Diagram komutatif

Dalam matematika, khususnya dalam bidang aljabar dan teori kategori, suatu diagram dikatakan sebagai diagram komutatif jika untuk suatu objek  dan , setiap lintasan yang berawal di  dan berakhir di  sama. Versi daring tersedia di arXiv pada arXiv:1612.09375v1 Diagram komutatif adalah alat yang banyak digunakan dalam studi teori kategori untuk meninjau suatu identitas berlaku dalam komposisi morfisma  Versi daring tersedia di sini

 Definisi 
Suatu diagram komutatif terdiri atas:
 Objek
 Morfisma (atau panah)
 Lintasan atau komposisi morfisma

Dalam berbagai referensi aljabar, umum digunakan notasi berikut untuk panah:
 Monomorfisma dengan 
 Epimorfisma dengan 
 Isomorfisma dengan 
 Jika panah yang digunakan digambar dengan garis putus-putus, umumnya panah tersebut melambangkan suatu morfisma yang diklaim ada (misalnya dalam suatu teorema); panah tersebut sering kali diberi label  untuk menekankan eksistensinya
 Jika morfisma yang diklaim tersebut tunggal, umumnya diberi label 

Morfisma atau panah dalam diagram komutatif juga dapat didefinisikan antar panah, seperti yang umum dilakukan dalam teori kategori
 Istilah 
Dalam buku-buku matematika, umumnya digunakan ungkapan "diagram berikut komutatif"

 Contoh 
Dalam teori grup, misalkan  suatu grup dengan operasi dan  serta  suatu pemetaan antara himpunan untuk grup  dan . Andaikan  adalah suatu homomorfisma grup, diagram berikut komutatif:

250px

dengan pemetaan  didefinisikan secara per-komponen sebagai

untuk sebarang . Dengan kata lain, jika diagram tersebut komutatif berlaku , yang mana sesuai dengan definisi homomorfisma grup pada umumnya.

Contoh lainnya adalah pada Lemma Snake. Pada suatu kategori abel dengan diagram komutatif

325px

yang memiliki barisan eksak di tiap barisnya serta 0 adalah objek nol (objek inisial sekaligus objek terminal pada suatu kategori), terdapat barisan eksak

sehingga diagram berikut komutatif:

425px

 Diagram Sebagai Fungtor 
Misalkan  suatu kategori dan  suatu fungtor dari kategori  ke kategori . Suatu diagram komutatif dapat dipandang sebagai fungtor  dan kategori  disebut sebagai kategori indeks.

Sebaliknya, untuk sebarang diagram komutatif, dapat dikonstruksi suatu kategori dengan setiap objek pada diagram menjadi objek dari kategorinya, adanya morfisma antara dua objek yang didefinisikan dari eksistensi lintasan antara dua objek, serta morfismanya ada secara tunggal (berdasarkan fakta bahwa diagram tersebut komutatif).
 Referensi 

 Pranala luar 
 Commutative Diagram di nLab

Kategori:Matematika