Presentasi grup

Dalam matematika, presentasi adalah salah satu metode untuk menentukan grup. Presentasi dari grup  G  terdiri dari satu set  S  dari generator, sehingga setiap elemen grup dapat ditulis sebagai produk kekuatan dari beberapa generator ini, dan satu himpunan  R  dari relasi di antara generator tersebut. Kami kemudian mengatakan  G  memiliki presentasi

Secara informal,  G  memiliki presentasi di atas jika itu adalah "grup paling bebas" yang dihasilkan oleh  S  yang hanya tunduk pada relasi  R . Secara formal, grup  G  dikatakan memiliki presentasi di atas jika isomorfik ke hasil bagi dari grup bebas pada  S bebas  oleh subgrup normal dihasilkan oleh relasi  R .

Sebagai contoh sederhana, grup siklik dengan urutan  n  memiliki penyajian

dimana 1 adalah identitas grup. Ini dapat ditulis sama dengan

berkat konvensi bahwa istilah-istilah yang tidak menyertakan tanda sama dengan dianggap sama dengan identitas grup.  Istilah seperti itu disebut relator, membedakannya dari relasi yang menyertakan tanda sama dengan.

Setiap kelompok memiliki presentasi, dan ternyata banyak presentasi yang berbeda; presentasi sering kali merupakan cara paling ringkas untuk mendeskripsikan struktur grup.

Sebuah konsep yang terkait erat tetapi berbeda adalah konsep presentasi mutlak dari suatu grup.

 Latar Belakang 
Grup bebas pada himpunan  S  adalah grup di mana setiap elemen dapat  secara unik  dijelaskan sebagai produk panjang terbatas dari bentuk:

dimana si adalah elemen S, berdekatan si berbeda, dan  a i   adalah bilangan bulat bukan nol (tetapi  n  bisa jadi nol). Dalam istilah yang kurang formal, grup tersebut terdiri dari kata-kata di generator  dan inversnya , hanya tunduk pada pembatalan generator dengan kejadian invers yang berdekatan.

Jika  G  adalah grup apa pun, dan  S  adalah subset yang menghasilkan dari  G , maka setiap elemen  G  juga berbentuk di atas; namun secara umum, produk ini tidak akan  secara unik  menggambarkan elemen  G .

Misalnya, grup dihedral D 8  berorde enam belas dapat dihasilkan oleh rotasi,  r , berorde 8; dan flip, f, of order 2; dan tentunya setiap elemen D  8  adalah produk dari r dan f.

Namun, kami memiliki, misalnya, , , dll., jadi produk seperti itu  tidak unik  di D 8 . Masing-masing produk ekuivalen dapat diekspresikan sebagai persamaan dengan identitas, seperti

, 
, or
.

Secara informal, kita dapat menganggap produk ini di sisi kiri sebagai elemen dari grup bebas , dan dapat mempertimbangkan subgrup  R  dari  F  yang dihasilkan oleh string ini; masing-masing juga akan sama dengan 1 jika dianggap sebagai produk dalam D8.

Jika kemudian kita membiarkan  N  menjadi subgrup dari  F  yang dihasilkan oleh semua konjugasi x−1Rx dari  R , maka berikut definisi bahwa setiap elemen  N  adalah produk hingga x1−1r1x1 ... xm−1rm xm of anggota konjugat tersebut. Oleh karena itu, setiap elemen  N , jika dianggap sebagai produk pada D8, juga akan mengevaluasi ke 1; dan dengan demikian  N  adalah subgrup normal dari  F . Jadi D 8  isomorfik ke grup hasil bagi . Kami kemudian mengatakan bahwa D 8  memiliki presentasi

Di sini himpunan generatornya }, dan himpunan relasinya adalah .  Kita sering melihat  R  disingkat, memberikan presentasi

Bentuk yang lebih pendek menghilangkan tanda-tanda kesetaraan dan identitas, untuk mendaftar hanya himpunan relator, yaitu .  Melakukan ini memberikan presentasi

Ketiga presentasi itu setara.

 Notasi 

Meskipun notasi   digunakan dalam artikel ini untuk presentasi sekarang yang paling umum, penulis sebelumnya menggunakan variasi yang berbeda pada format yang sama.  Notasi tersebut meliputi:

}

 Definisi 
Maka  S  menjadi satu set dan biarkan FS jadilah grup gratis di  S . Misalkan  R  menjadi satu himpunan kata-kata pada  S , jadi  R  secara alami memberikan subset dari . Untuk membentuk grup dengan presentasi , ambil hasil bagi dari  oleh subgrup normal terkecil yang berisi setiap elemen  R .  (Subgrup ini disebut penutupan normal  N  dari  R  di .)  Grup  kemudian ditentukan sebagai grup hasil bagi

Elemen  S  disebut generator dari  dan elemen  R  disebut relator. Grup  G  dikatakan memiliki presentasi  if G isomorfik menjadi .

Merupakan praktik umum untuk menulis relator dalam bentuk  di mana  x  dan  y  adalah kata-kata di  S . Artinya adalah itu . Ini memiliki arti intuitif bahwa gambar  x  dan  y  seharusnya sama dalam kelompok hasil bagi. Jadi, misalnya,  r n   dalam daftar relator sama dengan .

Untuk grup hingga  G , dimungkinkan untuk membuat presentasi  G  dari tabel perkalian grup, sebagai berikut. Ambil  S  sebagai elemen set  dari  G  dan  R  menjadi semua kata dalam bentuk , dimana  adalah entri dalam tabel perkalian.

 Definisi alternatif 
Definisi presentasi kelompok dapat disusun kembali dalam istilah kelas ekivalen dari kata-kata pada alfabet .  Dalam perspektif ini, kami mendeklarasikan dua kata menjadi setara jika memungkinkan untuk berpindah dari satu kata ke kata lain dengan serangkaian gerakan, di mana setiap gerakan terdiri dari menambah atau menghapus pasangan yang berurutan  or  untuk beberapa  di , atau dengan menambahkan atau menghapus salinan relator yang berurutan. Elemen grup adalah kelas kesetaraan, dan operasi grup adalah penggabungan.

Sudut pandang ini sangat umum di bidang teori grup kombinatorial.

 Grup disajikan dengan sempurna 
Presentasi dikatakan dihasilkan secara terbatas jika  S  terbatas dan terkait dengan batas jika  R  terbatas. Jika keduanya terbatas maka dikatakan sebagai presentasi yang terbatas. Sebuah grup dihasilkan secara tak terbatas (masing-masing terkait secara tak terbatas, ) jika itu memiliki presentasi yang dihasilkan secara terbatas (masing-masing terkait dengan halus, presentasi terbatas). Grup yang memiliki presentasi terbatas dengan satu relasi disebut grup relator satu.

 Grup yang disajikan secara rekursif 
Jika  S  diindeks oleh satu set  I  yang terdiri dari semua bilangan asli N atau subset yang terbatas dari mereka, maka mudah untuk mengatur pengkodean sederhana satu ke satu  dari grup bebas di  S  ke bilangan asli, sehingga kita dapat menemukan algoritma yang, diberikan  f ( w ), hitung  w , dan sebaliknya. Kami kemudian dapat memanggil subset  U  dari FS rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif) jika  f ( U ) adalah rekursif (masing-masing dapat dihitung secara rekursif). Jika  S  diindeks seperti di atas dan  R  dapat dihitung secara rekursif, maka penyajiannya adalah penyajian rekursif dan grup yang sesuai adalah disajikan secara rekursif. Penggunaan ini mungkin tampak aneh, tetapi dapat dibuktikan bahwa jika sebuah grup memiliki presentasi dengan  R  yang dapat dihitung secara rekursif, maka grup tersebut memiliki presentasi lain dengan  R  rekursif.

Setiap grup yang disajikan secara halus disajikan secara rekursif, tetapi ada grup yang disajikan secara rekursif yang tidak dapat disajikan secara halus.  Namun, teorema Graham Higman menyatakan bahwa grup yang dihasilkan tak terhingga memiliki presentasi rekursif jika dan hanya jika dapat disematkan dalam grup yang disajikan tak terhingga. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa ada (hingga isomorfisme) hanya terhitung banyak grup disajikan rekursif yang dihasilkan secara halus. Bernhard Neumann telah menunjukkan bahwa terdapat terhitung banyak dua kelompok generator non-isomorfik. Oleh karena itu, ada grup yang dibuat secara terbatas yang tidak dapat disajikan secara rekursif.

 Sejarah 
Salah satu presentasi paling awal dari grup oleh generator dan hubungan diberikan oleh ahli matematika Irlandia William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam kalkulus icosian presentasi dari grup Katedral.
Studi sistematis pertama diberikan oleh Walther von Dyck, siswa Felix Klein, pada awal 1880-an, meletakkan dasar untuk teori grup kombinatorial.

 Contoh 
Tabel berikut mencantumkan beberapa contoh presentasi untuk kelompok yang umum dipelajari. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus ada banyak presentasi lain yang memungkinkan. Presentasi yang terdaftar belum tentu yang paling efisien.
Grup  Presentasi  Komentar grup bebas pada  S    Grup bebas adalah "bebas" dalam arti tidak ada hubungan. Cn, grup siklik dengan urutan  n    Dn, grup dihedral ketertiban 2n  Di sini  r  mewakili rotasi dan  f  refleksi  D∞, grup hingga  Dicn, grup siklik  Grup hasil bagi Q 8  adalah kasus khusus ketika  n  = 2 Z × Z   Z/mZ × Z/nZ   grup abelian bebas 0ada S  di mana  R  adalah himpunan dari semua komutator elemen  S   Sn, grup simetris pada simbol  n  generators: relasi:
,
,

Kumpulan relasi terakhir dapat diubah menjadi 

using . Here σi adalah permutasi yang menukar elemen  ith dengan  i  + 1 satu. Produk σiσi+1 adalah 3-siklus pada himpunan {i, i+1, i+2}. Bn, grup Braid generator: 
relations:
, Perhatikan kesamaan dengan grup simetris; satu-satunya perbedaan adalah penghapusan relasi . , grup tetrahedral   , grup oktahedral   , kelompok ikosahedral   Q8, grup hasil bagi  Untuk presentasi alternatif lihat Dicn di atas dengan n = 2. SL(2, Z)   topologis  a  dan  b  dapat divisualisasikan sebagai Dehn twist pada torus GL(2, Z)  nontrivial Z/2Z – ekstensi grup pada SL(2, Z)  PSL(2, Z), grup modular  PSL(2, Z) adalah produk bebas dari grup siklik Z/2Z and Z/3Z grup Heisenberg    BS(m, n), Grup Baumslag–Solitar   grup Tits  [a, b] adalah komutator

Contoh grup yang dibuat secara terbatas yang disajikan tidak terbatas adalah produk karangan bunga  dari grup bilangan bulat dengan dirinya sendiri.

 Beberapa teorema 
Teorema. Setiap grio memiliki presentasi.

Untuk melihat ini, diberi grup  G , pertimbangkan grup bebas  F G   pada  G . Dengan sifat universal grup bebas, terdapat homomorfisme grup  yang batasannya untuk  G  adalah peta identitas. Misalkan  K  menjadi kernel dari homomorfisme ini. Kemudian  K  normal di FG, Oleh karena itu sama dengan penutupan normalnya, jadi . Karena peta identitas bersifat surjektif,  φ  juga bersifat surjektif, jadi menurut  Teorema Isomorfisme Pertama, . Presentasi ini mungkin sangat tidak efisien jika  G  dan  K  lebih besar dari yang diperlukan.

Korollari. Setiap grup terbatas memiliki presentasi yang terbatas.

Seseorang dapat mengambil elemen grup untuk generator dan tabel Cayley untuk relasi.

 Teorema Novikov – Boone 
Solusi negatif untuk masalah kata untuk grup menyatakan bahwa ada presentasi yang terbatas    di mana tidak ada algoritma yang, diberikan dua kata  u ,  v , memutuskan apakah  u  dan  v  mendeskripsikan elemen yang sama dalam grup. Hal ini ditunjukkan oleh Pyotr Novikov pada tahun 1955 dan bukti yang berbeda diperoleh oleh William Boone pada tahun 1958.

 Teori grup geometris 

Presentasi dari sebuah grup menentukan sebuah geometri, dalam pengertian teori grup geometri: satu memiliki grafik Cayley, yang memiliki metrik, yang disebut metrik kata. Ini juga dua order yang dihasilkan,  order lemah  dan  urutan Bruhat , dan diagram Hasse yang sesuai. Contoh penting ada di grup Coxeter.

Lebih lanjut, beberapa properti grafik ini (geometri kasar) bersifat intrinsik, yang berarti tidak bergantung pada pilihan generator.

 Lihat pula 
 Transformasi Nielsen
 Transformasi Tietze
 Presentasi modul
 Presentasi monoid

 Catatan 

 Referensi 
 ― Referensi yang berguna ini memiliki tabel presentasi dari semua kelompok terbatas kecil, kelompok refleksi, dan seterusnya.
 ― Metode Schreier, metode Nielsen, presentasi gratis, subkelompok dan ekstensi HNN, Teorema Golod–Shafarevich, dll.
 ― algoritma dasar dari ilmu komputer teoretis, teori bilangan komputasi, dan aljabar komutatif komputasi, dll.

 Pranala luar 

Small groups and their presentations on GroupNames

Kategori:Teori gruo kombinatorial
Kategori:Kombinatorik pada kata-kata