Grup-p

Dalam matematika, khususnya teori grup, pada bilangan prima p, a grup-p adalah grup di mana urutan dari setiap elemen adalah daya dari  p . Artinya, untuk setiap elemen  g  dari grup- p   G , terdapat bilangan bulat nonnegatif  n  sehingga produk dari pn salinan  g , dan tidak lebih sedikit, sama dengan elemen identitas. Urutan elemen yang berbeda mungkin kekuatan yang berbeda dari  p .

Abelian  p  - grup juga disebut primer-p atau hanya primer.

Sebuah grup terbatas adalah grup  p  jika dan hanya jika urutan (jumlah elemennya) adalah pangkat dari  p . Diberikan grup terbatas  G , Teorema Sylow menjamin keberadaan subgrup dari  G  dengan urutan  p n   untuk setiap prime power  p n   yang membagi urutan '

Sisa artikel ini membahas grup  p  terbatas. Untuk contoh grup abelian  p  tak hingga, lihat Grup Prüfer, dan untuk contoh grup sederhana  p  tak terbatas, lihat Grup monster Tarski.

 Sifat 

Setiap grup- p  adalah periodik karena menurut definisi setiap elemen memiliki urutan hingga.

Jika  p  adalah bilangan prima dan  G  adalah segrup urutan pk, kemudian  G  memiliki subgrup biasa pm untuk setiap 1 ≤ m ≤ k.  Ini diikuti oleh induksi, menggunakan Teorema Cauchy dan Teorema Korespondensi untuk grup. Sketsa buktinya adalah sebagai berikut: karena pusat  Z  dari  G  adalah non-trivial (lihat di bawah), menurut Teorema Cauchy  Z  memiliki subgrup  H  dari urutan  p . Menjadi pusat di  G ,  H  selalu normal di  G .  Sekarang kita dapat menerapkan hipotesis induktif ke  G/H , dan hasilnya mengikuti Teorema Korespondensi.

 Pusat non-trivial 
Salah satu hasil standar pertama yang menggunakan persamaan kelas adalah bahwa pusat grup  p  berhingga non-trivial, tidak boleh menjadi subgrup trivial.bukti

This forms the basis for many inductive methods in p-groups.

Misalnya, normalizer  N  dari subgrup yang tepat  H  dari  p  terbatas, grup  G  dengan benar berisi  H , karena untuk contoh counter dengan H = N, pusat  Z  ada di  N , dan begitu juga di  H , tetapi kemudian ada contoh yang lebih kecil H/Z yang normalnya masuk G/Z adalah N/Z = H/Z, menciptakan keturunan yang tak terbatas. Sebagai akibatnya, setiap grup  p  yang terbatas adalah nilpoten.

Di arah lain, setiap subgrup normal dari  p  terbatas - kelompok memotong pusat secara non-sepele seperti yang dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan elemen  N  yang diperbaiki ketika  G  bekerja pada  N  melalui konjugasi. Karena setiap subgrup pusat normal, Oleh karena itu, setiap subkelompok normal minimal dari grup  p  terbatas adalah pusat dan memiliki urutan  p . Memang, socle dari grup  p  berhingga adalah subkelompok dari pusat yang terdiri dari elemen pusat urutan  p .

Jika  G  adalah grup  p  -, maka G/Z, dan karena itu juga memiliki pusat non-trivial. Preimage dalam  G  dari pusat  G / Z  disebut pusat kedua dan grup ini memulai pusat atas. Menggeneralisasi komentar sebelumnya tentang socle, sebuah  p  yang terbatas, grup dengan urutan  p n   berisi subgrup normal dari order  p i   dengan 0 ≤ i ≤ n, dan subgrup normal manapun pi terkandung di pusat  i  Zi. Jika subgrup normal tidak terdapat di Zi, lalu perpotongannya dengan Zi+1 memiliki ukuran setidaknya pi+1.

 Automorfisme 
Grup automorfisme grup  p  dipelajari dengan baik. Sama seperti setiap grup  p  yang terbatas memiliki pusat non-trivial sehingga grup automorfisme dalam adalah hasil bagi grup yang tepat, setiap grup  p  terbatas memiliki non-trivial grup automorfisme luar. Setiap automorfisme dari  G  menginduksi automorfisme G/Φ(G), di mana Φ(G) adalah subgrup Frattini dari  G . Hasil bagi G/Φ(G) adalah grup abelian dasar dan grup automorfisme adalah grup linear umum, jadi sangat dipahami. Peta dari kelompok automorfisme  G  ke dalam kelompok linier umum ini telah dipelajari oleh Burnside, yang menunjukkan bahwa kernel dari peta ini adalah grup  p . 

 Lihat pula 
 Grup elementer
 Peringkat Prüfer
 Grup-P reguler

 Referensi 

Catatan buku

 — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface).