Logaritma alami dari 2

Nilai desimal dari logaritma natural dari 2 (urutan  kira-kira

.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus

Logaritma umum secara khusus adalah 

.

Invers dari bilangannya ini adalah logaritma biner dari 10:



Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

 Wakilan deret 

 Faktorial bolak-balik menaik 

 . Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik".
 .
 .
 .
 .
 .

 Faktorial konstanta menaik biner 

 .
 .
 .

 .
 .

 Wakilan deret lainnya 

 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
 .
  menggunakan .
  (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

 Melibatkan fungsi zeta Riemann 

 .
 .
 .

( adalah konstanta Euler−Mascheroni dan  adalah fungsi zeta Riemann.)

 Wakilan tipe-BBP 

(Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).) 

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

 .
 .
 .

Menerapkannya untuk  memberikan:

 .
 .
 .

Menerapkannya untuk  memberikan:

 .
 .
 .

Menerapkannya untuk  memberikan:

 .
 .
 .

 Wakilan sebagai integral 
Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

 .

 .

 .

 Wakilan lainnya 
Pengembangan Piercenya adalah 

Pengembangan Engelnya adalah 

Pengembangan kotangennya adalah 

Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah 

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah , , , , , dan .

Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini:

, dapat diekspresikan sebagai

 Bootstrap logaritma lainnya 
Diberikan sebuah nilai dari , sebuah skema menghitung logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan komposit  berdasarkan faktorisasinya

Ini memakai
Bilangan primaMemperkirakan logaritma naturalOEIS2357111317192329313741434753596167717379838997
DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional  dihitung dengan menggunakan , dan logaritma akar melalui .

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari  yang mendekati dengan pangkat  dari bilangan  lainnya relatif mudah, dan representasi deret  dengan menggabungkan  ke  dengan perubahan logaritmik.

 Contoh 
Jika  dengan beberapa , maka  dan karena itu

Memilih  mewakili  oleh  dan sebuah deret dari sebuah parameter  yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil , sebagai contoh, menghasilkan

:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:
13121322233253821231921522357217221732571421132211721111382113321134231311271326210133721174211942419172123421235222392129421295272934213152137524372125372621415224111234116214352243112543272743382
Dimulai dari logaritma natural dari , salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:
10231021310103521010571067510137111011111011311081391091310101171104175109171110319410419510719910223310323410229310231310

 Digit yang diketahui 
Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit . Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural  dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.
+TanggalNamaJumlah digit7 Januari 2009A Yee & R Chan15,500,000,0004 Februari 2009A Yee & R Chan31,026,000,00021 Februari 2011Alexander Yee50,000,000,05014 Maret, 2011Shigeru Kondo100,000,000,00028 Februari 2014Shigeru Kondo200,000,000,05012 Juli 2015Ron Watkins250,000,000,00030 Januari 2016Ron Watkins350,000,000,00018 April 2016Ron Watkins500,000,000,00010 Desember 2018Michael Kwok600,000,000,00026 April 2019Jacob Riffee1,000,000,000,00019 Agustus 2020Seungmin Kim1,2000,000,000,100

 Lihat pula 

 Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana  sangat menonjol
 Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana  sangat menonjol
 Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari .

 Referensi 








 Pranala luar 





Kategori:Bilangan transendental riil
Kategori:Konstanta matematika
Kategori:Logaritma