Subgrup

Dalam teori grup, subhimpunan dari suatu grup  adalah subgrup dari  jika anggota dari subhimpunan tersebut membentuk suatu grup terhadap operasi yang sama di grup 

Diberikan suatu grup  di bawah operasi biner . Maka suatu himpunan bagian  dari  disebut subgrup dari  jika  juga membentuk grup di bawah operasi . Lebih tepatnya,  adalah subgrup dari  jika restriksi dari  ke  adalah operasi grup di . Biasanya ini dilambangkan , dibaca sebagai " adalah subgrup dari ".

Subgrup trivial dari setiap grup adalah subgrup yang hanya mengandung elemen identitas .

 Pengujian 
Misalkan  adalah grup, dan  adalah subgrup dari .  Untuk saat ini, asumsi bahwa operasi grup  ditulis dalam notasi bentuk perkalian, yakni jukstaposisi.

 Maka  adalah subgrup dari  jika dan hanya jika  adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah perkalian dan invers. Maksud dari "tertutup di bawah perkalian" disini adalah untuk setiap elemen  dan  di , hasil kali  ada di . "Tertutup di bawah invers" berarti untuk setiap elemen  di , inversnya  ada di . Dengan menggabungkan dua persyaratan tersebut, maka untuk setiap elemen  dan  di , elemen  berada di . Alangkah lebih mudahnya untuk menguji masing-masing kedua persyaratan ketertutupan tersebut.
 Ketika  adalah himpunan tertinggi, pengujiannya dapat disederhanakan sebagai berikut:  adalah subgrup jika dan hanya jika  adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah operasi perkalian. Persyaratan tersebut sendiri menyiratkan bahwa untuk setiap elemen  dari  menghasilkan subgrup siklik terhingga dari , katakanlah orde , dan kemudian invers dari  adalah .

Jika operasi grup dilambangkan sebagai operasi penambahan, maka "ketertutupan di bawah hasil kali" baiknya digantikkan dengan "ketertutupan di bawah penambahan", yang mensyaratkan bahwa untuk setiap elemen  dan  di , penjumlahan  berada di dalam , dan "tertutup di bawah invers" digantikan dengan menyatakan, untuk setiap  di , inversnya  ada di .

 Koset dan teorema Lagrange 

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH  diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri  H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a1 ~ a2 jika dan hanya jika a1−1a2 ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H, 

di mana |G| dan  |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari  |G|.Melihat sebuah didactic proof in this video.

 Contoh: Subgrup Z8
Maka G jadikan grup siklik ke Z8 maka hasil elemen

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah
 + 0 2 4 6 1 3 5 7 0 0  2  4  6  1  3  5  7 2 2  4  6  0  3  5  7  1 4 4  6  0  2  5  7  1  3 6 6  0  2  4  7  1  3  5 1 1  3  5  7  2  4  6  0 3 3  5  7  1  4  6  0  2 5 5  7  1  3  6  0  2  4 7 7  1  3  5  0  2  4  6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, di mana J juga merupakan subgrup dari H.  Tabel Cayley untuk  H  adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk  G . Grup  G  adalah siklik, dan juga subgrupnya.

 Contoh: Subgrup S4 (grup simetris pada 4 elemen) 

Setiap grup memiliki subgrup kecil sebanyak elemen netral pada diagonal utama:

The trivial group and two-element groups Z2. These small subgroups are not counted in the following list.

12 elements

8 elements

6 elements

4 elements


3 elements

 Lihat pula 
 Subgrup Cartan
 Subgrup pas
 Subgrup stabil
 Subgrup titik tetap
 Tes subgrup

 Catatan 

 Referensi 



Kategori:Group theory
Kategori:Subgroup properties