Akar bilangan

mini|Representasi grafis dari fungsi akar kuadrat 
mini|Dalam kotak log-log akar ke- menjadi garis lurus.
Dalam matematika, akar pangkat n dari bilangan x adalah suatu bilangan yang apabila dipangkatkan n hasilnya sama dengan x; yaitu suatu bilangan r sedemikian sehingga  terpenuhi.

Dengan lambang, akar pangkat n dari x sama dengan r dapat ditulis sebagaiDalam hal ini,  disebut lambang akar, n disebut pangkat akar dan x disebut radikan.

Pangkat akar merupakan bilangan bulat positif. Akar pangkat 2 biasa disebut akar kuadrat atau akar saja, dan angka pangkat tidak ditulis pada lambang akar .

Radikan, yakni yang diakarkan, biasanya merupakan suatu bilangan, baik bilangan riil atau bilangan kompleks, maupun sesuatu yang dapat dianggap sebagai bilangan, seperti matriks.

Sebagai contoh, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 3 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3) = 9.

Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki  akar ke- yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke- dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif , setelah . Khususnya, jika  genap dan  adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika ) bilangan kompleks non-real; jika  genap dan  adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke- yang merupakan real. Jika  ganjil dan  real, satu akar  adalah real dan bertanda sama sebagai , sedangkan akar lainnya () bukanlah real. Akhirnya, jika  bukanlah real, maka tidak ada akar ke- yang merupakan real.

dengan  menunjukkan akar kuadrat positif dari  jika  adalah positif; untuk akar tinggi,  menunjukkan akar ke- yang sebenarnya jika  adalah ganjil, dan akar pangkat n positif jika  adalah genap dan  adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu.

Ketika kompleks akar ke- dipertimbangkan, sering kali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke- utama dari  sebagai akar ke-, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk  real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke- sebagai fungsi real dan positif untuk  real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai  real dan negatif.

Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke- utama yang bukan asli. Misalnya,  memiliki tiga akar pangkat tiga, ,  dan  Akar pangkat tiga sebenarnya adalah  dan akar pangkat tiga utama adalah 

Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd atau "radikal". Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar.

Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, di mana eksponen adalah pecahan:

Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke- dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.

Definisi dan notasi

Sebarang bilangan  yang apabila dipangkatkan  ( bilangan bulat besar dari 1) bernilai sama dengan , ditulis , disebut akar pangkat  dari , dan dilambangkan sebagai 

Setiap bilangan riil positif x memiliki akar pangkat n positif tunggal, yang disebut akar pangkat n utama, yang ditulis sebagai . Untuk n sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dan n yang dihilangkan. Akar ke-n juga dapat direpresentasikan menggunakan eksponensial sebagai x.

Untuk nilai genap n, bilangan positif juga memiliki akar pangkat n negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar pangkat n real. Untuk nilai ganjil n, setiap bilangan negatif x memiliki akar pangkat n negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real,  tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.

Setiap bilangan bukan nol x, real atau kompleks, memiliki n akar pangkat n bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasus x real, hitungan ini mencakup akar pangkat n real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.

Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalah irasional. Misalnya,

Semua akar bilangan bulat ke-n adalah bilangan aljabar.

Istilah surd ditelusuri kembali ke al-Khwārizmī (c. 825), yang menyebut bilangan rasional dan irasional sebagai terdengar dan tidak terdengar, masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "" (asamm, yang berarti "tuli" atau "bisu") untuk bilangan irasional diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu"). Gerard dari Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202), dan kemudian Robert Recorde (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk pada akar irasional tak-terselesaikan, yaitu, ekspresi bentuk  di mana  dan  adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional. Bilangan irasional kuadrat yaitu bilangan irasional dalam bentuk  juga dikenal sebagai "surd kuadrat".

Akar kuadrat

Akar kuadrat dari bilangan x adalah bilangan r yang ketika kuadrat sebagai x:

Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagai akar kuadrat utama, dan dilambangkan dengan tanda radikal:

Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadrat imajiner. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5i dan 5i, di mana i menyatakan bilangan yang kuadratnya .

Akar pangkat tiga

Sebuah akar pangkat tiga dari bilangan x adalah bilangan r yang kubusnya adalah x:

Setiap bilangan real x memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis . Misalnya,
 dan 
Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga kompleks tambahan.

 Dasar-dasar matematika 
Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai teoretis mengacu pada tubuh yang diatur bilangan real , sehingga sampai batas tertentu pada matematika didatik. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel adjungsi.Untuk kesulitan dengan keunikan hukum lihat akar bilangan kompleks.

 Koneksi dengan potensi 
Akar kuadrat dengan eksponen akar  dan eksponen dengan eksponen  saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real  dan untuk semua bilangan asli :


Akar kuadrat dengan eksponen akar  melakukan seperti eksponen dengan eksponen . Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:


Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar n juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/n:


 Akar unik dari bilangan positif 

Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar  pada dasarnya untuk solusi positif.DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und BegriffeEN ISO 80000-2:2020 Größen und Einheiten – Bagian 2: Mathematik Misalnya, persamaan  memiliki dua solusi  dan . Namun, istilah  memiliki nilai +2 dan yang bukan nilai −2.  Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap


 Akar bilangan negatif 

Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu

dan  adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga . Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.

Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:
 Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya,  tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan  ditulis sebagai .
 Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil  adalah
 .
 Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah

 Definisi ini juga tidak melakukan persamaan , karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka,  tetaplah negatif).

Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real , jadi  tidak dapat menemukan akar  yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan bilangan kompleks;T. Arens, F. Hettlich et al.: Mathematik. 2008, S. 122. tetapi, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, lihat dibawah.

 Akar irasional dari bilangan bulat 

Jika  adalah bilangan bulat tidak negatif dan  adalah bilangan bulat positif, jadi  adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan faktorisasi prima:

Jika , maka , yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor  dengan urutan bilangan prima yang berbeda  dan bilangan bulat positif . Apakah semua  untuk  habis dibagi , jadi  adalah bilangan bulat.

Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu  dengan , sehingga  tidak habis dibagi , maka  adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam bukti irasional akar 2 dalam Euklides, yang pada dasarnya adalah kasus khusus  dari pembuktian ini.

Misalkan  adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli  dan :
 .
Dengan menaikkan persamaan ke kuasa

dan mengikuti
 .

Faktorisasi prima  muncul pada  atau ,  lebih digunakan daripada  atau , setidaknya dalam perkalian yang  dibagi dengan , di mana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada  disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian  yang tidak habis dibagi . Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi , tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu,  adalah irasional.

 Hukum Akar 

Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk kuasa.

Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif  dan  dan :
 Darab: 
 Pembagian/Hasil bagi: 
 Iterasi: 
 Definisi eksponen pecahan: 
 Definisi eksponen negatif: 
 Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku: 

Dengan bilangan negatif  dan , hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika  dan  adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, nilai utama) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu akar satuan.

 Barisan 

Limit barisan berikut ini berlaku:

  untuk 


 Ini mengikuti dari pertidaksamaan , yang ditunjukkan dengan bantuan teorema binomial.

 , di mana  adalah bilangan asli tetap.
 ,
 seperti dilihat dari representasi eksponensial dari .

 Fungsi akar 
Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk
  atau 
yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah fungsi kuasa, yang berlaku .

Identitas dan sifat
Mengekspresikan derajat akar pangkat n dalam bentuk eksponen, seperti dalam , mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika  adalah bilangan real non-negatif,

Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar pangkat n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif  dan  langsung dalam bilangan real:

Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar pangkat n dari negatif atau bilangan kompleks. Misalnya:

, namun, lebih tepatnya adalah 

Karena kaidah  hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.

Bentuk sederhana dari ekspresi radikal
Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam bentuk sederhana jika
 Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
 Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
 Tidak ada radikal dalam penyebutnya.

Misalnya, untuk menulis ekspresi akar  dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:

Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:

Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:

Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi.B.F. Caviness, R.J. Fateman, "Simplification of Radical Expressions", Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, hal. 329.Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", Journal of Symbolic Computation 1:189–210 (1985) . Misalnya menggunakan faktorisasi jumlah dua kubus:

Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan radikal tersarang bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:

Di atas dapat diturunkan melalui:

Misalkan , dengan  dan  berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka  adalah rasional jika dan hanya jika keduanya  dan  adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik  dan  adalah kuasa ke-n dari beberapa bilangan bulat.

Deret tak hingga
Radikal atau akar yang diwakili oleh deret tak hingga:

dengan . Ekspresi ini diturunkan dari deret binomial.

Menghitung akar utama

Menggunakan metode Newton

Akar ke-n dari bilangan A dihitung dengan metode Newton. Mulailah dengan tebakan awal x0 dan kemudian ulangi menggunakan relasi perulangan

until the desired precision is reached.  Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan n = 5, A = 34 dan x0 = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:

x0 = 2

x1 = 2.025

x2 = 2.024397817

x3 = 2.024397458

x4 = 2.024397458

Perkiraan x4 adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.

Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai pecahan kontinu umum untuk akar pangkat n. Misalnya,

 Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10) 
Membangun perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat, dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana, , atau , mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar pangkat n suatu bilangan  didefinisikan sebagai nilai elemen  pada baris  dari Segitiga Pascal sehingga  dapat ditulis ulang ekspresi sebagai . Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini . Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.

Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma pembagian panjang, dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.

Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:

 Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan  dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi nilai saat c.
 Temukan p dan x, sebagai berikut:
 Maka  sebagai bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini, dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama, ).
 Tentukan bilangan terbesar  sehingga .
 Tempatkan digit  sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi p berikutnya akan menjadi p lama dikalikan 10 ditambah x.
 Kurangi  dari  untuk membentuk sisa baru.
 Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.

Contoh
Temukan akar kuadrat dari 152,2756.

           1  2. 3  4 
        /
      \/  01 52.27 56

          01                   10·1·0·1 + 10·2·0·1     ≤      1   <   10·1·0·2   + 10·2·0·2         x = 1
          01                      y = 10·1·0·1   + 10·2·0·1   =  1 +    0   =     1
          00 52                10·1·1·2 + 10·2·1·2     ≤     52   <   10·1·1·3   + 10·2·1·3         x = 2
          00 44                   y = 10·1·1·2   + 10·2·1·2   =  4 +   40   =    44
             08 27             10·1·12·3 + 10·2·12·3   ≤    827   <   10·1·12·4  + 10·2·12·4        x = 3
             07 29                y = 10·1·12·3  + 10·2·12·3  =  9 +  720   =   729
                98 56          10·1·123·4 + 10·2·123·4 ≤   9856   <   10·1·123·5 + 10·2·123·5       x = 4
                98 56             y = 10·1·123·4 + 10·2·123·4 = 16 + 9840   =  9856
                00 00          Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34

Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.

         1   6.  1   2   4
  3  /
   \/  004 192.000 000 000

       004                      10·1·0·1    +  10·3·0·1   + 10·3·0·1    ≤          4  <  10·1·0·2     + 10·3·0·2    + 10·3·0·2     x = 1
       001                         y = 10·1·0·1   + 10·3·0·1   + 10·3·0·1   =   1 +      0 +          0   =          1
       003 192                  10·1·1·6    +  10·3·1·6   + 10·3·1·6    ≤       3192  <  10·1·1·7     + 10·3·1·7    + 10·3·1·7     x = 6
       003 096                     y = 10·1·1·6   + 10·3·1·6   + 10·3·1·6   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
           096 000              10·1·16·1   + 10·3·16·1   + 10·3·16·1   ≤      96000  <  10·1·16·2   + 10·3·16·2   + 10·3·16·2    x = 1
           077 281                 y = 10·1·16·1  + 10·3·16·1  + 10·3·16·1  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
           018 719 000          10·1·161·2  + 10·3·161·2  + 10·3·161·2  ≤   18719000  <  10·1·161·3  + 10·3·161·3  + 10·3·161·3   x = 2
               015 571 928         y = 10·1·161·2 + 10·3·161·2 + 10·3·161·2 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
               003 147 072 000  10·1·1612·4 + 10·3·1612·4 + 10·3·1612·4 ≤ 3147072000  <  10·1·1612·5 + 10·3·1612·5 + 10·3·1612·5  x = 4
                                Presisi yang diinginkan tercapai:
                                Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12

Perhitungan logaritma

Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan logaritma. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan r sebagai akar pangkat n, yaitu  dengan x positif dan oleh karena itu akar utamanya r juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi (basis logaritma akan dilakukan) untuk mendapatkan

Akar r dengan mengambil antilog:

(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa b dengan hasil pembagian, bukan b dikalikan dengan hasil pembagian.)

Untuk kasus di mana x negatif dan n ganjil, ada satu akar real r yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan  kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |r|, dan menggunakan .

Konstrukbilitas geometris

Matematikawan Yunani kuno tahu bagaimana menggunakan kompas dan penggaris untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 Pierre Wantzel membuktikan bahwa akar pangkat n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika n bukanlah kuasa 2..

Akar kompleks

Setiap bilangan kompleks selain 0 memiliki n akar pangkat n yang berbeda.

Akar kuadrat
Dua akar kuadrat dari bilangan kompleks tetap negatif satu sama lain. Misalnya, akar kuadrat dari  adalah  dan , dan akar kuadrat dari  adalah

Apabila kita menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk polar, maka akar kuadrat memperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari jari-jari dan membagi dua sudut:

Akar utama dari bilangan kompleks dapat dipilih dengan berbagai cara, misalnya

yang memperkenalkan cabang potong pafa medan kompleks sepanjang sumbu real positif dengan kondisi , atau sepanjang sumbu real negatif dengan .

Dengan menggunakan cabang pertama(terakhir) potong akar kuadrat utama  memetakan  ke setengah medan dengan bagian imajiner (real) non-negatif. Cabang potong terakhir diandaikan dalam perangkat lunak matematika seperti Matlab atau Scilab.

Akar satuan

Bilangan 1 memiliki n akar n yang berbeda pada medan kompleks, yaitu

di mana

Akar-akar ini ditempatkan secara merata di sekitar lingkaran satuan pada medan kompleks, sudut yang merupakan kelipatan dari . Misalnya, akar kuadrat dari satuan adalah 1 dan −1, dan akar keempat dari satuan adalah 1, , −1, dan .

 Akar ke-n 

Setiap bilangan kompleks memiliki n akar pangkat n yang berbeda pada medan kompleks. Maka, ini adalah

di mana η adalah akar tunggal ke-n, dan 1, ω, ω, ... ω adalah akar akar satuan ke-n. Misalnya, empat akar keempat yang berbeda dari 2 adalah

Dalam bentuk polar, akar pangkat n tunggal dapat ditemukan dengan rumus

Di sini r adalah magnitudo (modulus, juga disebut nilai absolut) dari bilangan yang akarnya akan diambil; jika bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a+bi maka . Juga,  adalah sudut yang dibentuk sebagai salah satu poros pada titik asal berlawanan arah jarum jam dari sumbu horizontal positif ke sinar dari titik asal ke bilangan; yang memiliki sifat , , dan 

Dengan demikian, menemukan akar pangkat n pada medan kompleks dibagi menjadi dua langkah. Pertama, besar semua akar pangkat n adalah akar pangkat n dari besaran bilangan asli. Kedua, sudut antara sumbu horizontal positif dan sinar dari titik asal ke salah satu akar pangkat n adalah , di mana  adalah sudut yang didefinisikan dengan cara yang sama untuk bilangan akar yang akan diambil. Selanjutnya, semua n dari akar pangkat n berada pada sudut yang sama jarak satu sama lain.

Jika n adalah genap, akar pangkat n adalah bilangan kompleks, di mana terdapat bilangan genap, datanglah berpasangan aditif invers, sehingga jika suatu bilangan r1 adalah salah satu akar pangkat n maka r2 =  –r1 adalah lainnya. Ini karena menaikkan koefisien yang terakhir -1 ke kuasa ke-n untuk genap n menghasilkan 1: yaitu, (–r1) = (–1) × r1 = r1.

Seperti halnya akar kuadrat, rumus atas tidak mendefinisikan fungsi kontinu untuk seluruh medan kompleks, tetapi memiliki cabang potong pada titik di mana θ / n adalah takkontinu.

Menyelesaikan polinomial

Salah satu konjektur bahwa semua persamaan polinomial sebagai penyelesaian aljabar (yaitu, bahwa semua akar dari polinomial dinyatakan dalam jumlah hingga radikal dan operasi dasar). Namun, sementara ini berlaku untuk polinomial derajat ketiga (kubik) dan polinomial derajat keempat (kuartik), Teorema Abel–Ruffini (1824) menunjukkan bahwa ini tidak benar secara umum ketika derajatnya 5 atau lebih besar. Misalnya, solusi persamaan

tidak dinyatakan dalam bentuk radikal. (cf. persamaan kuintik)

 Bukti irasionalitas untuk kuasa ke-n taksempurna x 
Asumsikan bahwa  adalah rasional. Artinya, mereduksi menjadi pecahan , di mana  dan  adalah bilangan bulat tanpa faktor persekutuan.

Ini berarti bahwa .

Karena x adalah bilangan bulat,  dan  harus memiliki faktor persekutuan jika . Ini berarti jika ,  tidak dalam bentuk sederhana. Jadi b harus sama dengan 1.

Karena  dan , .

Ini berarti  dan dengan demikian, . Maka, ini menyatakan bahwa  adalah bilangan bulat. Karena x bukanlah kuasa ke-n sempurna, kemungkinan tidak. Jadi  adalah irasional.

Sejarah

Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar n adalah radikasi.

Lihat pula
 Algoritma akar pangkat n
 Geseran algoritma akar pangkat n
 Simbol radikal
 Bilangan aljabar
 Radikal tersarang
 Akar kedua belas dari dua
 Superakar

Referensi

 Pranala luar 

Kategori:Aljabar elementer
Kategori:Operasi pada bilangan