana sebagai .

Teorema tersebut berlaku untuk matriks dan polinomial atas sebarang lapangan maupun gelanggang komutatif. Akan tetapi, asumsi bahwa  memiliki faktorisasi berupa faktor-faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu lapangan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti ini hanya berlaku kepada matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau sebarang lapangan tertutup secara aljabar lainnya). Dalam kasus ini, polinomial karakteristik dari sebarang matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagaidengan  adalah nilai-nilai eigen dari , mungkin beberapanya kembar (repeated). Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa sebarang matriks persegi  dapat diuraikan sebagai , dengan  adalah sebuah matriks terbalikkan dan  adalah matriks segitiga atas yang diagonal utamanya memiliki entri  (dengan setiap nilai eigen kembar menurut kelipatan aljabarnya). Bentuk normal Jordan memiliki beberapa sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; penguraian Schur dapat digunakan sebagai alternatif pembuktian, yang lebih mudah tetapi kurang populer.

Misalkan . Dengan menggunakan penguraian Jordan, Untuk matriks segitiga atas  dengan entri diagonal ,  adalah matriks segitiga atas dengan entri diagonal , dan akibatnya  adalah matriks segitiga atas dengan diagonal . Hal ini menyebabkan nilai-nilai eigen dari  adalah . Karena  serupa dengan , kedua matriks memiliki nilai-nilai eigen dan kelipatan aljabar yang sama.

 Fungsi sekuler dan persamaan sekuler 

 Fungsi sekuler 

Istilah fungsi sekuler digunakan untuk hal yang sekarang disebut polinomial karakteristik (beberapa literatur masih menggunakan istilah fungsi sekuler). Istilah tersebut muncul dari penggunaan polinomial karakteristik untuk menghitung pertubasi sekuler (pada suatu skala waktu sekitar dalam rentang abad, yang lebih lambat dibandingkan dengan gerakan tahunan) dari orbit-orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

 Persamaan sekuler 

Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

 Dalam aljabar linear, istilah ini terkadang digunakan untuk merujuk persamaan karakteristik.
 Dalam astronomi, istilah merujuk pada ekspresi aljabar atau numerik dari besar pertidaksamaan dalam pada gerakan planet, yang tersisa setelah pertidaksamaan jangka pendek sudah disertakan.
 Dalam orbital molekul, perhitungan yang mengaitkan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya.

 Untuk aljabar asosiatif umum 

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik dari sebuah matriks  dengan entri-entri dari lapangan , dapat diperumum tanpa perubahan ke kasus  hanya berupa gelanggang komutatif.  mendefinisikan polinomial karakteristik untuk entri-entri dari sebarang aljabar dimensi-hingga (asosiatif, tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah lapangan  dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

 Lihat pula 

 Persamaan karakteristik (disambiguasi)
 Polinomial minimal (aljabar linear)
 Invarian tensor
 Matriks pendamping
 Algoritme Faddeev–LeVerrier
 Teorema Cayley–Hamilton
 Algoritme Samuelson–Berkowitz

 Referensi 

 T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer .
 John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley .

 Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, .
 Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers .
 Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole .

Kategori:Aljabar linear
Kategori:Polinomial
Kategori:Tensor