1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·

Dalam matematika, 

adalah deret divergen yang menjumlahkan faktorial dari bilangan asli dengan tanda positif dan negatif yang berubah secara selang-seling. Walaupun hasilnya divergen, deret tersebut dapat mempunyai nilai sekitar 0,596347 berdasarkan penjumlahan Borel.

 Penjumlahan Euler dan penjumlahan Borel 
Deret ini pertama kali dianggap Euler sebagai deret divergen, ketika ia menerapkan metode penjumlahan untuk menetapkan nilai hingga ke deret. Deret tersebut merupakan jumlah dari faktorial yang ditambahkan atau dikurangi secara berselang-seling. Satu-satu cara menetapkan nilai ke deret divergen tersebut adalah dengan menggunakan penjumlahan Borel. Secara formal, penjumlahan Borel ditulis sebagai

Jika penjumlahan dan integrasi dipertukarkan (abaikan bahwa tidak ada sisi yang konvergen), maka diperoleh:

Penjumlahan yang ada di dalam tanda kurung bersiku konvergen saat , dan untuk nilai-nilai tersebut sama dengan . Kontinuasi analitik dari  untuk semua bilangan asli  mengarah ke integral konvergen untuk penjumlahan:



dengan E1(z) adalah integral eksponensial. Cara tersebut merupakan definisi jumlah Borel dari deret.

 Hubungannya dengan persamaan diferensial 

Tinjau sistem gabungan dari persamaan diferensial

dengan notasi bintik menyatakan turunan terhadap . Solusi dengan kesetimbangan stabil pada  ketika  mempunyai , dan dengan mensubstitusikan persamaan pertama, memberikan solusi deret formal

Perhatikan bahwa ketika , maka  adalah deret Euler. Di sisi lain, sistem persamaan diferensial memiliki solusi

Ketika dihitung menggunakan integral parsial secara berturut-turut, maka deret pangkat formal terbentuk kembali sebagai pendekatan asimtotik ke ekspresi tersebut untuk . Euler berpendapat (kurang lebih) bahwa karena deret formal dan integral keduanya sama-sama menggambarkan solusi yang sama untuk persamaan diferensial, maka kedua ekspresi tersebut adalah sama ketika . Dengan demikian,

 Lihat pula 
 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, atau dikenal sebagai deret Grandi.
 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

 Referensi 

Kategori:Deret divergen