Struktur (logika matematika)

Dalam aljabar universal dan dalam teori model, struktur terdiri dari himpunan bersama dengan kumpulan operasi finiter dan relasi yang ditentukan di atasnya.

Struktur studi aljabar universal yang menggeneralisasi struktur aljabar seperti grup, gelanggang, bidang dan ruang vektor. Istilah aljabar universal digunakan untuk struktur tanpa simbol relasi.Beberapa penulis merujuk pada struktur sebagai "aljabar" ketika menggeneralisasi aljabar universal untuk memungkinkan relasi serta fungsi.

Teori model memiliki cakupan berbeda yang mencakup teori yang lebih sewenang-wenang, termasuk struktur dasar seperti model teori himpunan. Dari sudut pandang model-teori, struktur adalah objek yang digunakan untuk mendefinisikan semantik logika urutan pertama. Untuk teori tertentu dalam teori model, struktur disebut  model  'jika memenuhi aksioma yang menentukan teori itu, meskipun kadang-kadang disamarkan sebagai  model semantik  ketika seseorang membahas gagasan dalam pengaturan yang lebih umum dari model matematika. Ahli logika terkadang menyebut struktur sebagai interpretasi.

Dalam teori database, struktur tanpa fungsi dipelajari sebagai model database relasional, dalam bentuk model relasional.

 Definisi 

Secara formal, struktur dapat didefinisikan sebagai rangkap tiga  terdiri dari domain  A , tanda tangan σ, dan  'fungsi interpretasi'   I  yang menunjukkan bagaimana tanda tangannya untuk diinterpretasikan di domain. Untuk menunjukkan bahwa suatu struktur memiliki tanda tangan tertentu σ dapat disebut sebagai struktur σ.

 Domain 
domain dari sebuah struktur adalah himpunan arbitrer; itu juga disebut himpunan yang mendasari struktur, pembawa (terutama dalam aljabar universal), atau universal (khususnya dalam teori model). Dalam logika orde pertama klasik, definisi struktur melarang domain kosong.Ini mirip dengan definisi dari sebuah bilangan prima di dasar teori bilangan, yang telah dipilih dengan cermat sehingga tak tersederhanakan bilangan 1 tidak dianggap prima. Konvensi bahwa domain suatu struktur tidak boleh kosong sangat penting dalam logika, karena beberapa aturan inferensi umum, terutama, Instansiasi universal, tidak bersuara jika struktur kosong diizinkan. Sistem logika yang memungkinkan domain kosong dikenal sebagai logika inklusif.

Terkadang notasi  atau  digunakan untuk domain , tetapi sering kali tidak ada perbedaan notasi yang dibuat antara struktur dan domainnya. (Yaitu simbol yang sama  mengacu pada struktur dan domainnya.)Sebagai konsekuensi dari konvensi ini, notasi  juga dapat digunakan untuk merujuk ke kardinalitas dari domain . Dalam praktiknya, hal ini tidak pernah menimbulkan kebingungan.

 Tanda tangan 

The signature  sebuah struktur terdiri dari satu set  dari simbol fungsi dan simbol relasi bersama dengan sebuah fungsi  yang dianggap berasal dari setiap simbol  'a bilangan asli  yang disebut ariti dari  s  karena ini adalah ariti dari interpretasi  s .

Karena tanda tangan yang muncul di aljabar sering kali hanya berisi simbol fungsi, tanda tangan tanpa simbol relasi disebut tanda tangan aljabar. Struktur dengan tanda tangan seperti itu juga disebut  'aljabar' ; ini tidak boleh disamakan dengan gagasan tentang aljabar di atas bidang.

 Fungsi interpretasi 

Fungsi interpretasi  I  dari  memberikan fungsi dan hubungan ke simbol tanda tangan. Setiap simbol fungsi  f  dari arity  n  diberi fungsi arity  di domain. Setiap simbol relasi  R  arity  n  diberi relasi n-ary  di domain. Simbol fungsi nol  c  disebut simbol konstan, karena interpretasinya  I(c)  dapat diidentifikasi dengan elemen domain konstan.

Ketika sebuah struktur (dan karenanya fungsi interpretasi) diberikan oleh konteks, tidak ada perbedaan notasi yang dibuat antara simbol  s  dan interpretasinya  I(s) . Misalnya, jika  f '' adalah simbol fungsi biner dari , satu hanya menulis  rather than .

 Catatan 

 Referensi 
  Free online edition.


 Pranala luar 
 Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Model theory"—by Wilfred Hodges.
 PlanetMath: Entry "Signature" describes the concept for the case when no sorts are introduced.
 Baillie, Jean , "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types. "

Kategori:Teori model
Kategori:Aljabar universal