Kaidah pangkat

Dalam kalkulus, kaidah pangkat (atau aturan pangkat) digunakan untuk memperoleh turunan dari fungsi pangkat , dengan  adalah suatu bilangan riil. Karena turunan merupakan suatu operator linier pada fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, turunan dari fungsi suku banyak juga dapat diperoleh melalui kaidah ini. Kaidah pangkat juga mendasari deret Taylor karena menghubungkan deret pangkat dengan turunan suatu fungsi.

 Isi pernyataan 
Misalkan  adalah sebuah fungsi dengan bentuk  untuk setiap , dengan . Maka, kaidah pangkat untuk turunan menyatakan bahwa turunan dari  adalahSelain itu, kaidah pangkat untuk integral menyatakan bahwa
untuk sembarang bilangan riil , dan  adalah konstanta sembarang. Kaidah pangkat untuk integral tersebut diperoleh dengan membalik kaidah pangkat untuk turunan.

 Bukti 
 Bukti untuk pangkat bilangan riil 
Sebelum memulai pembuktian, terlebih dahulu dipilih definisi dari nilai , dengan  adalah bilangan riil. Meskipun bisa saja untuk mendefinisikan perpangkatan bilangan irasional sebagai limit barisan dari perpangkatan bilangan rasional, atau sebagai batas atas terkecil dari himpunan perpangkatan bilangan rasional kurang dari pangkat yang diberikan, definisi ini tidak dapat diterapkan pada turunan. Oleh karena itu, akan digunakan definisi fungsional, yaitu dengan menulis ulang fungsi  sebagai fungsi eksponensial alami

untuk setiap nilai , dengan  adalah bilangan Euler.

Pertama, akan ditunjukkan bahwa turunan dari fungsi  adalah . Misalkan , maka , dengan  adalah fungsi logaritma alami, fungsi invers dari fungsi eksponensial. Oleh karena kedua fungsi di atas bernilai sama untuk setiap , maka turunannya juga bernilai sama, jika salah satu turunannya ada. Dengan menurunkan kedua ruas menggunakan kaidah rantai, diperoleh

yang menunjukkan bahwa . Dengan menerapkan kaidah rantai ke fungsi , maka

Saat , maka . Akibatnya,

yang akan mengarah pada hasil yang sama. Perhatikan bahwa faktor  di atas tidak memiliki definisi konvensional saat , sebab fungsi perpangkatan bilangan irasional tidak memiliki nilai yang tunggal untuk basis negatif. Selain itu, dikarenakan perpangkatan  dengan bilangan rasional berpenyebut genap (dalam bentuk paling sederhana) tidak bernilai riil, maka ekspresi ini hanya bernilai riil untuk pangkat rasional dengan penyebut ganjil (dalam bentuk paling sederhana).

Terakhir, untuk setiap fungsi yang memiliki turunan di , maka menurut definisi turunan dengan menggunakan limit, nilainya adalah

Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan bernilai 0 hanya jika  dan  adalah bilangan rasional dengan penyebut ganjil (dalam suku terendah), dan bernilai 1 saat . Untuk semua nilai  yang lain, ekspresi  tidak memiliki nilai yang tunggal untuk  (seperti yang dibahas di atas), atau nilainya bukan bilangan riil, sehingga nilai limitnya tidak ada (sebagai turunan bernilai riil). Untuk dua kasus yang nilai turunannya ada, nilainya sesuai dengan nilai kaidah pangkat yang diterapkan pada titik , sehingga tidak perlu dibuat pengecualian.

kasus saat  (yaitu ekspresi ) biasa diabaikan, lantaran fungsi  tidak memiliki limit pada , sebab
 , sedangkan

Oleh karena nilai limitnya berbeda, maka sering kali ekspresi  nilainya tidak ada.

 Bukti untuk pangkat bilangan bulat tak nol 
 Pembuktian melalui induksi (bilangan asli) 
Misalkan  adalah suatu bilangan asli. Akan dibuktikan bahwa  dengan menggunakan induksi.

Saat , maka

sehingga kasus dasar telah terbukti.

Misalkan persamaan  berlaku untuk suatu bilangan asli . Dengan kata lain, berlaku

Saat , maka dengan menggunakan kaidah darab, diperoleh

Dengan prinsip induksi matematika, maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli .

 Pembuktian menggunakan teorema binomial (bilangan asli) 
Misalkan , dengan . Menurut teorema binomial,

dengan  adalah bilangan asli yang disebut sebagai koefisien binomial, dengan definisi

Dengan menggunakan informasi di atas, diperoleh

 Perumuman untuk pangkat bilangan bulat negatif 
Pertama, akan dibuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk . Perhatikan bahwa

sehingga terbukti bahwa kaidah pangkat berlaku saat nilai .

Diambil sembarang bilangan bulat negatif . Jika didefinisikan , maka  adalah bilangan asli. Dengan Menggunakan aturan timbal-balik, diperoleh

sehingga dapat disimpulkan bahwa untuk setiap , maka berlaku 

 Perumuman untuk pangkat bilangan rasional 
Setelah membuktikan bahwa kaidah pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat, aturan tersebut dapat diperumum untuk pangkat bilangan rasional.
 Pembuktian melalui kaidah rantai 
Pembuktian ini terdiri dari dua tahapan yang melibatkan kaidah rantai
 Diambil sembarang , serta didefinisikan  dan misalkan . Dari sini, diperoleh  sehingga, aturan rantai dapat diterapkan pada perpangkatan dengan bentuk umum , dengan . Hal ini dapat diperumum untuk perpangkatan rasional dalam bentuk  dengan cara yang kurang lebih serupa, seperti pada langkah selanjutnya.
 Diambil sembarang  dan , serta didefinisikan  (yang mengakibatkan ) dan misalkan . Dari sini, diperoleh  Akibatnya, jika  adalah suatu bilangan rasional, maka berlaku 

 Pembuktian menggunakan turunan implisit 
Metode pendiferensialan implisit juga dapat digunakan untuk memperumum kaidah pangkat untuk bilangan rasional. Diambil sembarang  dan , serta didefinisikan  (yang mengakibatkan ) dan misalkan . Dari sini, diperoleh  sehingga terbukti bahwa  apabila .

 Sejarah 
Kaidah pangkat untuk integral pertama kali ditunjukkan secara geometris oleh matematikawan Italia Bonaventura Cavalieri pada awal abad ke-17 untuk setiap bilangan asli , dan untuk setiap pangkat bilangan rasional oleh matematikawan Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli, Gilles de Roberval, John Wallis, dan Blaise Pascal, masing-masing bekerja secara independen. Pada saat itu, kaidah pangkat adalah cara untuk menentukan luas antara grafik fungsi pangkat rasional dengan sumbu horizontal. Namun, setelah ditelusuri, kaidah ini dianggap sebagai teorema kalkulus yang pertama kali ditemukan. Kaidah pangkat untuk pendiferensialan pertama kali diturunkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz, masing-masing secara independen, untuk fungsi pangkat rasional pada pertengahan abad ke-17, di mana keduanya menggunakan aturan tersebut untuk menurunkan kaidah pangkat untuk integral sebagai operasi invers. Hal ini mencerminkan cara konvensional dalam menyajikan teorema terkait pada buku teks kalkulus dasar modern, di mana kaidah pendiferensialan biasanya diajarkan terlebih dahulu ssebelum kaidah integral.

Walaupun keduanya menyatakan bahwa aturan ini, ditunjukkan hanya untuk pangkat bernilai rasional, berlaku untuk setiap pangkat bernilai riil, keduanya tidak mencari bukti dari pernyataan tersebut, sebab pada waktu itu, penerapan dari teori tidak khawatir dengan fungsi pangkat eksotis, dan pertanyaan mengenai konvergensi dari deret tak hingga masih ambigu.

Kasus di mana  berhasil diselesaikan oleh Flemish Jesuit dan matematikawan Grégoire de Saint-Vincent beserta muridnya Alphonse Antonio de Sarasa pada pertengahan abad ke-17, yang menunjukkan bahwa integral tak tentu

yang merepresentasikan luasan di antara grafik hiperbola  dan sumbu-, adalah fungsi logaritma, yang basisnya adalah Bilangan transenden e. Notasi modern dari nilai integral tak tentu ini adalah , logaritma alami.

 Lihat juga 
 Kaidah pendiferensialan
 Kaidah umum Leibniz
 Kaidah fungsi invers
 Kelinearan pendiferensialan
 Kaidah darab
 Kaidah hasil-bagi
 Identitas kalkulus vektor

 Referensi 

 Catatan 

 Sitasi 

 Bacaan lanjutan 
  Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. .

Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Kaidah pendiferensialan
Kategori:Identitas matematika
Kategori:Teorema dalam analisis
Kategori:Teorema dalam kalkulus