Geometri mutlak

Geometri mutlak adalah geometri yang didasarkan pada sistem aksioma geometri Euklides tanpa menggunakan postulat paralel maupun alternatifnya. Secara sederhana, geometri ini hanya menggunakan empat pertama dari postulat Euklidean. Namun karena postulat Euklidean tidak cukup menjadi dasar dari geometri Euklides, sistem lain, seperti aksioma Hilbert tanpa menggunakan aksioma paralel, dipilih menjadi dasar. Istilah ini diperkenalkan oleh János Bolyai pada tahun 1832.dalam "Lampiran menunjukkan ilmu mutlak ruang: terlepas dari kebenaran atau kepalsuan Aksioma XI Euklid (tidak pernah diputuskan sebelumnya)"  Geometri ini terkadang disebut sebagai  geometri netral,<ref>Greenberg mengutip W. Prenowitz dan M. Jordan (Greenberg, p. Xvi) karena telah menggunakan istilah "geometri netral  untuk merujuk ke bagian geometri Euclidean yang tidak bergantung pada postu paralel Euklid.  Dia mengatakan bahwa kata  absolut  dalam  geometri absolut  secara menyesatkan menyiratkan bahwa semua geometri lain bergantung padanya.</ref> dalam konteks  "ke-netral-annya" dengan postulat paralel.

 Sifat 
Geometri absolut terlihat sebagai sebuat sistem yang agak lemah, namun itu tidak sepenuhnya benar. Pada Elemen Euklides,  Proposisi 28 dan Proposisi 31 menghindari penggunaan postulat paralel, dan oleh karena itu keduanya berlaku dalam geometri absolut. Dalam geometri absolut, kita juga dapat membuktikan teorema sudut eksterior (sudut luar segitiga lebih besar daripada kedua sudut segitiga lainnya), serta Teorema Saccheri – Legendre, yang menyatakan bahwa jumlah ukuran sudut dalam segitiga memiliki paling banyak 180°.Seseorang melihat ketidakcocokan geometri absolut dengan geometri elips, karena dalam teori terakhir semua segitiga memiliki jumlah sudut yang lebih besar dari 180°.

Proposisi 31 berisi cara mengonstruksi garis yang sejajar ke suatu garis tertentu melalui titik yang bukan pada garis tersebut. Karena pembuktiannya hanya membutuhkan penggunaan Proposisi 27 (teorema sudut interior alternatif), konstruksi tersebut berlaku dalam geometri absolut. Dalam bahasa yang lebih formal, untuk setiap garis  dan setiap titik  yang tidak terletak pada , ada setidaknya satu garis yang melewati  dan sejajar dengan . Hal ini dapat dibuktikan dengan mengonstruksi garis  dari  ke  yang tegak lurus, lalu membuat garis  yang tegak lurus dengan  dan melalui . Berdasarkan teorema sudut interior alternatif, garis  sejajar dengan . (Teorema sudut interior alternatif menyatakan bahwa jika garis  dan  yang dipotong oleh garis  membentuk sepasang sudut interior alternatif yang kongruen, maka garis  dan  saling sejajar.)

Dalam geometri absolut juga dapat dibuktikan bahwa dua garis yang tegak lurus dengan suatu garis yang sama tidak mungkin berpotongan (yang mengartikan kedua garis tersebut sejajar, menurut definisi garis sejajar). Hal ini membuktikan bahwa sudut puncak pada segiempat Saccheri tidak mungkin tumpul, dan geometri bola bukanlah geometri absolut.

 Hubungannya dengan geometri lain 
Teorema geometri absolut berlaku dalam geometri hiperbolik, yang merupakan geometri non-Euklides, serta dalam geometri Euklides.Memang, geometri absolut sebenarnya adalah perpotongan antara geometri hiperbolik dan geometri Euclidean jika keduanya dianggap sebagai himpunan proposisi.

Geometri absolut tidak konsisten dengan geometri elips: dalam teori itu, tidak ada garis sejajar sama sekali, tetapi itu adalah teorema geometri absolut bahwa garis sejajar memang ada. Namun, dimungkinkan untuk memodifikasi sistem aksioma sehingga geometri absolut, sebagaimana ditentukan oleh sistem yang dimodifikasi, akan menyertakan geometri sferis dan elips, yang tidak memiliki garis sejajar.

Geometri absolut adalah perpanjangan dari geometri terurut, dan dengan demikian, semua teorema dalam geometri terurut tetap dalam geometri absolut. Kebalikannya tidak benar. Geometri absolut mengasumsikan empat aksioma Euklid pertama (atau ekuivalennya), dibandingkan dengan geometri affine, yang tidak mengasumsikan aksioma ketiga dan keempat Euklid.
(3: "Untuk mendeskripsikan lingkaran dengan semua pusat dan jarak radius.", 4: "Bahwa semua sudut siku sama satu sama lain.")
Geometri teratur adalah fondasi umum dari geom absolut dan geo affin.

Geometri relativitas khusus telah dikembangkan mulai dengan sembilan aksioma dan sebelas proposisi geometri absolut.Edwin B. Wilson & Gilbert N. Lewis (1912) "Relativitas Ruang-waktu. Prosiding Mekanika dan Elektromagnetik Geometri Non-Euklidean American Academy of Arts and Sciences 48:387–507Synthetic Spacetime, sebuah intisari dari aksioma yang digunakan, dan teorema dibuktikan, oleh Wilson dan Lewis. Diarsipkan oleh WebCite Para penulis Edwin B. Wilson dan Gilbert N. Lewis kemudian melanjutkan melampaui geometri absolut ketika mereka memperkenalkan rotasi hiperbolik sebagai transformasi yang menghubungkan dua kerangka acuan.

 Bidang Hilbert 
Sebuah bidang yang memenuhi aksioma Incidence Hilbert, betweness, dan kekongruenan, disebut dengan bidang Hilbert. Bidang Hilbert adalah model dari geometri absolut.

 Ketidaklengkapan 
Geometri absolut adalah sistem aksiomatik yang tidak lengkap, dalam artian bahwa seseorang dapat menambahkan aksioma baru yang independen, tanpa membuat sistem aksioma menjadi tidak konsisten. Seseorang dapat memperluas geometri absolut dengan menambahkan aksioma yang berbeda tentang sifat garis paralel dan mendapatkan beberapa sistem aksioma yang konsisten tetapi tidak saling compatible. Hal ini yang menimbulkan geometri Euklides atau hiperbolik. Dengan demikian, setiap teorema pada geometri absolut juga merupakan teorema pada geometri hiperbolik dan geometri Euklides. Namun pernyataan sebaliknya tidak benar.

 Lihat pula 
 Geometri Affine
 Program Erlangen
 Fondasi geometri
 Geometri insiden
 Geometri Non-Euklides

 Catatan 

 Referensi 





 Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries'' (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.

 Pranala luar 

Kategori:Geometri klasik