Teorema Wilson

Dalam aljabar dan teori bilangan, teorema Wilson menyatakan bahwa bilangan asli  merupakan bilangan prima jika dan hanya jika darab dari semua bilangan asli yang kurang dari  bernilai satu kurangnya dari suatu kelipatan . Dengan menggunakan notasi aritmetika modular, maka faktorial  akan memenuhi relasi kekongruenan

ketika  merupakan bilangan prima. Dengan kata lain,  merupakan bilangan prima jika dan hanya jika  habis dibagi oleh .

 Sejarah 
Teorema ini dinyatakan oleh Ibnu al-Haitsam . Edward Waring mengumumkan teorema tersebut pada tahun 1770 tanpa membuktikannya. Ia mengatributkan muridnya, John Wilson, atas penemuan tersebut. Dalam edisi ketiga (1782) dari Meditationes Algebraicae karya Waring, teorema Wilson muncul sebagai soal ke-5 pada halaman 380. Pada halaman tersebut, Waring menyatakan "Hanc maxime elegantem primorum numerorum proprietatem invenit vir clarissimus, rerumque mathematicarum peritissimus Joannes Wilson Armiger."  (Seorang pria yang paling terkemuka dan paling ahli dalam matematika, Squire John Wilson, menemukan sifat yang paling elegan dari bilangan prima.) Langrage memberikan bukti pertama pada tahun 1771. Terdapat bukti bahwa Leibniz juga menyadari kebenaran teorema tersebut satu abad sebelumnya, tetapi ia tidak pernah menerbitkannya. Vacca mengutip dari manuskrip matematika Leibniz yang disimpan pada Royal Public Library di Hannover (Jerman), vol. 3 B, halaman 10: Orisinal :  Inoltre egli intravide anche il teorema di Wilson, come risulta dall'enunciato seguente:"Productus continuorum usque ad numerum qui antepraecedit datum divisus per datum relinquit 1 (vel complementum ad unum?) si datus sit primitivus.  Si datus sit derivativus relinquet numerum qui cum dato habeat communem mensuram unitate majorem."Egli non giunse pero a dimostrarlo.

 Contoh 
Untuk setiap nilai  dari 2 sampai 30, tabel berikut berisi bilangan  beserta sisa pembagian saat  dibagi oleh . Dalam aritmetika modular, sisa dari  ketika dibagi oleh  dinotasikan sebagai . Warna latar biru digunakan untuk  yang bernilai prima, dan kuning untuk  yang bernilai komposit.
+ Tabel faktorial serta sisa pembagiannya oleh         2 1 1 3 2 2 4 6 2 5 24 4 6 120 0 7 720 6 8 5040 0 9 40320 0 10 362880 0 11 3628800 10 12 39916800 0 13 479001600 12 14 6227020800 0 15 87178291200 0 16 1307674368000 0 17 20922789888000 16 18 355687428096000 0 19 6402373705728000 18 20 121645100408832000 0 21 2432902008176640000 0 22 51090942171709440000 0 23 1124000727777607680000 22 24 25852016738884976640000 0 25 620448401733239439360000 0 26 15511210043330985984000000 0 27 403291461126605635584000000 0 28 10888869450418352160768000000 0 29 304888344611713860501504000000 28 30 8841761993739701954543616000000 0

 Bukti 
Sebagai pernyataan bikondisional (jika dan hanya jika), maka pembuktiannya memiliki dua bagian: tunjukkan bahwa kekongruenannya tidak akan berlaku ketika  merupakan bilangan komposit, dan tunjukkan bahwa kekongruenannya pasti berlaku saat  merupakan bilangan prima.

 Modulus komposit 
Misalkan  adalah bilangan komposit, maka ia habis dibagi oleh suatu bilangan prima , dengan . Oleh karena  habis membagi , maka terdapat suatu  sedemikian sehingga . Misalkandengan dalih untuk mencari kontradiksinilai  kongruen dengan  dalam modulo . Perhatikan bahwa

untuk suatu . Akibatnya,  kongruen dengan  dalam modulo .

Di sisi lain, dari informasi , maka salah satu faktor dari darab  ialah , sehingga . Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awalbahwa nilai  kongruen dengan  dalam modulo tidak mungkin terjadi jika  komposit.

Lebih lanjut, jika  merupakan bilangan komposit, maka  akan kongruen dengan 0 dalam modulo , kecuali untuk kasus , yaitu . Bukti dari pernyataan tersebut dapat dibagi menjadi dua kasus:
 Jika  merupakan kuadrat dari suatu bilangan prima , maka  Akibatnya,  dan  akan muncul sebagai faktor dari , sehingga  habis dibagi oleh .
 Jika  bukan merupakan kuadrat dari suatu bilangan prima, maka  dapat difaktorkan sebagai darab dari dua bilangan berbeda, yaitu , dengan . Akibatnya,  dan  akan muncul sebagai faktor dari , sehingga  habis dibagi oleh .

 Modulus Prima 
Dua pembuktian berikut menggunakan fakta bahwa kelas-kelas residu modulo bilangan prima merupakan suatu lapanganlebih tepatnya, medan prima hingga.

 Bukti elementer 
Untuk , hasil dari teorema Wilson bersifat trivial, sehingga diasumsikan bahwa  adalah bilangan prima ganjil. Oleh karena kelas-kelas residu modulo  merupakan lapangan, maka setiap residu tak nol  memiliki invers perkalian  yang bersifat tunggal. Jika , maka

sehingga berdasarkan lema Euclid, maka nilai  yang memenuhi  ialah . Akibatnya, setiap faktor selain  dari  dapat disusun ulang menjadi  pasangan sedemikian sehingga darab dari setiap pasangan akan kongruen dengan 1 modulo . Alhasil, teorema Wilson terbukti.

Sebagai contoh, untuk , maka perhatikan bahwa

 Bukti menggunakan teorema kecil Fermat 

Untuk , hasil dari teorema Wilson bersifat trivial, sehingga diasumsikan bahwa  adalah bilangan prima ganjil. Pandang polinomial berikut

Perhatikan bahwa  memiliki derajat , dengan suku utama  serta konstanta . Nilai-nilai pembuat nol dari  ialah .

Selanjutnya, pandang polinomial

Perhatikan bahwa  memiliki derajat , dengan suku utama . Oleh karena  prima, maka setiap bilangan pada  akan relatif prima dengan . Berdasarkan teorema kecil Fermat, maka pembuat nol dari  dalam modulo  ialah .

Terakhir, pandang fungsi

Perhatikan bahwa  memiliki derajat paling tinggi  (sebab suku utama dari  dan  saling meniadakan) dan pembuat nol dari  ialah . Akan tetapi,  tidak mungkin memiliki lebih dari  akar, berdasarkan teorema Lagrange. Akibatnya,  haruslah identik nol dalam modulo . Dengan memandang konstanta pada polinomial , maka diperoleh

 Penerapan 
 Uji keprimaan 
Pada penerapannya, teorema Wilson tidak berguna sebagai uji keprimaan, sebab perhitungan nilai  modulo  merupakan hal yang berat secara komputasional untuk bilangan  yang besar.Lagrange, p. 132: "cette méthode devient extrémement laborieuse, & presque impracticable"

 Residu kuadratik 

Dengan menggunakan teorema Wilson, maka untuk setiap bilangan prima ganjil , ruas kiri dari

dapat disusun ulang sebagai berikut

sehingga didapatkan

Informasi ini dapat digunakan untuk membuktikan teorema terkenal:

 Persamaan untuk bilangan prima 
Teorema Wilson telah digunakan untuk mengonstruksikan rumus bilangan prima. Namun, pendekatan tersebut terlalu lambat untuk kegunaan praktis.

 Fungsi gamma -adik 
Teorema Wilson dapat digunakan untuk mendefinisikan fungsi gamma -adik.

 Generalisasi Gauss 
Gauss membuktikan bahwaGauss, DA, art. 78

dengan  menyatakan bilangan prima ganjil, dan . Dengan kata lain, darab dari semua bilangan asli yang kurang dari  dan relatif prima dengan  ialah satu kurangnya suatu kelipatan  ketika  sama dengan 4, atau perpangkatan suatu bilangan prima ganjil, atau dua kalinya perpangkatan suatu bilangan prima ganjil; untuk nilai-nilai lainnya, hasil darabnya ialah satu lebihnya suatu kelipatan .

 Lihat juga 
 Bilangan prima Wilson
 Tabel kekongruenan
 Konjektur Agoh–Giuga

 Catatan 

 Referensi 
Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari timbal balik kuadratik, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

 Terjemahan bahasa Inggris: 
 Terjemahan bahasa Jerman: 



 Pranala luar 


  Bukti sistem Mizar : http://mizar.org/version/current/html/nat_5.html#T22


Kategori:Aritmetika modular
Kategori:Topik faktorial dan binomial
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
wilson
Kategori:Uji keprimaan