Hiperkubus

+ Proyeksi perspektif190px190pxKubus (Kubus 3D)Tesseract (Kubus 4D)
Dalam geometri, Hiperkubus adalah analog dari ruang dimensi n dari sebuah Persegi pada bagian () dan untuk bagian kubus pada (). Hal tersebut adalah dari himpunan tertutup dengan ruang kompak, polytope cembung hanya memiliki 1 kerangka terdiri dari kelompok berlawanan dengan parallel segmen garis disejajarkan di setiap dimensi ruang, tegak lurus satu sama lain dan memiliki panjang yang sama. Diagonal terpanjang sebuah hiperkubus dalam dimensi  sama dengan .

 Konstruksi 

Hiperkubus dapat didefinisikan dengan menambahkan jumlah dimensi suatu bangun:

0 – Titik merupakan hiperkubus berdimensi nol.
1 – Jika seseorang menggeser titik tersebut pada satuan panjang, maka akan terbentuk suatu ruas garis. Ruas garis tersebut merupakan hiperkubus berdimensi satu.
2 – Jika seseorang menggeser ruas garis tersebut yang arahnya tegak lurus dengannya, maka akan menghasilkan sebuah persegi yang merupakan bangun datar berdimensi dua.
3 – Jika seseorang menggeser persegi pada satuan panjang yang arahnya tegak lurus dengan bidang, maka akan terbentuk sebuah kubus yang merupakan bangun ruang berdimensi tiga.
4 – Jika seseorang menggeser kubus ke satuan panjang ke dimensi keempat, maka akan menghasilkan hiperkubus pada satuan berdimensi 4, yaitu satuan tesseract.

Hal tersebut dapat digeneralisasikan untuk sebarang dimensi. Proses tersebut dapat diformalkan secara matematis sebagai penjumlahan Minkowski: hiperkubus berdimensi  sama dengan jumlah Minkowski dari  ruas garis dengan panjang satuannya yang saling tegak lurus. Penjumlahan tersebut disebut sebagai zonotop (zonotope).

 Koordinat titik sudut 
Hiperkubus satuan berdimensi  adalah merupakan selubung cembung (convex hull) dari suatu titik dengan  koordinat Cartesius masing-masing sama dengan  atau . Karena itu, hiperkubus juga merupakan darab Cartesius  dari  salinan dari interval satuan . Hiperkubus satuan lainnya, yang berpusat di titik asal dari ruang sekitar, dapat diperoleh dengan menggunakan translasi. Bangun tersebut merupakan selubung cembung dari titik yang vektor koordinat Cartesiusnya adalahDi dalam koordinat tersebut, tanda  mengartikan bahwa tiap-tiap koordinat sama dengan  atau . Satuan hiperkubus ini juga merupakan darab Cartesius . Satuan hiperkubus memiliki edge yang panjangnya  dan volume berdimensi- darinya adalah .

 Elemen 
Setiap dari Kubus pada- untuk  terdiri dari elemen atau Kubus pada- dari dimensi yang lebih rendah, pada bagian -permukaan dimensi pada hiperkubus dari induk. Sisi adalah elemen apa pun dari  dimensi hiperkubus induk. Sebuah hiperkubus dimensi  mempunyai  sisi pada (-garis dimensi memiliki  titik ujung; bujur sangkar  dimensi memiliki  sisi atau tepi; kubus  dimensi memiliki  permukaan  dimensi; Tesseract  dimensi memiliki  sel). Jumlah simpul (titik) dari hiperkubus adalah  (kubus memiliki  simpul, misalnya).

Jumlah dari -hiperkubus dengan dimensi pada batas sebuah -kubus adalah:

,     darimana  dan  menunjukkan faktorial dari .

Identitas tersebut dapat dibuktikan dengan argumen kombinatorial; masing-masing pada  simpul mendefinisikan simpul dalam -batas dimensi. Ada  cara memilih garis mana ("sisi") yang menentukan subruang di mana batasnya berada. Tapi, setiap sisi dihitung  kali karena memiliki banyak simpul, kita perlu membaginya dengan nomor ini.

Identitas ini juga dapat digunakan untuk menghasilkan rumus -dimensi luas permukaan kubus. Luas permukaan hiperkubus adalah
.

Angka-angka tersebut juga dapat dihasilkan oleh relasi pengulangan linier

,     with ,  dan elemen tak terdefinisi (darimana , , atau  ) .

Misalnya, memperluas persegi melalui 4 simpulnya menambahkan satu garis ekstra (sisi) per simpul, dan juga menambahkan kuadrat kedua terakhir, untuk membentuk sebuah kubus, memberikan  = 12 baris secara total.

+
Elemen Hiperkubus      m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Kubus pada- NamaSchläfliCoxeterPuncakWajah dari nilai- TepiWajah dari nilai- WajahWajah dari nilai- SelWajah dari nilai- Wajah dari nilai-Wajah dari nilai- Wajah dari nilai- Wajah dari nilai-Wajah dari nilai- Wajah dari nilai-Wajah dari nilai- 0 Kubus pada nilai-0 PointMonon ( ) 1           1 Kubus pada nilai-1 Segmen garisDionJohnson, Norman W.; Geometri dan Transformasi, Cambridge University Press, 2018, p.224.{} 2 1 2 Kubus pada nilai-2 PersegiTetragon{4} 4 4 1 3 Kubus pada nilai-3 KubusHexahedron{4,3} 8 12 6 1 4 Kubus pada nilai-4 TesseractOctachoron{4,3,3} 16 32 24 8 1 5 Kubus pada nilai-5 PenteractDeka-5-tope{4,3,3,3} 32 80 80 40 10 1 6 Kubus pada nilai-6 HexeractDodeka-6-tope{4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 1 7 Kubus pada nilai-7 HepteractTetradeka-7-tope{4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 1 8 Kubus pada nilai-8 OcteractHexadeka-8-tope{4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 9 Kubus pada nilai-9 EnneractOktadeka-9-tope{4,3,3,3,3,3,3,3} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 10 Kubus pada nilai-10 DekeractIkosa-10-tope{4,3,3,3,3,3,3,3,3}1024512011520153601344080643360960180201
 Grafik 
- Dalam pengembangan -

 Keluarga terkait dari polytopes 
- Dalam pengembangan -

Hubungan dengan (n−1)-kesederhanaan
- Dalam pengembangan -

 Generalisasi Hiperkubus 
- Dalam pengembangan -

 Lihat pula 

 Jaringan interkoneksi hiperkubus arsitektur komputer
 Kelompok hiperoktahedral, kelompok simetri Hiperkubus
 Hiperbola
 Simpleks
 Penyaliban (Corpus Hiperkubus) (karya seni terkenal)


Catatan

Referensi

  p. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n dimensions (n ≥ 5)
  Cf Chapter 7.1 "Cubical Representation of Boolean Functions" wherein the notion of "hypercube" is introduced as a means of demonstrating a distance-1 code (Gray code) as the vertices of a hypercube, and then the hypercube with its vertices so labelled is squashed into two dimensions to form either a Veitch diagram or Karnaugh map.

Pranala luar



 www.4d-screen.de (Rotasi 4D - 7D-Kubus)
  Rotating a Hypercube oleh Enrique Zeleny, Proyek Demonstrasi Wolfram.
 Hiperkubus Animasi Stereoskopik


Kategori:Kubus