Fungsi phi Euler

Dalam teori bilangan, fungsi phi Euler () adalah fungsi yang menghitung bilangan bulat positif hingga diberikan bilangan bulat  yang prima nisbi dengan . Fungsi ini ditulis dengan menggunakan huruf Yunani, phi, yang dilambangkan sebagai  atau  menyatakan kardinal himpunan bilangan asli  dimana .

Bilangan bulat positif yang < 9 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Di antara bilangan-bilangan tersebut yang saling prima terhadap 9 adalah 1, 2, 4, 5, 7, 8, maka banyaknya bilangan yang saling prima terhadap 9 adalah sebanyak 6 sehingga φ(9) = 6.

Fungsi ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (L. 15 April 1707, Swiss. w. 18 September 1783, Rusia).

 Identitas 
Terdapat beberapa identitas mengenai fungsi Euler phi, di antaranya:

 , 
 , untuk  adalah bilangan prima

  jika 



 Rumus lainnya 
Apabila rumus lain mengenai fungsi Euler phi, di antaranya

 , untuk setiap 

Perhatikan kasus khusus


   Bandingkan dengan rumus


(Lihat kelipatan persekutuan terkecil.)

  genap untuk . Selain itu, jika  memiliki  faktor prima ganjil yang berbeda, 
 Untuk  dan  sehingga  terdapat  sedemikian sehingga .

di mana  adalah radikal dari .
  Dineva (dalam referensi eksternal), prop. 1
 , untuk 
  ( dikutip dalam)





(dengan  adalah konstanta Euler–Mascheroni).


dimana  adalah bilangan bulat positif dan  adalah jumlah faktor prima yang berbeda dari .Bordellès di pranala luar

 Beberapa bilangan 
100 nilai pertama  ditampilkan pada tabel dan grafik di bawah ini:

{| class="wikitable" style="text-align: right"
|+ untuk 
! +
! 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10
|- 
! 0 
| 1 || 1 || 2 || 2 || 4 || 2 || 6 || 4 || 6 || 4 
|-
! 10
| 10 || 4 || 12 || 6 || 8 || 8 || 16 || 6 || 18 || 8 
|- 
! 20
| 12 || 10 || 22 || 8 || 20 || 12 || 18 || 12 || 28 || 8 
|-
! 30
| 30 || 16 || 20 || 16 || 24 || 12 || 36 || 18 || 24 || 16 
|-
! 40
| 40 || 12 || 42 || 20 || 24 || 22 || 46 || 16 || 42 || 20
|-
! 50
| 32 || 24 || 52 || 18 || 40 || 24 || 36 || 28 || 58 || 16 
|-
! 60
| 60 || 30 || 36 || 32 || 48 || 20 || 66 || 32 || 44 || 24 
|-
! 70
| 70 || 24 || 72 || 36 || 40 || 36 || 60 || 24 || 78 || 32
|-
! 80
| 54 || 40 || 82 || 24 || 64 || 42 || 56 || 40 || 88 || 24
|-
! 90
| 72 || 44 || 60 || 46 || 72 || 32 || 96 || 42 || 60 || 40 
|}

Dalam grafik di kanan atas baris  adalah batas atas valid untuk semua  selain satu, dan dicapai jika dan hanya jika  adalah bilangan prima. Batas bawah sederhana adalah , yang agak longgar: sebenarnya, lower limit dari grafik sebanding dengan .

 Fungsi pembangkit 

Deret Dirichlet untuk  dapat ditulis dalam istilah fungsi zeta Riemann sebagai:

Fungsi pembangkit deret Lambert adalah

konvergen untuk .

Keduanya dibuktikan dengan manipulasi deret dasar dan rumus untuk .

 Rasio bilangan berurutan 
Pada tahun 1950 Somayajulu membuktikanRibenboim, p.38Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16

 dan 

Pada tahun 1954 Schinzel dan Sierpiński memperkuat ini, membuktikan bahwa himpunan



adalah padat dalam bilangan riil positif. Mereka pun membuktikannya bahwa himpunan

padat dalam interval .

 Lihat pula 
 Fungsi Carmichael
 Konjektur Duffin–Schaeffer
Generalisasi teorema kecil Fermat
 Bilangan komposit tinggi
 Grup perkalian bilangan bulat modulo 
 Jumlah Ramanujan
 Fungsi penjumlahan total

 Catatan 

 Referensi 

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua makalah Gauss tentang teori bilangan: semua bukti timbal balik kuadrat, penentuan tanda jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik biquadratic, dan catatan yang tidak diterbitkan.

Referensi ke Disquisitiones adalah dari bentuk Gauss, DA, art. nnn.

. See paragraph 24.3.2.

 Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
.








.

 Pranala luar 

Euler's Phi Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that  is multiplicative 
Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits 
Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions 
Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function 

Kategori:Aritmetika modular
Kategori:Fungsi perkalian
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian
Kategori:Aljabar
Kategori:Teori bilangan
Kategori:Leonhard Euler