Dimensi fraktal

Dalam matematika, khususnya dalam geometri fraktal, dimensi fraktal adalah rasio yang memberikan
kompleksitas indeks statistik dengan membandingkan bagaimana detail dalam pola fraktal berubah skalanya pada saat diukur. Hal ini juga telah dikarakteristikkan sebagai ukuran dari kapasitas kurva space-filling dari sebuah pola yang memperlihatkan bagaimana skala fraktal berbeda dengan ruang yang melekat pada pola tersebut; dimensi fraktal tidak harus berupa bilangan bulat.

Gagasan penting mengenai dimensi yang "fraktur" ("patah") memiliki sejarah yang panjang dalam matematika, tetapi istilah itu sendiri diangkat ke permukaan oleh Benoit Mandelbrot berdasarkan makalahnya tahun 1967 mengenai kemiripan-diri yang membahas soal dimensi fraksional. Dalam makalah tersebut, Mandelbrot mengutip karya Lewis Fry Richardson sebelumnya yang menjelaskan gagasan kontra-intuitif bahwa panjang garis pantai yang diukur berubah seiring dengan panjang tongkat pengukur yang digunakan. Dalam pengertian tersebut, dimensi fraktal garis pantai mengkuantifikasi berapa banyak tongkat pengukur berskala yang diperlukan untuk mengukur garis pantai berubah seiring dengan skala yang diterapkan pada tongkat tersebut.

Pola fraktal berubah seiring dengan skala pengukurannya. Ini juga merupakan ukuran kapasitas pengisian ruang suatu pola, dan ini menunjukkan bagaimana skala fraktal berbeda, dalam dimensi fraktal (non-integer).

Pada akhirnya, istilah dimensi fraktal menjadi ungkapan yang paling nyaman bagi Mandelbrot sendiri sehubungan dengan merangkum arti kata fraktal, sebuah istilah yang ia ciptakan. Setelah beberapa kali pengulangan selama bertahun-tahun, Mandelbrot memutuskan penggunaan bahasa ini: "... menggunakan fraktal tanpa definisi yang berlebihan, menggunakan dimensi fraktal sebagai istilah umum yang berlaku untuk semua varian."

Salah satu contoh yang tidak sepele adalah dimensi fraktal kepingan salju Koch . Ia mempunyai dimensi topologi 1, tetapi sama sekali tidak dapat diperbaiki : panjang kurva antara dua titik pada kepingan salju Koch tidak terhingga . Tidak ada bagian kecil darinya yang berbentuk garis, melainkan terdiri dari segmen-segmen yang jumlahnya tak terhingga yang disatukan pada sudut yang berbeda-beda. Dimensi fraktal suatu kurva dapat dijelaskan secara intuitif dengan menganggap garis fraktal sebagai objek yang terlalu detail untuk menjadi satu dimensi, tetapi terlalu sederhana untuk menjadi dua dimensi. Oleh karena itu, dimensinya paling baik dijelaskan bukan dengan dimensi topologi biasa yaitu 1 tetapi dengan dimensi fraktalnya, yang sering kali berupa angka antara satu dan dua; dalam kasus kepingan salju Koch, nilainya kira-kira 1,2619.

 Sejarah 
Istilah dimensi fraktal dan fraktal diciptakan oleh Mandelbrot pada tahun 1975, sekitar satu dekade setelah ia menerbitkan makalahnya tentang kesamaan diri di garis pantai Inggris. Berbagai otoritas sejarah memuji dia karena juga mensintesis karya matematika dan teknik teoretis yang rumit selama berabad-abad dan menerapkannya dengan cara baru untuk mempelajari geometri kompleks yang tidak dapat dijelaskan dalam istilah linier biasa. Akar paling awal dari apa yang disintesis Mandelbrot sebagai dimensi fraktal telah ditelusuri dengan jelas kembali ke tulisan-tulisan tentang fungsi-fungsi yang tak terdiferensiasi dan serupa-diri, yang penting dalam definisi matematis fraktal, sekitar waktu kalkulus ditemukan pada pertengahan tahun 1600-an. Terdapat jeda dalam penerbitan karya mengenai fungsi-fungsi tersebut beberapa saat setelah itu, kemudian pembaruan dimulai pada akhir tahun 1800-an dengan penerbitan fungsi dan himpunan matematika yang sekarang disebut fraktal kanonik (seperti karya eponymous von Koch,Helge von Koch, "On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry" In  Sierpiński, dan Julia ), tetapi pada saat perumusannya sering dianggap sebagai "monster" matematika yang bertentangan. Karya-karya ini mungkin disertai dengan poin paling penting dalam pengembangan konsep dimensi fraktal melalui karya Hausdorff di awal tahun 1900-an yang mendefinisikan dimensi "fraksional" yang kemudian dinamai menurut namanya dan sering digunakan dalam mendefinisikan fraktal modern.

 Referensi 

Kategori:Geometri