Jumlah taktentu

Dalam matematika, operator jumlah taktentu atau operator antiselisih, dilambangkan sebagai  atau ,On Computing Closed Forms for Indefinite Summations. Yiu-Kwong Man. J. Symbolic Computation (1993), 16, 355-376"If Y is a function whose first difference is the function y, then Y is called an indefinite sum of y and denoted Δ−1y" Introduction to Difference Equations, Samuel Goldberg adalah operator linear, yang kebalikan dari operator selisih (atau selisih tentu) . Ini berhubungan dengan operasi selisih maju sebagai integral tak tentu yang berhubungan dengan turunan. Demikian juga,

 .

Lebih eksplisit lagi, jika , kemudian



Jika  adalah solusi untuk persamaan fungsional ini untuk fungsi , maka  untuk setiap fungsi periodik  dengan periode 1. Demikian pula, setiap penjumlahan tak tentu mewakili keluarga pada fungsi. Maka, penyelesaiannya sama dengan pengembangan dari deret Newton adalah unik untuk ke konstanta aditif . Penyelesaian yang unik ini mewakili perubahan deret berpangkat secara formal pada operasi anti-selisihː



 Teorema Fundamental pada kalkulus diskrit 
Penjumlahan tak hingga digunakan sebagai penjumlahan tentu dengan rumusː "Handbook of discrete and combinatorial mathematics", Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, 



 Definisi 

 Rumus Penjumlahan Laplace 



di mana  adalah bilangan Cauchy untuk jenis yang pertama atau disebut sebagai bilangan Bernoulli untuk Jenis Kedua.Bernoulli numbers of the second kind on Mathworld 

 Rumus Newton 



di mana  adalah faktorial menurun.

 Rumus Faulhaber 



persamaan pada ruas kanan adalah konvergen.

 Rumus Mueller 
Jika  maka



 Rumus Euler–Maclaurin 



 Pilihan dengan suku konstanta 
Sering kali, konstanta  pada jumlah tak tentu diperbaiki dengan kondisi berikut.

Misalnya



Maka, konstanta  diperbaiki dengan kondisi



atau



Secara alternatif, penjumlahan Ramanujan digunakan sebagaiː



atau dengan 1

 .Éric Delabaere, Ramanujan's Summation, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.

 Penjumlahan menurut bagian 
Penjumlahan tak hingga dengan bagian tertentuː





Penjumlahan tentu berdasarkan bagian, yaitu:



 Kaidah periode 
Jika  adalah periode fungsi , maka



Jika  adalah fungsi antiperiode , yaitu , maka



 Penggunaan alternatif 
Beberapa penulis menggunakan frasa "jumlah tak tentu" untuk mendeskripsikan sebuah penjumlahan di mana tidak diberikan nilai numerik pada indeks atas.



Dalam kasus seperti tersebut, perubahan ekspresi tertutup  untuk penjumlahan adalah solusi untuk



disebut sebagai persamanan teleskop. Kebalikan dari operator selisih mundur . Berhubungan dengan operasi selisih maju menggunakan teorema fundanmental pada kalkulus diskrit yang dideskripsi sebelumnya.

 Daftar jumlah tak tentu 
Inilah daftar jumlah-jumlah tak tentu pada berbagai fungsi. Tidak setiap fungsi memiliki sebuah jumlah tak tentu yang dapat diekspresikan dalam hal fungsi dasar.

 Antiselisih pada Fungsi rasional 






 di mana , yang digeneralisasikan ke orde polinomial Bernoulli yang sebenarnya.


 di mana  adalah fungsi poligamma .


 di mana  adalah fungsi digamma.



 Antiselisih pada Fungsi eksponensial 



Terutama,



 Antiselisih pada fungsi logaritma 





 Antiselisih pada Fungsi Hiperbolik 







 di mana  adalah fungsi q-digamma .

 Antiselisih pada fungsi trigonometri 











 di mana  adalah fungsi q-digamma .





 Antiselisih pada fungsi invers hiperbolik 



 Antiselisih pada fungsi invers trigonometri 



 Antiselisih pada fungsi khusus 





 di mana  adalah fungsi gamma tidak kompleks.



 di mana  adalah faktorial menurun .


 (lihat fungsi eksponensial super)

 Lihat pula 

 Produk tak tentu 
 Kalkulus skala waktu 
 Daftar turunan dan integral dalam kalkuli alternatif

 Referensi 

 Bacaan lebih lanjut 

 "Persamaan Perbedaan: Pengantar dengan Aplikasi", Walter G. Kelley, Allan C. Peterson, Academic Press, 2001,     
 Markus Müller. Bagaimana Menambahkan Jumlah Syarat Non-Integer, dan Bagaimana Membuat Penjumlahan Tak Terbatas yang Tidak Biasa 
 Markus Mueller, Dierk Schleicher. Jumlah Pecahan dan Identitas Mirip Euler 
 SP Polyakov. Penjumlahan tak terbatas dari fungsi rasional dengan minimisasi tambahan dari bagian yang dapat diringkas. Programmirovanie, 2008, Jil. 34, No. 2. 
 "Persamaan dan Simulasi Beda-Hingga", Francis B. Hildebrand, Prenctice-Hall, 1968

Kategori:Analisis matematika
Kategori:Kalkulus non-Newton
Kategori:Operasi linear dalam kalkulus
Kategori:Selisih tentu
Kategori:Tabel matematika