Konstanta Apéry

Dalam matematika, konstanta Apéry adalah jumlah dari invers perkalian denagan pangkat kubik positif. Artinya, konstanta Apéry didefinisikan sebagai bilangandengan  adalah fungsi zeta Riemann. Bilangan ini memiliki nilai yang kira-kira sama dengan

 .

Konstanta Apéry dinamai dari Roger Apéry. Konstanta ini biasanya ditemukan dalam sejumlah masalah fisik, di antaranya dalam suku orde kedua dan ketiga rasio gyromagnetic elektron dengan menggunakan elektrodinamika kuantum. Konstanta ini juga ditemukan dalam analisis pohon rentang minimum acak,Lihat . serta mempunyai hubungan dengan fungsi gamma ketika menyelesaikan integral tertentu yang melibatkan fungsi eksponensial dalam hasil bagi, yang kadangkala ditemukan dalam fisika, sebagai contoh, ketika mengevaluasi kasus dimensi dua dari model Debye dan hukum Stefan–Boltzmann.

 Bilangan irasional 
 disebut sebagai konstanta Apéry, konstanta yang dinamai dari matematikawan berkebangsaan Prancis, Roger Apéry. Roger Apéry membuktikan bahwa konstanta itu adalah bilangan irasional pada tahun 1978.Lihat . Hasil tersebut dikenal sebagai teorema Apéry. Bukti aslinya rumit dan sulit dipahami,Lihat . tetapi kemudian ditemukan bukti yang lebih sederhana.; .

Bukti irasionalitas Beuker yang disederhanakan melibatkan pendekatan integran dari integral rangkap tiga untuk , 
dengan menggunakan polinomial Legendre. Secara khusus, artikel van der Poorten menulis pendekatan ini dengan menyatakan bahwa 

dengan ,  adalah polinomial Legendre, dan suburutan  adalah bilangan bulat atau hampir bilangan bulat. Akan tetapi, masalah yang menanyakan apakah konstanta Apéry adalah transendental masih belum terpecahkan.

 Representasi deret 

 Klasik 
Selain mempunyai deretLeonhard Euler memberikan representasi deretpada tahun 1772, yang kemudian ditemukan kembali berulang kali. 
 Konvergensi cepat 
Sejak pada abad ke-19, sejumlah matematikawwan telah menemukan deret percepatan konvergensi untuk menghitung letak desimal . Sejak pada tahun 1990-an, terdapat riset yang bertujuan untuk mencari deret yang efisien secara komputasional dengan tingkat konvergensi yang cepat (lihat bagian "Digit yang diketahui").

Representasi deret berikut ditemukan oleh Andrey Markov pada tahun 1890,Lihat . kemudian ditemukan kembali oleh Hjortnaes pada tahun 1953,Lihat . dan sekali lagi, representasi deret tersebut ditemukan kembali dan diperkenalkan secara luas oleh Apéry pada tahun 1979:Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan pada tahun 1996, yang memberikan (secara asimtotik) 1,43 dengan pembulatan letak desimal terbaru per suku:

Representasi deret berikut ditemukan oleh Amdeberhan dan Zeilberger pada tahun 1997, yang memberikan (secara asimtotik) 3,01 dengan pembulatan letak desimal dengan terbaru per suku:

Representasi deret berikut ditemukan oleh Sebastian Wedeniwski pada tahun 1998, yang memberikan (secara asimtotik) 5,04 dengan pembulatan letak desimal yang baru per suku:Lihat  dan . Dalam pesannya kepada Simon Plouffe, Sebastian Wedeniwski mengatakan bahwa ia mendapatkan rumus ini dari . Penemuannya pada tahun 1998 disebutkan dalam Simon Plouffe's Table of Records (8 April 2001).Representasi deret ini digunakan oleh Wedeniwski untuk menghitung konstanta Apéry dengan jutaan pembulatan letak desimal.; .

Representasi deret berikut ditemukan oleh Mohamud Mohammed pada tahun 2005, yang memberikan (secara asimtotik) 3,92 dengan pembulatan letak desimal desimal terbaru per suku:Lihat .

 Perhitungan menggunakan digit 
Pada tahun 1998, Broadhurst memberikan representasi deret yang memungkinkan menghitung digit biner sembarang, dan untuk konstanta yang akan diperoleh dalam waktu linier dekat, dan ruang logaritma.Lihat .

 Representasi deret lainnya 
Representasi deret berikut ditemukan oleh Ramanujan:Lihat .

Representasi deret berikut ditemukan oleh Simon Plouffe pada tahun 1998:Lihat .

 mengumpulkan banyak deret yang konvergen menuju ke konstanta Apéry.

 Representasi integral 
Ada banyak representasi integral untuk konstanta Apéry. Ada representasi integral yang sederhana, adapula yang tidak.

 Rumus yang lebih rumit 
Terdapat rumus lain, yaitudan

Rumus yang lebih rumit lainnya juga adalah:Terdapat sebuah kaitan dengan turunan dari fungsi gammadan rumus tersebut juga sangat berguna untuk menghitung turunan dari berbagai representasi integral dengan menggunakan rumus integral yang diketahui untuk gamma dan fungsi poligamma.
 Digit yang diketahui 
Selama beberapa dekade terakhir, jumlah digit yang diketahui dari konstanta Apéry  semakin banyak. Hal ini disebabkan karena peningkatan kinerja komputer dan algoritme yang berkembang.

+ Jumlah digit desimal yang diketahui dari konstanta Apéry  Tanggal  Angka desimal  Perhitungan dilakukan oleh 1735  16  Leonhard Euler tak diketahui  16  Adrien-Marie Legendre 1887  32  Thomas Joannes Stieltjes 1996    Greg J. Fee & Simon Plouffe 1997    Bruno Haible & Thomas Papanikolaou Mei 1997    Patrick Demichel Februari 1998    Sebastian Wedeniwski Maret 1998    Sebastian Wedeniwski Juli 1998    Sebastian Wedeniwski Desember 1998    Sebastian Wedeniwski September 2001    Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Februari 2002    Shigeru Kondo & Xavier Gourdon Februari 2003    Patrick Demichel & Xavier GourdonLihat . April 2006    Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 21 Januari 2009    Alexander J. Yee & Raymond ChanLihat . 15 Februari 2009    Alexander J. Yee & Raymond Chan 17 September 2010    Alexander J. YeeLihat . 23 September 2013    Robert J. Setti 7 Agustus 2015    Ron Watkins 21 Desember 2015    Dipanjan NagLihat . 13 Agustus 2017    Ron Watkins 26 Mei 2019    Ian Cutress 26 Juli 2020    Seungmin Kim

 Lihat pula 
Fungsi zeta Riemann
Masalah Basel — 
Daftar jumlah timbal balik

 Catatan 

 Referensi 

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 (Message to Simon Plouffe, with all decimal places but a shorter text edited by Simon Plouffe).
 (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).
.

.
.

 Kredit 

Kategori:Konstanta matematika
Kategori:Teori bilangan analitik
Kategori:Bilangan irasional
Kategori:Fungsi zeta dan fungsi-L