Jumlah langsung

Dalam aljabar abstrak, jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung , dimana  adalah ruang koordinat nyata, adalah bidang Kartesius, . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian. Jumlah langsung dari dua grup abelian  and  adalah grup abelian lainnya  terdiri dari urutan pasangan , dimana  dan .  (Secara membingungkan, pasangan terurut ini juga disebut hasilkali kartesian dari dua grup.) Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan  sebagai ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti gelanggang, modul, dan ruang vektor.

Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya , diberikan  dan  adalah jenis struktur aljabar yang sama (yaitu, semua grup, gelanggang, ruang vektor, dll.). Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah asosiatif hingga isomorfisme,  untuk struktur aljabar , , dan  dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu . untuk struktur aljabar apa pun  dan  dari jenis yang sama.

Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai , seperti biasanya di grup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran (seperti dalam ekspresi ) kita menggunakan hasilkali langsung.

Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan hasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga.  Unsur dalam hasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti  tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan  akan menjadi elemen hasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, sementara  akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah , jumlah langsung  didefinisikan sebagai himpunan tupel  dengan  seperti yang  untuk semua kecuali  i . Jumlah langsung  terkandung dalam hasilkali langsung , tetapi biasanya sangat lebih kecil jika kumpulan indeks  tidak terbatas, karena hasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol.Thomas W. Hungerford, Algebra, p.60, Springer, 1974, 

 Contoh 
Bidang , sebuah ruang vektor dua dimensi, dapat dianggap sebagai penjumlahan langsung dari dua ruang vektor satu dimensi, yaitu sumbu  x  dan  y  . Dalam penjumlahan langsung ini, sumbu  dan  hanya berpotongan di titik asal (vektor nol). Penambahan didefinisikan secara koordinat, yaitu , yang sama dengan penjumlahan vektor.

Diberikan dua struktur  dan , jumlah langsungnya ditulis sebagai . Diberikan keluarga terindeks struktur , diindeks dengan , jumlah langsung dapat ditulis . Pada Ai disebut penjumlahan langsung dari . Jika kumpulan indeks terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Dalam kasus grup, jika operasi grup ditulis sebagai  frasa "jumlah langsung" digunakan, sedangkan jika operasi grup ditulis  frasa "hasilkali langsung" digunakan. Ketika himpunan indeks takhingga, jumlah langsung tidak sama dengan hasilkali langsung karena jumlah langsung memiliki persyaratan tambahan bahwa semuanya.

 Jumlah langsung internal dan eksternal 

Perbedaan dibuat antara jumlah langsung internal dan eksternal, meskipun keduanya isomorfik. Jika faktor ditentukan terlebih dahulu, dan kemudian jumlah langsungnya ditentukan dalam faktor, kita memiliki jumlah. Misalnya, jika kita mendefinisikan bilangan real  dan kemudian tentukan  jumlah langsung dikatakan eksternal.

Sebaliknya, jika kita mendefinisikan beberapa struktur aljabar terlebih dahulu  dan kemudian tulis  sebagai penjumlahan langsung dari dua substruktur  dan , maka jumlah langsungnya dikatakan internal.  Dalam kasus ini, setiap elemen  diekspresikan secara unik sebagai kombinasi aljabar dari elemen  dan elemen dari . Untuk contoh jumlah langsung internal, pertimbangkan  (bilangan bulat modulo enam), yang elemennya . Ini diekspresikan sebagai jumlah langsung internal .

 Homomorfisme 

Jumlah langsung  dilengkapi dengan   proyeksi  homomorfisme  untuk setiap  j  dalam  I  dan  coprojection   untuk setiap  j  pada I.  Diberikan struktur aljabar lain  (dengan struktur tambahan yang sama) dan homomorfisme  untuk setiap  j  di  I , ada homomorfisme yang untuk , disebut jumlah dari gj, seperti  for semua  j . Jadi jumlah langsungnya adalah hasilkali bersama dalam  kategori yang sesuai.

 Lihat pula 
 Jumlah langsung grup
 Jumlah langsung permutasi
 Jumlah langsung dari grup topologi
 hasilkali batasan
 Jumlah Whitney

 Catatan 

 Referensi 

Kategori:Aljabar abstrak