Daftar grup kecil

Daftar berikut dalam matematika berisi grup terbatas kecil urutan hingga isomorfisme grup.

 Hitungan 
Untuk  jumlah grup nonisomorfik dari order  adalah
1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... 
Untuk grup berlabel, lihat .

 Glosarium 
Setiap grup diberi nama oleh Perpustakaan Grup Kecil sebagai Goi, di mana  o  adalah urutan grup, dan  i  adalah indeks grup dalam urutan itu.

Nama grup umum:
 Zn: grup siklik dengan urutan  n  (notasi Cn juga digunakan; itu isomorfik ke grup aditif dari Z/nZ).
 Dihn: grup dihedral dengan orde 2n  (sering kali notasi Dn atau D2n digunakan)
 K4: grup empat Klein dari urutan 4, sama seperti  dan Dih2.
 Sn: kelompok simetris derajat  n , berisi elemen  n ! permutasi dari  n .
 An: grup alternatif derajat  n , yang berisi elemen permutasi genap dari elemen  n , dengan urutan 1 untuk , dan urutan  n ! / 2 jika tidak.
 Dicn atau Q4n: grup siklik dari urutan 4n .
 Q8: grup angka empat dari order 8, juga Dic2.

Notasi Zn dan Dihn memiliki keuntungan bahwa grup titik dalam tiga dimensi Cn dan Dn tidak memiliki notasi yang sama. Ada lebih banyak grup isometri daripada keduanya, dari jenis kelompok abstrak yang sama.

Notasi  menunjukkan produk langsung dari dua kelompok; Gn menunjukkan produk langsung dari grup dengan waktu  n  itu sendiri.  G  ⋊  H  menunjukkan produk semidirect di mana  H  bekerja pada  G ; ini mungkin juga tergantung pada pilihan aksi  H  pada  G .

Abelian dan grup sederhana dicatat. (Untuk grup urutan , grup sederhana tepatnya adalah grup siklik Zn, untuk prime n.) Tanda persamaan ("=") menunjukkan isomorfisme.

Elemen identitas dalam grafik siklus diwakili oleh lingkaran hitam.  Urutan terendah di mana grafik siklus tidak secara unik mewakili sebuah grup adalah urutan 16.

Dalam daftar subgrup, trivial group dan group itu sendiri tidak terdaftar. Jika ada beberapa subgrup isomorfik, jumlah subgrup tersebut ditunjukkan dalam tanda kurung.

 Daftar grup abelian kecil 
Grup abelian hingga adalah kelompok siklik, atau produk langsungnya; lihat grup abelian.
Jumlah grup urutan abelian nonisomorfik  adalah
1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... 
Untuk kelompok Abelian berlabel, lihat .

+ Daftar semua grup abelian hingga urutan 31 Urutan ID GoiKelompok Subgrup yang tepat Nontrivial Siklusgrafik Sifat 1 1 G11 Z1 = S1 = A2 –40px Trivial. Berhubung dgn putaran. Bergantian. Simetris. SD. 2 2 G21 Z2 = S2 = Dih1 –40px Sederhana. Simetris. Berhubung dgn putaran. Dasar. (Grup non-trivial terkecil.) 3 3 G31 Z3 = A3 –40px Sederhana. Bergantian. Berhubung dgn putaran. Dasar. 4 4 G41 Z4 = Dic1 Z240px Siklik. 5 G42 Z22 = K4 = Dih2 Z2 (3)40px Dasar. Produk. (Klein empat grup. Grup non-siklik terkecil.) 5 6 G51 Z5 –40px Sederhana. Siklik. Dasar. 6 8 G62 Z6 = Z3 × Z2Lihat contoh yang menunjukkan isomorfisme Z6 = Z3 × Z2. Z3, Z240px Siklik. Produk. 7 9 G71 Z7 –40px Sederhana. Siklik. Dasar. 8 10 G81 Z8 Z4, Z240px Siklik. 11 G82 Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)40px Produk. 14 G85 Z23 Z22 (7), Z2 (7)40px Produk. Dasar. (Elemen non-identitas sesuai dengan titik pada bidang Fano,  subgrup ke baris.) 9 15 G91 Z9 Z340px Siklik. 16 G92 Z32 Z3 (4) 40px Dasar. Produk. 10 18 G102 Z10 = Z5 × Z2 Z5, Z240px Siklik. Produk. 11 19 G111 Z11 –40px Sederhana. Siklik. Dasar. 12 21 G122 Z12 = Z4 × Z3 Z6, Z4, Z3, Z240px Cyclic. Product. 24 G125 Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z2240px Product. 13 25 G131 Z13 –40px Simple. Cyclic. Elementary. 14 27 G142 Z14 = Z7 × Z2 Z7, Z2 40px Cyclic. Product. 15 28 G151 Z15 = Z5 × Z3 Z5, Z340px Cyclic. Product. 16 29 G161 Z16 Z8, Z4, Z2 40px Cyclic. 30 G162 Z42 Z2 (3), Z4 (6), Z22,  (3)</td>40px Product. 33 G165 Z8 × Z2 Z2 (3), Z4 (2), Z22, Z8 (2), 40px Product. 38 G1610 Z4 × Z22 Z2 (7), Z4 (4), Z22 (7), Z23,  (6)40px Product. 42 G1614 Z24 = K42 Z2 (15), Z22 (35), Z23 (15)</td>40px Product. Elementary. 17 43 G171 Z17 – 40px Simple. Cyclic. Elementary. 18 45 G182 Z18 = Z9 × Z2 Z9, Z6, Z3, Z2 40px Cyclic. Product. 48 G185 Z6 × Z3 = Z32 × Z2 Z6, Z3, Z2 50px  Product. 19 49 G191 Z19 – 40px Simple. Cyclic. Elementary. 20 51 G202 Z20 = Z5 × Z4 Z10, Z5, Z4, Z2 40px Cyclic. Product. 54 G205 Z10 × Z2 = Z5 × Z22 Z5, Z2 40px Product. 21 56 G212 Z21 = Z7 × Z3 Z7, Z3 40px Cyclic. Product. 22 58 G222 Z22 = Z11 × Z2 Z11, Z2 40px Cyclic. Product. 23 59 G231 Z23 – 40px Simple. Cyclic. Elementary.24 61 G242 Z24 = Z8 × Z3 Z12, Z8, Z6, Z4, Z3, Z2 40px Cyclic. Product. 68 G249 Z12 × Z2 = Z6 × Z4= Z4 × Z3 × Z2 Z12, Z6, Z4, Z3, Z2 Product. 74 G2415 Z6 × Z22 = Z3 × Z23 Z6, Z3, Z2 Product.25 75 G251 Z25 Z5 Cyclic. 76 G252 Z52 Z5 Product. Elementary. 26 78 G262 Z26 = Z13 × Z2 Z13, Z2 Cyclic. Product.27 79 G271 Z27 Z9, Z3 Cyclic. 80 G272 Z9 × Z3 Z9, Z3 Product. 83 G275 Z33 Z3   Product. Elementary.28 85 G282 Z28 = Z7 × Z4 Z14, Z7, Z4, Z2   Cyclic. Product. 87 G284 Z14 × Z2 = Z7 × Z22 Z14, Z7, Z4, Z2 Product. 29 88 G291 Z29 – Simple. Cyclic. Elementary. 30 92 G304 Z30 = Z15 × Z2 = Z10 × Z3= Z6 × Z5 = Z5 × Z3 × Z2 Z15, Z10, Z6, Z5, Z3, Z2 Cyclic. Product. 31 93 G311 Z31 – Simple. Cyclic. Elementary.

 Daftar grup kecil non-abelian 
Jumlah grup non-abelian, berdasarkan urutan, dihitung dengan .
Namun, banyak ordo tidak memiliki kelompok non-abelian. Urutan keberadaan grup non-abelian adalah
6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... 

+ Daftar semua grup nonabelian sampai urutan 31 Urutan ID GoiKelompok Subgrup yang tepat Nontrivial Siklusgrafik Properti 6 7 G61 Dih3 = S3 = D6 Z3, Z2 (3) 40px Grup dihedral, grup non-abelian terkecil, grup simetris, kelompok Frobenius 8 12 G83 Dih4 = D8 Z4, Z22 (2), Z2 (5) 40px Grup dihedral. Grup ekstraspesial. Nilpotent. 13 G84 Q8 = Dic2 = <2,2,2> Z4 (3), Z2 40px Grup angka empat, grup Hamiltonian. semua subgrup adalah normal tanpa grup abelian. Grup terkecil  G  yang menunjukkan bahwa untuk subgrup normal  H  grup hasil bagi  G  /  H  tidak perlu isomorfik ke subgrup  G .  Grup ekstraspesial Grup dihedral biner. Nilpotent. 10 17 G101 Dih5 = D10 Z5, Z2 (5) 40px Dihedral group, Frobenius group 12 20 G121 Q12 = Dic3 = <3,2,2>= Z3 ⋊ Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6 40px Grup dihedral biner 22 G123 A4 = K4 ⋊ Z3= (Z2 × Z2) ⋊ Z3 Z22, Z3 (4), Z2 (3) 40px Grup alternatif. Tidak ada subgrup berorde 6, meskipun 6 membagi urutannya. Grup Frobenius 23 G124 Dih6 = D12 = Dih3 × Z2 Z6, Dih3 (2), Z22 (3), Z3, Z2 (7) 40px Dihedral group, product 14 26 G141 Dih7 = D14 Z7, Z2 (7) 40px Dihedral group, Frobenius group 16Wild, Marcel. "The Groups of Order Sixteen Made Easy, American Mathematical Monthly, Jan 2005 31 G163 G4,4 = K4 ⋊ Z4(Z4 × Z2) ⋊ Z2 E8, Z4 × Z2 (2), Z4 (4), K4 (6), Z2 (6) 40px Has the same number of elements of every order as the Pauli group. Nilpotent. 32 G164 Z4 ⋊ Z4 40px The squares of elements do not form a subgroup. Has the same number of elements of every order as Q8 × Z2.  Nilpotent. 34 G166 Z8 ⋊ Z2 40px Sometimes called the modular group of order 16, though this is misleading as abelian groups and Q8 × Z2 are also modular.  Nilpotent. 35 G167 Dih8 = D16 Z8, Dih4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) 40px Dihedral group. Nilpotent. 36 G168 QD16 40px The order 16 quasidihedral group. Nilpotent. 37 G169 Q16 = Dic4 = <4,2,2> 40px generalized quaternion group, binary dihedral group. Nilpotent. 39 G1611 Dih4 × Z2 Dih4 (4), , Z23 (2), Z22 (13), Z4 (2), Z2 (11) 40px Product. Nilpotent. 40 G1612 Q8 × Z2 40px Hamiltonian, product.  Nilpotent. 41 G1613 (Z4 × Z2) ⋊ Z2 40px The Pauli group generated by the Pauli matrices. Nilpotent. 18 44 G181 Dih9 = D18   40px  Dihedral group, Frobenius group 46 G183 S3 × Z3   40px  Product 47 G184(Z3 × Z3) ⋊ Z2   40px  Frobenius group 20 50 G201 Q20 = Dic5 = <5,2,2>   40px  Binary dihedral group 52 G203 Z5 ⋊ Z4   40px  Frobenius group 53 G204 Dih10 = Dih5 × Z2 = D20   40px  Dihedral group, product 21 55 G211 Z7 ⋊ Z3 Z7, Z3 (7)40px Smallest non-abelian group of odd order. Frobenius group 22 57 G221 Dih11 = D22 Z11, Z2 (11) Dihedral group, Frobenius group 24 60 G241 Z3 ⋊ Z8    Central extension of S3 62 G243 SL(2,3) = 2T = Q8 ⋊ Z3  40px  Binary tetrahedral group 63 G244 Q24 = Dic6 = <6,2,2> = Z3 ⋊ Q8   40px  Binary dihedral 64 G245 Z4 × S3    Product 65 G246 Dih12    Dihedral group 66 G247 Dic3 × Z2 = Z2 × (Z3 ⋊ Z4)    Product 67 G248 (Z6 × Z2) ⋊ Z2 = Z3 ⋊ Dih4    Double cover of dihedral group 69 G2410 Dih4 × Z3    Product. Nilpotent. 70 G2411 Q8 × Z3    Product. Nilpotent. 71 G2412 S4  28 proper, non-trivial subgroups.  9 subgroups, combining those that are isomorphic. Subgroups include S2, S3, A3, A4, D8.https://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_structure_of_symmetric_group:S4 40px  Symmetric group. Has no normal Sylow subgroups. 72 G2413 A4 × Z2   40px  Product 73 G2414 D12× Z2     Product 26 77 G261 Dih13    Dihedral group, Frobenius group27 81 G273 Z32 ⋊ Z3    All non-trivial elements have order 3. Extraspecial group. Nilpotent. 82 G274 Z9 ⋊ Z3    Extraspecial group. Nilpotent.28 84 G281 Z7 ⋊ Z4    Binary dihedral group 86 G283 Dih14    Dihedral group, product30 89 G301 Z5 × S3    Product 90 G302 Z3 × Dih5    Product 91 G303 Dih15    Dihedral group, Frobenius group

 Mengklasifikasikan grup urutan kecil 

Kelompok kecil urutan kekuatan utama  p  n  diberikan sebagai berikut:
Urutan  p : Satu-satunya grup adalah siklik.
Order  p   2 : Hanya ada dua grup, keduanya abelian.
Order  p   3 : Ada tiga grup abelian, dan dua grup non-abelian. Salah satu grup non-abelian adalah produk semidirect dari subgrup siklik normal p2 oleh grup siklik urutan  p . Yang lainnya adalah grup angka empat untuk  dan segrup eksponen  p  untuk .
Urutan  p  4 : Klasifikasinya rumit, dan menjadi lebih sulit saat eksponen  p  meningkat.

Sebagian besar grup orde kecil memiliki subgrup Sylow  p   P  dengan normal komplemen  p  pada  N  untuk beberapa bilangan prima  p  yang membagi urutan, sehingga dapat diklasifikasikan dalam hal kemungkinan bilangan prima  p , grup  p  pada  P , grup  N , dan tindakan  P  pada  N  . Dalam beberapa hal ini mengurangi klasifikasi kelompok ini menjadi klasifikasi grup  p . Beberapa kelompok kecil yang tidak memiliki komplemen  p  normal meliputi.

 Lihat pula 
 Klasifikasi grup sederhana hingga
 Deret komposisi
Daftar grup sederhana hingga
 Jumlah grup dari pesanan tertentu
 Kotak Latin kecil dan kuasigrup

 Catatan 

 Referensi 

, Table 1, Nonabelian groups order<32.


 Pranala luar 
 Grup tertentu dalam Wiki Properti Grup
 Grup urutan tertentu

 GroupNames database

 Grup yang kecil
 Grup yang kecil
Kategori:Grup hingga