Identitas Bézout

Dalam matematika, identitas Bézout (atau disebut juga lema Bézout) adalah teorema yang menghubungkan antara sembarang dua bilangan bulat dengan faktor persekutuan terbesarnya, yang dinyatakan sebagai berikut:

Dalam identitas ini, faktor persekutuan terbesar dari  dan  didefinisikan sama dengan . Bilangan bulat  dan  disebut sebagai koefisien Bézout dari , dan nilai  serta  tidak tunggal. Sepasang koefisien Bézout dapat dicari menggunakan algoritma Euklides diperluas, yang menghasilkan salah satu dari dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksaman

Pertidaksamaan tersebut akan berubah menjadi persamaan hanya jika  dan  atau  saling berkelipatan, yang berarti bahwa setidaknya salah satu dari " merupakan kelipatan dari " atau " merupakan kelipatan dari " bernilai benar.

Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar dari 15 dan 69 ialah 3, dan 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi dari 15 dan 69, yaitu , dengan koefisien Bézout −9 dan 2.

Banyak teorema lain dalam teori bilangan dasar merupakan hasil dari identitas Bézout, seperti lema Euclid atau teorema sisa Tiongkok.

Daerah Bézout adalah daerah integral yang berlaku identitas Bézout. Oleh karena setiap daerah ideal utama merupakan daerah Bézout, maka setiap teorema yang dihasilkan dari identitas Bézout akan berlaku untuk setiap daerah ideal utama.

 Struktur penyelesaian 

Jika  dan  keduanya tidak bernilai nol, serta satu pasang koefisien Bézout  telah ditemukan (misalnya dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas), maka setiap pasang koefisien Bézout memiliki bentuk umum

dengan  adalah sembarang bilangan bulat. Perhatikan bahwa pecahan  dan  merupakan bilangan bulat, berdasarkan definisi dari faktor persekutuan terbesar.

Jika  dan  keduanya tidak bernilai nol dan keduanya tidak saling berkelipatan, maka terdapat tepat dua pasang koefisien Bézout yang memenuhi pertidaksamaan

Jika  dan  keduanya bernilai positif, maka salah satu pasang koefisien Bézout ini akan memiliki nilai  dan , dan pasangan lainnya akan memiliki nilai  dan . Jika  habis membagi  (termasuk kasus ), maka salah satu dari koefisien Bézoutnya ialah .

Bukti dari batas atas tersebut memanfaatkan sifat pembagian bersisa: diberikan dua bilangan bulat tak nol  dan . Jika  tidak habis membagi , maka
 terdapat tepat satu pasang bilangan bulat  sedemikian sehingga  dengan , dan
 terdapat tepat satu pasang bilangan bulat  sedemikian sehingga  dengan .

Misalkan  dan  merupakan penyelesaian dari identitas Bézout

dengan . Telah diketahui sebelumnya bahwa bentuk umum dari setiap koefisien Bézout ialah

dengan . Akan ditunjukkan bahwa terdapat suatu nilai  sedemikian sehingga

Didefinisikan  dan . Berdasarkan sifat pembagian bersisa, maka terdapat suatu pasangan bilangan bulat  sedemikian sehingga  dapat dinyatakan sebagai

dengan . Akibatnya,

Dengan argumentasi serupa, maka berdasarkan sifat pembagian bersisa, terdapat suatu pasangan bilangan bulat  sedemikian sehingga  dapat dinyatakan sebagai

dengan . Akibatnya,

Oleh karena  dan  merupakan penyelesaian dari identitas Bézout , maka

Berdasarkan persamaan  dan , maka  dan  merupakan koefisien Bézout dari . Dengan kata lain,

Akibatnya, diperoleh

sehingga dengan memilih , maka  dan . Berdasarkan batas dari  dan , maka

Pasangan koefisien Bézout lainnya dapat diperoleh dengan memilih .

Pada kasus  dan , maka koefisien Bézout dapat dipilih  dan , sedangkan pada kasus  dan , maka koefisien Bézout dapat dipilih  dan .

Jika suatu pasang koefisien Bézout  dan  dari  telah diperoleh, maka dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut dapat diperoleh dengan memilih nilai  pada rumus sebelumnya sebagai salah satu dari dua bilangan bulat terdekat dari , yaitu  atau , dengan  menyatakan fungsi lantai dan  menyatakan fungsi atap.

Algoritma Euklides diperluas selalu menghasilkan salah satu dari dua pasangan koefisien Bézout minimal tersebut.

 Contoh 

Misalkan  dan , maka diperoleh . Identitas Bézout berikutdengan koefisien Bézout ditandai dengan warna merah untuk pasangan minimal dan biru untuk pasangan lainnyaditulis sebagai berikut:

Perhatikan bahwa . Jika  adalah pasangan asli dari koefisien Bézout, maka pasangan koefisien Bézout minimalnya dapat diperoleh dengan memilih  atau , yaitu  atau .

 Bukti 
Diambil sembarang dua bilangan bulat tak nol  dan , dan didefinisikan himpunan

Himpunan  tidak kosong, sebab salah satu dari  ataupun  merupakan anggota dari  (dengan  dan ). Oleh karena  merupakan himpunan bagian dari bilangan asli yang tak kosong, maka berdasarkan prinsip urutan rapi, himpunan  memiliki elemen terkecil, yaitu . Untuk membuktikan bahwa  merupakan faktor persekutuan terbesar dari  dan , maka
 harus dibuktikan bahwa  merupakan faktor persekutuan dari  dan , dan
 untuk sebarang faktor persekutuan lainnya , maka berlaku .

Pembagian bersisa dari  oleh  dapat dinyatakan sebagai

dengan . Perhatikan bahwa

Berdasarkan persamaan di atas, maka merupakan bilangan dengan bentuk umum , sehingga . Oleh karena  dan  adalah bilangan asli terkecil pada himpunan , maka , yang membuat nilai  menjadi 0. Akibatnya,  merupakan faktor dari . Dengan cara yang serupa, maka  juga faktor dari , sehingga  adalah faktor persekutuan dari  dan .

Diambil sebarang faktor persekutuan dari  dan , sebut saja . Berdasarkan definisi dari faktor bilangan, maka terdapat suatu bilangan bulat  dan  sedemikian sehingga  dan . Perhatikan bahwa

yang menunjukkan bahwa  habis membagi . Oleh karena , maka berlaku .

 Perumuman 

 Perumuman untuk tiga (atau lebih) bilangan bulat 
Identitas Bézout dapat diperumum untuk lebih dari dua bilangan bulat:

 Perumuman untuk polinomial 

Identitas Bézout tidak selalu berlaku untuk polinomial. Sebagai contoh, dalam gelanggang polinomial dengan koefisien bilangan bulat, perhatikan bahwa faktor persekutuan terbesar dari  dan  ialah . Namun, tidak ada polinomial dengan koefisien bilangan bulat  dan  yang memenuhi

Untungnya, identitas Bézout tetap berlaku untuk polinomial univariat atas lapangan, persis seperti pada himpunan bilangan bulat. Koefisien Bézout dan faktor persekutuan terbesar dapat dicari dengan menggunakan algoritma Euklides diperluas.

Oleh karena akar-akar persekutuan dari dua polinomial merupakan akar-akar dari faktor persekutuan terbesar dari kedua polinomial tersebut, maka identitas Bézout dan teorema dasar aljabar mengakibatkan hasil berikut:

Perumuman dari hasil ini untuk sembarang banyaknya polinomial dengan sembarang banyaknya variabel ialah Nullstellensatz Hilbert.

 Perumuman untuk daerah ideal utama 
Seperti yang telah disinggung pada bagian pengantar dari artikel ini, identitas Bézout tidak hanya berlaku pada gelanggang bilangan bulat, tetapi pada sembarang daerah ideal utama.

Daerah integral yang berlaku identitas Bézout disebut sebagai daerah Bézout.

 Sejarah dan pengatributan 

Matematikawan Prancis, Étienne Bézout (1730–1783), membuktikan identitas Bezout untuk polinomial. Pernyataan untuk bilangan bulat sudah dapat ditemukan dalam karya milik seorang matematikawan Prancis sebelumnya, Claude Gaspard Bachet de Méziriac. Pada halaman-halaman ini, Bachet membuktikan (tanpa persamaan) "Proposisi XVIII.  Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre.", yang berarti "diberikan dua bilangan [yang] relatif prima, carilah kelipatan terkecil dari keduanya [sedemikian sehingga] salah satu kelipatannya ialah satu lebihnya kelipatan lainnya." Masalah ini (yaitu ) merupakan kasus khusus dari persamaan Bézout, dan persamaan tersebut digunakan oleh Bachet untuk menyelesaikan masalah yang ditemukan di halaman 199 beserta halaman-halaman berikutnya.Lihat juga:  Andrew Granville menelusuri pengatributan nama Bézout dengan identitas persamaan tersebut ke Bourbaki, dengan argumen bahwa hal tersebut merupakan atribusi yang salah, sebab identitas tersebut bersifat implisit pada Elements karya Euclid.

 Lihat juga 
 Teorema AF+BG
 Persamaan Diophantus
 Lema Euclid
 Teorema dasar aritmetika

 Referensi 

 Pranala luar 
  Kalkulator daring untuk identitas Bézout.


Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Lema dalam teori bilangan
Kategori:Persamaan Diophantus