Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

 Rumus dasar 
Misalkan  dan . Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat  dengan koefisien bilangan riil

dapat dinyatakan sebagai

dengan  merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar  sebagai berikut:

Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai

Perhatikan bahwa  sampai dengan  diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari  akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam  variabel.

 Perumuman gelanggang 
Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral . Maka, hasil bagi  akan termuat pada lapangan pecahan dari  (dan mungkin saja pada  itu sendiri, jika  merupakan elemen unit pada ) dan akarnya  diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya,  merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika  bukan merupakan pembagi nol dan  dapat difaktorkan menjadi . Sebagai contoh, fungsi kuadrat

memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih  dan , sebab . Akan tetapi,  dapat difaktorkan menjadi  atau , dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih  atau .

 Contoh 
Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar  dan  dari polinomial kuadrat  akan memenuhi persamaan

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi ; lihat .

Akar-akar ,  dan  dari polinomial kubik  akan memenuhi persamaan

 Bukti 
 Bukti langsung 
Menurut teorema dasar aljabar, jika  merupakan akar-akar dari polinomial

maka  dapat dinyatakan sebagai

Akibatnya, diperoleh persamaan

Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari .

Secara formal, jika ekspresi  dijabarkan, maka terdapat tepat  pilihan biner pada setiap suku (ikutkan  atau ). Jika  pilihan digunakan untuk memilih  sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa  faktor lainnya haruslah . Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum , dengan  bernilai 0 atau 1, tergantung apakah  menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat  nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam .

 Induksi matematika 
Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.
 Hipotesis 
Misalkan
  adalah polinomial berderajat 
  memiliki akar-akar kompleks 
  memiliki koefisien kompleks , dengan 
maka

 Kasus dasar (n = 2) 
Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan

Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh

sehingga kasus dasar terbukti.
 Langkah induksi 
Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai , dengan . Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk .

Berdasarkan teorema faktor, maka  dapat difaktorkan dari , dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan

 Kesimpulan 
Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus , maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang .

Dengan membagi kedua ruas dengan , maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

 Sejarah 
Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:
...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

 Lihat juga 

 Bagian primitif dan konten
 Aturan tanda Descartes
 Identitas Newton
 Teorema Gauss-Lucas
 Sifat geometris dari akar polinomial
 Teorema akar rasional
 Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer

 Referensi 






 Pranala luar 


Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Polinomial
Kategori:Aljabar elementer