Isometri

Dalam matematika, isometri (atau kekongruenan, atau tranformasi (yang) kongruen) adalah tranformasi yang mempertahankan jarak antar ruang metrik, dan umumnya diasumsikan bersifat bijektif."Kami merasa nyaman untuk menggunakan kata transformasi dalam arti khusus sebagai korespondensi satu-satu  untuk semua titik di bidang (atau di ruang), yaitu sebuah aturan untuk menghubungkan pasangan titik; dengan pemahaman bahwa setiap pasangan memiliki anggota pertama di  dan anggota kedua di , dan bahwa setiap titik di  menjadi anggota pertama dari tepat satu pasangan saja dan setiap titik di  juga sebagai anggota kedua dari tepat satu pasangan saja ...

Secara khusus, isometri (atau "transformasi yang kongruen," atau "kekongruenan") adalah transformasi yang mempertahankan panjang ..."
jmpl|Komposisi dari dua isometri tidak langsung adalah komposisi langsung. Refleksi terhadap garis seperti   dan   pada gambar, adalah isometri tidak langung; sedangkan translasi  adalah isometri langsung.3.51 "Setiap isometri langsung adalah sebuah translasi atau sebuah rotasi. Setiap isometri tidak langsung adalah sebuah refleksi atau glide reflection."
Untuk sebuah ruang metrik (secara sederhana, sebuah himpunan dan aturan untuk menghitung jarak antar elemen di himpunan tersebut), isometri adalah transformasi yang memetakan setiap elemen ke ruang metrik yang sama (atau yang berbeda), sedemikian sehingga jarak antar elemen pada ruang metrik hasil pemetaan sama dengan jarak antar elemen pada ruang metrik asalnya. Pada ruang Euklides dimensi 2 atau dimensi 3, dua bangun dikatakan kongruen jika terdapat hubungan isometri di antara keduanya;3.11 Setiap dua segitiga yang kongruen memiliki sebuah isometri yang unik. isometri tersebut dapat berupa translasi, rotasi, refleksi, atau komposisi dari ketiganya.

Isometri umum digunakan untuk mengonstruksi sebuah ruang yang terletak di dalam ruang lainnya. Sebagai contoh, pelengkap dari ruang metrik  membutuhkan isometri dari  ke , sebuah himpunan hasil bagi dari ruang barisan Cauchy pada . Ruang metrik asal  tersebut secara isometris isomorfik terhadap sebuah sub ruang dari ruang metrik lengkap, dan umumnya dapat dikenali lewat sub ruang ini. Konstruksi-konstruksi lainnya menunjukkan bahwa setiap ruang metrik secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang vektor bernorma; dan setiap ruang metrik lengkap secara isometris isomorfik terhadap subset tertutup dari suatu ruang Banach.

Operator linear surjektif yang isometrik pada ruang Hilbert disebut dengan operator uniter.

 Definisi 
Anggap  dan  adalah ruang metrik dengan metrik  dan . Pemetaan  dikatakan isometri atau mempertahankan jarak jika untuk setiap  berlaku



Sebuah isometri pasti injektif; karena jika tidak, ada dua titik  berbeda yang dipetakan ke titik yang sama, sehingga melanggar aksioma metrik . Pembuktian ini serupa dengan bukti bahwa embedding terurut antara himpunan terurut sebagian bersifat injektif. Tentu, setiap isometri antar ruang metrik adalah embedding topologis.

Sebuah isometri global, isometri yang isomorfik, atau pemetaan kekongruenan, adalah isometri yang bijektif. Dan seperti bijeksi lainnya, isometri global memiliki fungsi invers. Invers dari isometri global juga merupakan isometri global.

Dua ruang metrik  dan  dikatakan isometrik jika terdapat isometri yang bijektif dari   ke . Himpunan isometri bijektif (dan komposisinya) dari ruang metrik ke dirinya sendiri membentuk sebuah grup, yang disebut grup isometri.

Terdapat istilah isometri lintasan yang lebih lemah daripada isometri. Isometri lintasan adalah pemetaan yang mempertahankan panjang kurva; pemetaan tersebut belum tentu mempertahankan jarak seperti isometri, dan tidak perlu bersifat bijektif (atau bahkan injektif). Istilah ini terkadang disebut juga dengan isometri, sehingga diperlukan konteks tipe isometri yang sedang dirujuk. Sebagai contoh:

 Setiap refleksi, translasi, dan rotasi adalah isometri global pada ruang Euklides.
 Pemetaan  di  adalah isometri lintasan yang bukan isometri.

 Isometri antar ruang bernorma 
Teorema berikut adalah hasil kerja dari Mazur dan Ulam.

 Definisi:  Titik tengah antara dua elemen  dan  di suatu ruang vektor adalah vektor .

 Isometri linear 
Untuk ruang vektor bernorma  and , isometri linear adalah pemetaan linear  yang mempertahankan norma:



untuk setiap . Isometri linear mempertahankan jarak dalam konteks tersebut, dan termasuk isometri global jika dan hanya jika juga bersifat surjektif. Pada ruang hasil kali dalam, definisi di atas dapat disederhanakan menjadi



untuk setiap , yang secara ekuivalen menyatakan bahwa . Hal ini juga mengimplikasikan isometri mempertahankan hasil kali dalam, karena



Isometri linear belum tentu termasuk operator uniter, karena masih diperlukan sifat tambahan  dan .

Berdasarkan teorema Mazur–Ulam, setiap isometri pada ruang vektor  bernorma bersifat affine. Sebagai contoh, pemetaan isometri linear dari ke dirinya sendiri dapat dinyatakan sebagai matriks uniter.

 Lipatan 
Isometri pada sebuah lipatan adalah pemetaan mulus dari lipatan tersebut ke dirinya sendiri, atau ke lipatan lain, yang mempertahankan konsep jarak antar titik. Definisi isometri memerlukan konsep metrik pada lipatan: lipatan dengan metrik definit positif adalah lipatan Rieman, dan dengan metrik indefinit adalah lipatan Riemann semu. Karena itu, isometri dibahas di geometri Riemann.

 Generalisasi 
Untuk bilangan real positif ε, sebuah ε-isometri atau hampir isometri (juga disebut dengan hampiran Hausdorff) adalah pemetaan  antar ruang metrik dengan sifat:

 untuk setiap  berlaku , dan
 untuk setiap  terdapat  yang memenuhi 

Dalam bahasa lain, ε-isometri menoleransi perubahan jarak akibat pemetaan sebesar ε. Sebuah ε-isometri belum tentu bersifat kontinu.

 Referensi 

 Daftar pustaka 









Kategori:Fungsi matematika
Kategori:Geometri metrik
Kategori:Simetri
Kategori:Persamaan derajat