Lingkungan (matematika)

Dalam topologi dan bidang matematika yang terkait, lingkungan, disebut juga persekitaran atau kitaran  () merupakan salah satu konsep dasar dalam ruang topologi. Konsep lingkungan terkait erat dengan konsep himpunan terbuka dan titik dalam. Secara intuitif, lingkungan dari suatu titik adalah himpunan titik yang mengandung titik tersebut, di mana seseorang dapat bergerak beberapa langkah ke segala arah dari titik tersebut tanpa keluar dari himpunan tersebut.
Sifat-sifat matematika yang terkait dengan lingkungan tertentu disebut lokal, sebagai lawan dari global.

 Definisi 

Lingkungan suatu titik

Jika  adalah ruang topologi dan  adalah titik dalam , lingkungan dari titik  adalah himpunan bagian  dari  yang memuat suatu himpunan terbuka  yang memuat  sedemikian sehinggaDefinisi ini ekuivalen dengan titik  yang termasuk interior topologis dari  di dalam 

Lingkungan   harus suatu himpunan terbuka dalam . Akan tetapi ketika  terbuka dalam , maka  disebut lingkungan buka. Beberapa penulis mensyaratkan bahwa lingkungan harus terbuka, tetapi harus diperhatikan juga kesepakatan tersebut.

Suatu himpunan yang menjadi lingkungan bagi semua titik anggotanya adalah terbuka, karena himpunan itu dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan buka yang memuat tiap-tiap titiknya. Segiempat tertutup, sebagaimana pada gambar berikut, bukan merupakan lingkungan dari semua titik-titiknya. Itu karena titik pada sudut segiempat tidak termuat dalam sebarang himpunan terbuka yang termuat dalam segiempat.

Koleksi dari semua lingkungan dari suatu titik disebut  pada titik.

 Lingkungan suatu himpunan 
Jika  adalah subhimpunan dari suatu ruang topologis , maka lingkungan dari  adalah himpunan  yang menyertakan suatu himpunan terbuka  yang memuat :Definisi di atas menyatakan bahwa suatu himpunan  adalah lingkungan dari  jika dan hanya jika  adalah lingkungan dari semua titik di dalam  Lebih lanjut,  adalah lingkungan dari  jika dan hanya jika  adalah subhimpunan dari interior dari  Suatu lingkungan dari  yang juga subhimpunan terbuka dari  disebut lingkungan buka dari  lingkungan dari suatu titik hanyalah kasus istimewa dari definisi ini.

 Ruang metrik 
ka|jmpl|Himpunan  di bidang dan lingkungan seragam  dari 
Dalam ruang metrik  himpunan  adalah lingkungan dari suatu titik  jika terdapat suatu bola terbuka yang berpusat pada titik  dan berjari-jari , sehinggatermuat di dalam .

Himpunan  disebut lingkungan seragam dari himpunan  jika terdapat suatu bilangan positif  sehingga untuk semua anggota  dari , termuat di dalam 
jmpl|300x300px|Lingkungan suatu bilangan  berjari-jari pada garis bilangan real.
Mengikuti syarat yang sama. Untuk , lingkungan  berjari-jari , yang dilambangkan , adalah himpunan dari semua titik di dalam  yang berjarak kurang daripada  dari . Definisi lainnya,  adalah gabungan dari semua bola terbuka berjari-jari  yang berpusat pada suatu titik di dalam : Hal ini mengikuti secara langsung bahwa lingkungan berjari-jari  adalah lingkungan seragam, dan bahwa suatu himpunan adalah lingkungan seragam jika dan hanya jika ia memuatu suatu lingkungan berjari-jari  untuk suatu nilai .

 Contoh 
jmpl|300x300px|Himpunan  adalah lingkungan dari bilangan , karena terdapat lingkungan titik  berjari-jari , yang merupakan subhimpunan dari .
Diketahui bahwa himpunan bilangan real  dengan ruang metrik Euklides biasa adalah suatu subhimpunan  didefinisikan sebagai maka  adalah suatu lingkungan untuk himpunan bilangan asli , tetapi sayangnya  suatu lingkungan seragam dari himpunan itu.

 Referensi 





 Pranala luar 


Kategori:Topologi umum
Kategori:Analisis matematika