Kokernel

Dalam matematika, kokernel pada pemetaan linear dari ruang vektor f : X → Y adalah ruang hasil bagi  dari kodomain dari  f  dengan gambar  f . Dimensi dari kokernel disebut  corank  dari  f .

Kokernel ganda ke kernel teori kategori, maka namanya: kernel adalah subobjek dari domain (memetakan ke domain), sedangkan cokernel adalah objek hasil bagi dari kodomain (dipetakan dari kodomain).

Secara intuitif, diberi persamaan f(x) = y yang ingin dipecahkan,
cokernel mengukur batasan yang harus dipenuhi oleh y agar persamaan ini memiliki solusi sebagai penghalang solusi, sementara kernel mengukur derajat kebebasan dalam solusi, jika ada. Ini diuraikan dalam intuisi, di bawah.

 Definisi formal 
Seseorang dapat mendefinisikan cokernel dalam kerangka umum teori kategori. Agar definisi masuk akal, kategori yang dipermasalahkan harus memiliki morfisme nol. Kokernel dari sebuah morphism f : X → Y didefinisikan sebagai penggabung dari f dan morfisme nol 0XY : X → Y.

Secara eksplisit, ini berarti sebagai berikut. Cokernel dari f : X → Y adalah objek Q bersama dengan morfisme q : Y → Q seperti diagram

Gambar:Cokernel-01.svg

komutatif. Selain itu, morfisme q harus universal untuk diagram ini, yaitu q′: Y → Q′ dapat diperoleh dengan menyusun q dengan morfisme yang unik u : Q → Q′:

Gambar:Cokernel-02.svg

Seperti semua konstruksi universal, cokernel, jika ada, adalah hingga unik isomorfisme, atau lebih tepatnya: if q : Y → Q and q' : Y → Q' adalah dua kokernel dari f : X → Y, lalu ada isomorfisme yang unik u : Q → Q' dengan q = u q.

Seperti semua pengimbang, kokernel q : Y → Q tentu saja merupakan epimorfisme. Sebaliknya, epimorfisme disebut   normal  (atau  conormal ) jika itu adalah cokernel dari beberapa morfisme. Sebuah kategori disebut  konormal  jika setiap epimorfisme normal (misalnya kategori grup normal).

 Intuisi 
Cokernel dapat dianggap sebagai ruang  batasan  yang harus dipenuhi oleh persamaan, sebagai ruang  penghalang,  seperti  kernel adalah ruang  solusi .

Secara formal, seseorang dapat menghubungkan kernel dan cokernel dari sebuah peta  T:  V →  W oleh urutan persis

Ini dapat diartikan sebagai: diberi persamaan linear  menyelesaikan,
 kernel adalah ruang dari  solusi  persamaan  homogen  , dan dimensinya adalah jumlah  derajat kebebasan  dalam suatu solusi, jika ada;
 Kokernel adalah ruang  kendala  yang harus dipenuhi jika persamaan tersebut memiliki solusi, dan dimensinya adalah jumlah kendala yang harus dipenuhi agar persamaan memiliki solusi.

Dimensi cokernel ditambah dengan dimensi gambar (peringkat) ditambahkan ke dimensi ruang target, sebagai dimensi ruang hasil bagi  hanyalah dimensi ruang  minus  dimensi gambar.

 Referensi 
Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1998, p. 64
Emily Riehl: Category Theory in Context, Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.

Kategori:Aljabar abstrak
Kategori:Teori kategori
Kategori:Teorema Isomorfisme