Rasio

Dalam matematika, rasio (), nisbah atau perbandingan menyatakan berapa kali suatu bilangan termuat pada bilangan lainnya. Sebagai contoh, jika terdapat sembilan jeruk dan enam semangka, maka rasio dari jeruk dengan semangka ialah sembilan banding enam (ditulis , yang setara dengan rasio ). Dengan cara serupa, maka rasio dari semangka dengan jeruk ialah  (atau ) dan rasio antara jeruk dan banyaknya buah ialah  (atau ).

Bilangan pada suatu rasio dapat menyatakan kuantitas apa pun, seperti banyaknya orang atau objek, atau bahkan ukuran panjang, berat, waktu, dll. Dalam banyak kasus, kedua bilangan dibatasi bernilai positif.

Rasio dapat dinyatakan dengan memberikan kedua bilangan pembentuknya, yang ditulis , atau dengan memberikan nilai hasil baginya, yaitu .New International Encyclopedia Hasil bagi yang bernilai sama berpadanan dengan rasio yang sama. Suatu pernyataan yang mengekspresikan kesamaan dua rasio disebut sebagai proporsi.

Akibatnya, rasio dapat dipandang sebagai pasangan bilangan yang terurut, suatu pecahan yang bilangan pertamanya ialah pembilang dan yang kedua ialah penyebut. Rasio perhitungan, yang diberikan oleh bilangan asli (tak nol), adalah bilangan rasional, dan mungkin saja merupakan bilangan asli.

 Notasi dan terminologi 
Rasio dari bilangan  dan  dapat dinyatakan sebagai:New International Encyclopedia
 Rasio antara  dengan 

  terhadap  (saat diikuti dengan "sama seperti  terhadap "; lihat di bawah)
 Suatu pecahan dengan  sebagai pembilang dan  sebagai penyebut (atau dengan kata lain,  dibagi , atau ). Hal ini dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana, desimal, atau sebagai persentase, dll.Pecahan desimal sering digunakan dalam ranah teknologi dimana perbandingan rasio adalah hal penting, seperti rasio aspek (gambar), rasio kompresi (mesin atau penyimpanan data), dsb.

Ketika rasio ditulis dalam bentuk , simbol dua titik di antara  dan  terkadang merupakan tanda titik dua. Dalam Unicode, simbol ini ialah , walau Unicode juga menyediakan simbol yang dikhususkan untuk menyatakan rasio, yaitu .

Suatu pernyataan yang mengekspresikan persamaan dua rasio  dan  disebut sebagai proporsi,Heath, p. 126 yang ditulis sebagai . Saat kesamaan rasio ini diucapkan secara lisan, sering kali hal ini dinyatakan sebagai
 ( terhadap ) sama seperti ( terhadap )

Rasio terkadang digunakan dengan tiga suku atau lebih. Sebagai contoh, proporsi campuran yang bagus (dalam satuan volume) untuk fondasi beton ialah

Untuk campuran (kering)  bagian pada volume semen dengan air, maka dapat dikatakan bahwa rasio semen dan air ialah , yaitu terdapat 4 kali lipat semen dibandingkan air, atau banyaknya air ialah seperempat (1/4) dari banyaknya semen.

 Banyaknya suku dan hubungannya dengan pecahan 
Secara umum, perbandingan kuantitas dari rasio dua entitas dapat dinyatakan sebagai suatu pecahan yang diperoleh dari rasio yang diberikan. Sebagai contoh, jika rasionya ialah , maka ukuran, volume, atau banyaknya kuantitas dari entitas pertama ialah  kalinya entitas kedua.

Jika terdapat 2 nanas dan 3 mangga, rasio nanas dengan mangga ialah , dan rasio pisang dengan jumlah keseluruhan buah ialah . Rasio-rasio ini juga dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan: terdapat  banyaknya nanas dari banyaknya mangga, dan  dari banyaknya buah yang ada merupakan buah nanas. Jika konsentrat jus nanas diencerkan dengan air dengan rasio , maka satu bagian konsentrat dicampur dengan empat bagian air, sehingga menghasilkan lima bagian; jumlah konsentrat jus nanas adalah  dari jumlah air, sedangkan jumlah konsentrat jus nanas adalah  dari total cairan. Baik rasio maupun pecahan, penting untuk menperjelas entitas apa yang sedang dibandingkan, sehingga kesalahpahaman dapat dihindari.

Pecahan juga dapat disimpulkan dari rasio dengan lebih dari dua entitas; akan tetapi, rasio dengan lebih dari dua pecahan tidak dapat secara utuh diubah menjadi satu pecahan, sebab pecahan hanya dapat membandingkan dua kuantitas. Pecahan berbeda dapat digunakan untuk membandingkan kuantitas dari dua entitas yang tercakup dalam rasio yang diberikan. Sebagai contoh, dari rasio , maka dapat disimpulkan bahwa kuantitas entitas kedua adalah  dari kuantitas entitas ketiga.

 Proporsi dan persentase rasio 
Jika semua kuantitas yang terlibat pada suatu rasio dikalikan dengan bilangan yang sama, maka rasionya tidak berubah. Sebagai contoh, rasio  sama dengan . Sering kali rasionya disederhanakan menjadi penyebut persekutuan terkecil, atau menyatakan rasionya menjadi persentase.

Jika suatu campuran mengandung zat , , ,  dengan rasio , maka untuk setiap  bagian dari , terdapat  bagian dari ,  bagian dari , dan  bagian dari . Oleh karena , maka campurannya mengandung  zat  ( bagian dari ),  zat ,  zat , dan  zat . Jika semua zat yang terlibat dibagi dengan total zat pada campuran, lalu dikalikan dengan , maka pecahannya berubah menjadi persentase: , , , dan  (yang setara dengan menulis rasionya sebagai ).

Jika dua (atau lebih) kuantitas mencakup seluruh kuantitas pada suatu situasi, maka jumlah seluruh bagian-bagiannya disebut sebagai "keseluruhan". Sebagai contoh, suatu keranjang buah berisi dua apel dan tiga jeruk. Jika tidak ada buah lain pada keranjang tersebut, maka keranjangnya terdiri dari dua bagian apel dan tiga bagian jeruk. Pada kasus ini,  atau  keseluruhan merupakan buah apel, dan  atau  keseluruhan merupakan buah jeruk. Perbandingan antara kuantitas spesifik dengan "keseluruhan" semacam ini dikenal sebagai proporsi.

Jika rasionya hanya terdiri dari duaa nilai, maka rasionya dapat dinyatakan sebagai pecahan, termasuk pecahan desimal. Sebagai contoh, televisi lawas memiliki rasio aspek , yang berarti lebar televisinya ialah  dari tinggi televisinya (rasionya juga dapat dinyatakan sebagai  atau , apabila dibulatkan dua angka di belakang koma). TV layar lebar yang lebih mutakhir memiliki rasio aspek , atau  apabila dibulatkan dua angka di belakang koma. Salah satu rasio yang populer untuk film layar lebar ialah , atau  saja. Dengan menyatakan rasio sebagai pecahan desimal, maka membandingkan dua rasio berbeda akan jauh lebih sederhana. Saat membandingkan nilai , , dan , terlihat jelas format mana yang menawarkan gambar yang lebih lebar. Perbandingan semacam ini hanya dapat bekerja ketika nilai yang dibandingkan bersifat konsisten, seperti selalu menyatakan lebar sebagai kelipatan dari tinggi.

 Penyederhanaan rasio 
Rasio dapat disederhanakan (sama seperti pecahan) dengan membagi setiap kuantitas dengan faktor persekutuan dari semua kuantitas. Sebagai contoh, makna rasio  akan setara dengan rasio , yang dapat diperoleh dengan membagi kedua kuantitas dengan . Secara matematis, hal ini dapat dituliskan . Kalimat verbal yang setara ialah "40 terhadap 60 sama seperti 2 terhadap 3".

Rasio yang menggunakan bilangan bulat untuk kedua kuantitasnya dan tidak dapat disederhanakan lagi (menggunakan bilangan bulat) disebut sebagai bentuk paling sederhana. Secara matematis, rasio  (atau dalam bentuk pecahan, ) dikatakan memiliki bentuk paling sederhana jika  dan  saling prima, yaitu .

 Rasio yang irasional 
Rasio juga dapat dibuat antara kuantitas yang inkomensurabel, yaitu kuantitas yang rasionya, saat dinyatakan sebagai pecahan, merupakan bilangan irasional. Contoh paling awal yang ditemukan, ditemukan oleh Pythagoreanisme, ialah rasio antara panjang diagonal  dengan panjang sisi  dari suatu persegi, yaitu akar kuadrat dari 2. Secara simbolis, maka . Contoh lainnya ialah rasio antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang disebut sebagai , yang tidak hanya bilangan irasional, tetapi juga merupakan bilangan transenden.

Contoh lain yang cukup terkenal ialah rasio emas antara dua panjang  dan  yang memenuhi proporsi berikut:

Jika didefinisikan , maka nilai  adalah penyelesaian dari persamaan

yang memiliki penyelesaian positif irasional 
Akibatnya, setidaknya salah satu dari  atau  merupakan bilangan irasional, agar nilai  menjadi rasio emas. Contoh dari kemunculan rasio emas dalam matematika ialah nilai limit dari barisan rasio dua bilangan Fibonacci berurutan: walaupun semua suku barisannya merupakan rasio dari dua bilangan bulat (yang nilainya rasional), nilai limit dari barisan rasio yang rasional ini ialah rasio emas yang irasional.

Serupa seperti sebelumnya, rasio perak dari  dan  didefinisikan sebagai proporsi

yang berpadanan dengan persamaan . Persamaan ini memiliki penyelesaian irasional positif , sehingga setidaknya salah satu dari  atau  pada rasio perak haruslah bernilai irasional.

 Gasal 

Gasal (seperti dalam perjudian) dinyatakan sebagai suatu rasio. Misalnya, gasal " lawan " () berarti peluang terjadinya suatu kejadian ialah  kalinya peluang tidak terjadinya kejadian tersebut. Dengan kata lain, peluang suksesnya ialah . Dalam setiap sepuluh percobaan, maka diharapkan terjadi tiga kemenangan dan tujuh kekalahan.

°== Satuan ==
Rasio mungkin saja tidak memiliki satuan, seperti pada kasus saat rasio digunakan untuk membandingkan kuantitas dengan satuan yang berdimensi sama, namun satuannya berbeda. Sebagai contoh, rasio  dapat disederhanakan dengan mengganti nilai pertama menjadi 60 detik, sehingga rasionya menjadi . Setelah satuannya sama, maka satuannya dapat dihilangkan, dan rasionya dapat disederhanakan menjadi .

Di sisi lain, terdapat hasil bagi dengan satuan tertentu, yang dikenal sebagai laju. Dalam kimia, rasio konsentrasi massa biasanya dinyatakan sebagai pecahan massa per volume. Sebagai contoh, konsentrasi  biasanya diartikan sebagai  zat dalam setiap  larutan. Rasio ini tidak dapat diubah ke rasio tanpa dimensi, seperti massa per massa atau volume per volume.

 Lihat juga 

 Rasio silang
 Rasio pengenceran
 Besaran nirdimensi
 Rasio keuangan
 Interval (musik)
 Rasio ganjil
 Notasi bagian per
 Kesebandingan (matematika)
 Distribusi rasio
 Pendugaan rasio
 laju (matematika)
 Risiko relatif
 Skala (peta)
 Skala (statistik)
 Rasio jenis kelamin
 Kemiringan

 Referensi 

 Bacaan lanjutan 
  "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
  "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271
  "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff

  D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Ginn and Company (1925) pp. 477ff.  Reprinted 1958 by Dover Publications.

 Pranala luar 

Kategori:Matematika dasar
Kategori:Aljabar
Kategori:Rasio
Kategori:Hasil bagi