Minor (aljabar linear)

Dalam aljabar linear, minor dari matriks  adalah determinan dari beberapa matriks persegi kecil, yang dibentuk dengan menghapus satu atau lebih baris-dan-kolom matriks . Minor yang diperoleh dengan hanya menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks persegi (disebut dengan minor pertama) diperlukan untuk menghitung matriks kofaktor, yang pada gilirannya berguna untuk menghitung determinan dan invers dari matriks persegi.

 Definisi 

 Minor pertama 
Jika  adalah sebuah matriks persegi, maka minor dari entri baris ke- dan kolom ke- matriks tersebut, adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-. Determinan ini juga disebut dengan minor , atau minor pertamaBurnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.. Bilangan ini sering kali dilambangkan . Bilangan lain yang disebut kofaktor , diperoleh dengan mengalikan minor tersebut oleh .

Untuk mengilustrasikan definisi-definisi tersebut, tinjau matriks  berikut,Minor  didapatkan dari menghitung determinan dari matriks yang baris ke-2 dan kolom ke-3-nya telah dihapus:dan kofaktor  adalah

 Definisi umum 
Misalkan  adalah matriks berukuran  dan  adalah bilangan bulat dengan , dan . Minor  dari  adalah determinan dari suatu matriks berukuran  yang diperoleh dengan menghapus  baris dan  kolom dari . Determinan ini juga disebut sebagai determinan minor orde- dari , atau ketika , disebut dengan determinan minor ke- dari .Kata "determinan" seringkali dihilangkan, dan kata "derajat" terkadang digunakan sebagai pengganti "orde". Untuk matriks  tersebut, terdapat sebanyak  minor berukuran . Minor orde-nol sering didefinisikan bernilai . Pada kasus matriks persegi, minor ke-nol sama saja dengan determinan dari matriks.Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, 

Misalkan  dan  adalah barisan dari indeks,Dengan urutan alami, asumsi yang umum digunakan ketika berbicara tentang minor, kecuali dinyatakan lain. sebut mereka masing-masing sebagai  dan . Terdapat beberapa notasi untuk menyebut minoryang berkorespondensi dengan pilihan-pilihan indeks ini. Tergantung pada sumber yang digunakan, notasi untuk minor dapat berupa ,  , , , atau  (dengan  melambangkan barisan indeks , dst.). Lebih lanjut, terdapat dua gaya notasi digunakan dalam literaturː beberapa penulisLinear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013,  menganggap minor dengan indeks  dan , merujuk pada determinan dari submatriks sesuai definisi di atas, yang anggota-anggotanya berasal dari matriks asli, dengan indeks barisnya ada di  dan indeks kolomnya ada di . Sedangkan beberapa penulis lainnya, merujuk pada submatriks yang dihasilkan dari menghapus baris-baris di  dan menghapus kolom-kolom di . Pilihan notasi yang digunakan perlu dipastikan dari sumber yang digunakan. Pengecualian untuk kedua gaya notasi yang berbeda ini adalah kasus minor-; definisitelah menjadi standar dimanapun, dan dipakai dalam artikel ini.

 Penerapan minor dan kofaktor 
 Ekspansi kofaktor dari determinan 

Konsep kofaktor sangat berperan dalam rumus ekspansi Laplace, yakni suatu metode untuk menghitung determinan matriks berukuran besar menggunakan determinan matriks-matriks yang berukuran lebih kecil. Untuk sebarang matriks  berukuran , determinan  yang dilambangkan dengan , dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari perkalian kofaktor-kofaktor setiap baris (maupun setiap kolom) matriks dengan entri-entri matriks yang menghasilkan kofaktor-kofaktor tersebut. Secara lebih matematis, dengan menuliskan , ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- dapat dituliskan sebagaiEkspansi kofaktor sepanjang kolom ke- dapat dituliskan

 Invers dari matriks 

Invers dari matriks terbalikkan dapat dihitung dari kofaktor-kofaktornya dengan menggunakan aturan Cramer, seperti berikut. Misalkan  adalah matriks yang dibentuk oleh semua dari kofaktor-kofaktor dari sebuah matriks persegi . Matriks ini disebut matriks kofaktor memiliki bentuk matematisInvers dari  selanjutnya dapat dinyatakan sebagai transpos dari matriks kofaktor dikali kebalikan dari determinan ːTranspos dari matriks kofaktor juga dikenal sebagai matriks adjoin dari .

Rumus di atas dapat diperumum sebagai berikut. Misalkan  adalah sebarang matriks persegi , dan  dan  adalah barisan (dengan urutan menaik) dari indeks-indeks . Berlaku hubungan



dengan  dan  melambangkan barisan urutan dari indeks (juga dengan urutan menaik), yang komplementer dengan , . Artinya setiap indeks  muncul tepat sekali di salah satu  atau , tapi tidak di keduanya (demikian pula untuk  dan ). Simbol  melambangkan determinan dari submatriks  dibentuk dengan memilih baris dari himpunan indeks  dan kolom dari himpunan indeks ; secara matematis,

 Penerapan lainnya 
Untuk sebarang matriks  dengan entri bilangan riil (atau entri dari sebarang lapangan lainnya) dan rank , terdapat setidaknya satu minor  yang tak-nol, sedangkan semua minor-minor yang lebih besar bernilai nol.

Kita akan menggunakan notasi berikut untuk minor. Misalkan  adalah matriks berukuran ,  adalah subset dari  dengan  anggota, dan  adalah subset dari  dengan  anggota. Notasi  untuk minor  dari , dihasilkan dari mengambil elemen-elemen matriks , yang indeks barisnya ada di  dan indeks kolomnya ada di .

 Jika , maka  disebut minor utama (principal minor).
 Jika matriks yang berkorespodensi dengan minor utama adalah submatriks yang terletak di bagian atas-kiri dari matriks yang besar (artinya, matriks tersebut beranggotakan elemen yang baris-dan-kolomnya memiliki indeks dari  hingga ), maka minor utama disebut minor utama terdepan (leading principal minor). Untuk matriks persegi , ada sebanyak  minor utama terdepan.
 Untuk matriks Hermite, minor utama terdepan dapat digunakan untuk menguji sifat ketentuan positif (positive definiteness) dan minor utama dapat digunakan untuk menguji sifat kesemitentuan positif (semidefiniteness positive). Lihat kriteria Sylvester untuk detail lebih lanjut.

Baik rumus untuk perkalian matriks biasa maupun rumus Cauchy–Binet untuk determinan dari perkalian dua matriks, adalah kasus khusus dari pernyataan umum berikut terkait minor-minor dari perkalian dua matriks. Misalkan  adalah matriks ukuran ,  adalah matriks ukuran ,  adalah subset dari  dengan  anggota, dan  adalah subset dari  dengan  anggota. Terdapat hubungandengan penjumlahan dilakukan atas semua subset  yang mungkin dari himpunan  dengan  anggota. Rumus ini merupakan sebuah perumuman langsung dari rumus Cauchy–Binet.
 Lihat pula 

 Submatriks

 Catatan kaki 

 Referensi 

 Pranala luar 

 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
 PlanetMath entry of Cofactors 
 Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

Kategori:Teori matriks
Kategori:Faktor penentu