Unsur identitas

Dalam matematika, unsur identitas (), atau unsur netral () dari operasi biner yang mengoperasi di himpunan adalah unsur hmpunan yang meninggalkan setiap elemen dari himpunan yang tidak berubah saat diterapkan dengannya. Konsep ini digunakan dalam struktur aljabar seperti grup dan gelanggang. Istilah unsur identitas sering disingkat menjadi identitas (seperti pada kasus identitas penambahan dan identitas perkalian), ketika tidak ada kemungkinan yang membingungkan, tetapi secara implisit, identitas bergantung pada operasi biner yang terkait dengannya.

 Definisi 
Misalkan  adalah himpunan  yang dilengkapi dengan operasi biner ∗. Maka unsur dari disebut identitas kiri jika untuk semua di, dan unsur dari disebut identitas kanan jikauntuk semua di. Jika adalah identitas kiri dan juga identitas kanan, maka disebut identitas dwipihak (), atau cukup disebut identitas.

Identitas terhadap penjumlahan disebut identitas aditif (sering kali dilambangkan sebagai 0) dan identitas terhadap perkalian disebut identitas perkalian (sering kali dilambangkan sebagai 1). Kedua identitas tersebut tidak harus berupa penjumlahan dan perkalian biasa, karena operasi yang mendasarinya dapat menjadi agak sembarangan. Pada kasus, sebagai contoh, di grup, unsur identitas terkadang dilambangkan dengan simbol . Perbedaan antara identitas aditif dan perkalian paling sering digunakan untuk himpunan yang mendukung kedua operasi biner, seperti gelanggang, domain integral, and lapangan. Identitas multiplikatif sering disebut kesatuan dalam konteks terakhir (gelanggang dengan persatuan). Hal ini tidak boleh disamakan dengan unit dalam teori gelanggang, yang merupakan setiap unsur yang memiliki invers perkalian. Karena menurut definisinya sendiri, kesatuannya tersendiri merupakan satu kesatuan.

 Contoh 
 Himpunan  Operasi  Identitas Bilangan real  + (penambahan)  0 Bilangan real  · (perkalian)  1 Bilangan bulat positif  kelipatan persekutuan terkecil  1 Bilangan bulat taknegatif faktor persekutuan terbesar 0 (terhadap sebagian besar definisi faktor persekutuan terbesar) Matriks  penambahan matriks Matriks persegi  perkalian matriks In (matriks identitas) Matriks  ○ (hasil kali Hadamard)  (matriks satuan) Semua fungsi dari himpunan,, ke dirinya.  ∘ (komposisi fungsi)  fungsi identitas Semua distribusi di grup,  ∗ (konvolusi)   (Dirac delta) Bilangan real diperluas Minimum/infimum  +∞ Bilangan real diperluas  Maksimum/supremum  −∞ Subhimpunan dari himpunan   ∩ (irisan)   Himpunan  ∪ (union)  ∅ (himpunan kosong) String, daftar Konkatenansi string kosong, daftar kosong Aljabar Boole ∧ (logika dan)  ⊤ (kebenaran) Aljabar Boole  ∨ (logika atau)  ⊥ (kepalsuan) Aljabar Boole  ⊕ (disjungsi eksklusif)  ⊥ (kepalsuan) Buhul jumlah buhul takbuhul Permukaan kompak # (jumlah terhubung)  S2 Grup darab langsung grup trivial Dua anggota ∗ didefinisikan dengan  dan    dan  adalah identitas kiri. Namun pada operasi tersebut, tidak ada identitas kanan dan tidak ada identitas dwipihak. Relasi homogen di himpunan  darab relatif relasi identitas

 Properti 
Pada contoh , dengan persamaan yang dinyatakan (lihat tabel sebelumnya),  merupakan semigrup. Contoh tersebut memperlihatkan kemungkinan untuk yang mempunyai beberapa identitas kiri. Bahkan, setiap elemen bisa dapat identitas kiri. Dengan cara yang sama, kemungkinan untuk yang juga mempunyai beberapa identitas kanan. Namun, jika ada identitas kanan dan identitas kiri, maka kedua identitas tersebut harus ekuivalen, yang menghasilkan identitas dwipihak.

Untuk memperlihatkannya, perhatikan bahwa jika adalah identitas kiri dan adalah identitas kanan, maka . Secara khusus, persamaan tersebut tidak akan pernah ada lebih dari satu identitas dwipihak: jika ada dua unsur, katakanlah dan , maka  harus sama dengan dan .

Hal ini mungkin juga tidak mempunyai elemen identitas, seperti kasus bilangan bulat genap terhadap operasi perkalian. Contoh umum lainnya adalah perkalian silang dari vektor, dengan ketiadaan elemen identitas terkait dengan fakta bahwa arah dari setiap perkalian silang taknol selalu ortogonal terhadap setiap unsur yang dikalikan. Artinya, perkalian tersebut tidak dapat memperoleh vektor taknol searah dengan aslinya. Namun, contoh lain dari grup tanpa unsur identitas melibatkan semigrup aditif dari bilangan asli positif.

 Catatan dan referensi 

 Daftar pustaka 





 Bacaan lebih lanjut 
 M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, , p. 14–15

Kategori:Aljabar abstrak
Kategori:Aljabar
 *Elemen identitas
Kategori:1 (angka)