Daftar identitas trigonometri

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari sudut dalam segitiga siku-siku (yang dijelaskan secara geometri). Identitas trigonometri merupakan salah satu fungsi trigonometri di mana rumus tersebut memiliki hasil yang sama bila diuji suatu nilai variabel. Identitas berikut ini sangatlah penting dan berguna dalam komputasi yang elusif.

Daftar ini menjelaskan dasar-dasar fungsi, invers fungsi, beserta nilai sudut istimewa pada fungsi trigonometri. Dan juga mengenai jumlah dan perkalian sudut. Mengenai daftar identitas fungsi invers juga dimasukkan ke dalam halaman ini. Terdapat bukti-bukti mengenai rumus-rumus di bawah. Meski begitu, halaman ini hanya menjelaskan bukti singkat pada rumus dan adapula yang tidak. Untuk melihat bukti, lihat Bukti identitas trigonometri. Berikut adalah daftar identitas trigonometri.

 Fungsi dasar trigonometri 

jmpl|330x330px|Segitiga siku-siku  dimana  dan  adalah sisi segitiga dan  adalah hipotenusa.
Salah satu fungsi trigonometri paling umum, semenjak kita duduk di bangku sekolah menengah atas adalah fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Secara geometri, keenam fungsi trigonometri tersebut dapat didefinisikan melalui sudut pada segitiga. Misalkan  adalah segitiga siku-siku,  dan  adalah sisi-sisi segitiga beserta  adalah hipotenusa atau sisi miring segitiga. Misalkan  adalah sudut yang diketahui. Maka,









 .

 .

Keenam fungsi trigonometri di atas memiliki grafik, dengan ranah dan kisaran pada setiap dari mereka adalah berbeda, terutama periodenya. Berikut adalah daftar fungsi trigonometri yang ditabelkan, dengan periode, ranah, kisaran, beserta visualisasi grafik fungsi.
FungsiPeriodeRanahKisaranGrafiksinus400x400pxkosinus400x400pxtangen400x400pxsekan400x400pxkosekan400x400pxkotangen400x400px

 Nilai sudut istimewa 
Berikut adalah nilai sudut istimewa pada keenam fungsi trigonometri:

 Fungsi invers trigonometri 
Fungsi invers trigonometri merupakan fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi dasar trigonometri. Lazimnya, fungsi invers trigonometri biasanya dinotasikan dengan prefiks arc-. […] α = arcsin m: It is frequently read "arc-sine m" or "anti-sine m," since two mutually inverse functions are said each to be the anti-function of the other. […] A similar symbolic relation holds for the other trigonometric functions. […] This notation is universally used in Europe and is fast gaining ground in this country. A less desirable symbol, α = sin-1m, is still found in English and American texts. The notation α = inv sin m is perhaps better still on account of its general applicability. […] Terkadang, fungsi invers trigonometri juga dituliskan melalui notasi eksponen .

Berikut adalah fungsi invers trigonometri, dengan ranah dan kisarannya, antara lain:

Komposisi fungsi trigonometri dengan invers fungsinya sendiri akan sama dengan menuliskan suatu variabel. Dengan kata lain (tinjau  adalah fungsi),

  jika dan hanya jika 

Hal yang serupa untuk fungsi trigonometri, berikut adalah fungsi yang memetakan fungsi inversnya sendiri:








 Komposisi fungsi trigonometri dengan fungsi invers trigonometri lain 
Komposisi fungsi invers untuk lebih lanjut dapat dilihat pada tabel di bawah ini.

 Penyelesaian terhadap persamaan trigonometri 
Berikut adalah penyelesaian persamaan trigonometri, dengan nilai  dan .
PersamaanPenyelesaianuntuk suatu 
Berikut untuk persamaan dengan kedua ruas berupa fungsi trigonometri, tinjau sudut  dan .
PersamaanPenyelesaianuntuk suatu Juga berlaku untuk persamaan

 Beberapa fungsi trigonometri lainnya 
jmpl|280x280px|Beberapa fungsi trigonometri lainnya.
Beberapa fungsi trigonometri antara lain: fungsi yang jarang digunakan seperti versin, coversin, vercosin, covercosin, haversin, havercosin, hacoversin, hacovercosin, exsec, dan excsc. Tabel di bawah menunjukkan fungsi trigonometri yang jarang digunakan beserta dengan grafiknya, antara lain sebagai berikut.
300x300px300x300px300x300px300x300px300x300px300x300px300x300px300x300px
Selain fungsi yang jarang digunakan, terdapat fungsi trigonometri lainnya. Berikut di antaranya: tali busur disingkat crd, dan gd mengindikasikan fungsi Gudermann. Masing-masing dirumuskan sebagai berikut.

 .
 .

 Identitas Pythagoras 

Identitas Pythagoras adalah identitas trigonometri yang diturunkan dari teorema Pythagoras. Dengan kata lain, identitas Pythagoras merupakan konsep teorema Pythagoras melalui fungsi trigonometri. Berikut adalah identitas Pythagoras beserta buktinya, antara lain:

Dengan menggunakan definisi dari fungsi sinus dan kosinus, maka

Karena berupa segitiga siku-siku, maka menurut teorema Pythagoras, . Jadi, 
. 

. 

. 

Dengan menggunakan ketiga identitas di atas, kita dapat menentukan identitas trigonometri lainnya. Tabel berikut menunjukkannya.Abramowitz and Stegun, hlm. 73, 4.3.45

 Refleksi dan putaran sudut 
al=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the angle is reflected in increments of one-quarter pi (45 degrees), the coordinates are transformed. For a transformation of one-quarter pi (45 degrees, or 90 - theta), the coordinates are transformed to (b,a). Another increment of the angle of reflection by one-quarter pi (90 degrees total, or 180 - theta) transforms the coordinates to (-a,b). A third increment of the angle of reflection by another one-quarter pi (135 degrees total, or 270 - theta) transforms the coordinates to (-b,-a). A final increment of one-quarter pi (180 degrees total, or 360 - theta) transforms the coordinates to (a,-b).|ka|jmpl|Transformasi koordinat  ketika putaran sudut refleksi  bertambah  radian.
Kita dapat menentukan pencerminan dan putaran sudut bila kita meneliti satuan lingkaran. Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan dan putaran sudut.

 Refleksi sudut 
Berikut adalah tabel-tabel mengenai pencerminan sudut. Misal  adalah suatu sudut sembarang yang mencerminkan atau merefleksikan sudut . Tabel berikut hanya menjelaskan refleksi  terhadap  yang bernilaikan satuan radian, , , , , dan . Sudut dengan nilai radian  dapat kita bandingkan dengan sudut 

Dalam tabel yang bersubjudulkan  merupakan identitas fungsi ganjil dan genap terhadap fungsi trigonometri.
 refleksi terhadap Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.13–15 refleksi terhadap  refleksi terhadap  refleksi terhadap  refleksi terhadap (Bandingkan dengan )
al=Unit circle with a swept angle theta plotted at coordinates (a,b). As the swept angle is incremented by one-half pi (90 degrees), the coordinates are transformed to (-b,a). Another increment of one-half pi (180 degrees total) transforms the coordinates to (-a,-b). A final increment of one-half pi (270 degrees total) transforms the coordinates to (b,a).|ka|jmpl|Transformasi koordinat  ketika putaran sudut  bertambah  radian.

 Putaran sudut 
Putaran seperempat radianPutaran setengan radianPutaran satu radianAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.7–9Periode

 Definisi eksponensiasi 
Untuk suatu fungsi trigonometri dasar beserta inversnya, dapat didefinisikan melalui eksponensiasi. Tabel berikut menunjukkannya.
FungsiFungsi inversAbramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.26–31
Disini,  adalah konstanta dengan nilai ,  adalah bilangan imajiner, dan  merupakan fungsi trigonometri kosinus ditambahkan oleh fungsi trigonometri sinus yang dikali oleh imajiner, yaitu

 .

Pada tabel terakhir, baris awal dan kolom akhir, tepat di bawah kiri sel, rumus tersebut disebut juga sebagai rumus Euler.

 Jumlah dan selisih sudut 
Jumlah sudut di mana ketika suatu fungsi trigonometri dengan variabel merupakan jumlah sudut-sudut. Sebagai permisalan, diberikan  dan  adalah sudut sembarang, kita rumuskan untuk suatu fungsi trigonometri. Berikut di antaranya,
SinusAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.16KosinusAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.17TangenAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.18KosekanSekanKotangenAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.19Invers sinusAbramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.32Invers kosinusAbramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.33Invers tangenAbramowitz and Stegun, hlm. 80, 4.4.34Invers kotangen
Jumlah dan selisih sudut sekan juga dirumuskan sebagai

.

 Sudut rangkap 
Sudut rangkap merupakan sudut yang di mana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Sudut rangkap dapat dibuktikan melalui sifat jumlah sudut. Sebagai contoh, ketika kita ingin mencari , maka kita gunakan rumus jumlah sudut untuk memperoleh rumus sudut sinus dua rangkap ini.



Rumus jumlah sudut tersebut juga kita pakai untuk mencari sudut rangkap tiga. Andaikan kita diminta untuk mencari , maka dengan menggunakan rumus jumlah sudut.



Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari rumus untuk fungsi trigonometri sudut rangkap lainnya, seperti kosinus, tangen, kotangen, sekan, serta dengan kosekan.

Kita telah memperoleh rumus sudut rangkap dua dan sudut rangkap tiga (pada kotak di samping), maka kita beralih ke sudut -rangkap, di mana . Dengan kata lain, rumus sudut -rangkap dapat kita pakai untuk nilai  sembarang. Sebagai contoh, ketika , maka kita memperoleh sudut dua rangkap dan begitu pula seterusnya.

Tanpa basa-basi, berikut adalah rumus sudut -rangkap.


 Metode Chebyshev 
Metode Chebyshev adalah algoritme rekursif yang mencari rumus sudut -rangkap dengan diketahui nilai ke- dan ke-. Metode Chebyshev dapat dirumuskan untuk sudut rangkap fungsi sinus dan kosinus.



 Sudut setengah rangkap 
Berikut adalah sudut setengah rangkap, antara lainAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.20–22



Masih terdapat rumus-rumus lainnya berkaitan dengan sudut setengah rangkap. Berikut di antaranya:



 Penjumlahan dan perkalian fungsi trigonometri 
Perkalian ke penjumlahan dan penjumlahan ke perkalianAbramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.31–33Abramowitz and Stegun, hlm. 72, 4.3.34–39
Suatu penjumlahan fungsi trigonometri dapat dikonversikan menjadi perkalian fungsi trigonometri. Sebaliknya, perkalian fungsi trigonometri juga dapat dikonversikan menjadi penjumlahan fungsi trigonometri. Tabel berikut menunjukkan perkalian ke penjumlahan suatu fungsi trigonometri dan begitu juga dengan penjumlahan ke perkalian suatu fungsi trigonometri.

 Kalkulus 

 Limit 
Contoh limit fungsi trigonometri yang paling sering digunakan adalah



Kita dapat membuktikan contoh pertama dengan menggunakan satuan lingkaran dan teorema apit. Terdapat contoh limit yang juga paling sering dipakai,



Limit tersebut dapat dibuktikan melalui fungsi trigonometri tangen rangkap setengah. Untuk limit fungsi trigonometri lainnya, berikut adalah limit fungsi trigonometri beserta dengan pembuktiannya.



 Turunan dan antiturunan 
Untuk suatu fungsi trigonometri, terdapat turunan dan antiturunan. Walakin, halaman ini hanya menjelaskan turunan dan antiturunan terhadap fungsi trigonometri yang bersifat dasar beserta fungsi inversnya. Untuk mengenai antiturunan fungsi trigonometri lainnya, lihat Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi invers trigonometri. Tabel berikut ini menunjukkan turunan dan antiturunan, antara lain:
TurunanIntegral

 Representasi deret 
Suatu fungsi trigonometri dapat dikonversikan sebagai deret, di mana bentuk tersebut merupakan representasinya. Deret tersebut dapat merupakan representasi dari deret Maclaurin datau deret Laurent. Keterangan mengenai rumus-rumus di bawah,  adalah bilangan Bernoulli dan  adalah bilangan Euler.








 Lihat pula 

 Bukti identitas trigonometri
 Daftar integral dari fungsi trigonometri
 Daftar integral dari fungsi invers trigonometri
 Fungsi trigonometri
 Trigonometri

 Catatan, rujukan, dan bibliografi 

 Catatan 

 Rujukan 

 Bibliografi