Integral Gauss

Integral Gauss, juga dikenal dengan nama integral Euler–Poisson, merupakan integral dari fungsi Gauss  di sepanjang garis riil. Integral ini dinamai dari matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss, dan dituliskan secara matematis sebagai

Jenis integral ini awalnya ditemukan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733, tetapi Gauss menerbitkan bentuk integral yang rinci pada tahun 1809. Integral ini dapat diaplikasikan untuk berbagai macam hal. Contohnya, dengan sedikit perubahan dalam variabel, integral ini digunakan untuk menghitung konstanta normalisasi dari distribusi normal. Bentuk integral yang sama dengan limit terbatas memiliki kaitan yang erat dengan fungsi galat dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal. Dalam ilmu fisika, jenis fungsi ini sering muncul, sebagai contoh: dalam mekanika kuantum, untuk mencari kepadatan peluang dari keadaan dasar osilator harmonik; dalam mekanika statistika, untuk mencari fungsi partisi.
 Cara menghitung 

 Menggunakan koordinat polar 
Salah satu cara umum menghitung integral Gauss, berdasar pada ide yang dapat ditelusuri kembali ke Poisson, adalah menggunakan sifat:Selanjutnya, pertimbangkan fungsi pada bidang , yang integralnya dapat dihitung menggunakan dua cara:

 Di ruas kiri, menggunakan integral lipat dua di sistem koordinat Kartesius, yang hasilnya adalah sebuah kuadrat: 
 Di ruas kanan, menggunakan metode kulit (sautu bentuk integral lipat dua dalam koordinat polar), hasil integralnya sama dengan 

Integral Gauss dapat dihitung dengan menggabungkan kedua cara tersebut, walau perhatian khusus diperlukan saat berurusan dengan bentuk integral takwajar:Faktor  yang ada di ruas kanan berasal dari nilai determinan Jacobi, yang muncul akibat transformasi ke koordinat polar ( adalah ukuran standar pada bidang, yang dinyatakan dalam koordinat polar). Teknik subtitusi juga dilakukan dengan mengambil  sehingga 

Menggabungkan semua yang telah didapatkan, dihasilkan bentuk sehingga

 Bukti lengkap 
Penggunaan integral lipat dua takwajar dan menyamakan bentuk kedua ekpresi dapat dijustifikasi sebagai berikut. Pertimbangkan fungsi hampiranJika hasil dari integral  konvergen absolut, maka integral tersebut memiliki nilai utama Cauchy; dengan kata lain limit dari  akan sama dengan hasil integral tersebut. Untuk melihat itu memang terjadi, pertimbangkan bahwaIni mengartikan integral dapat dihitung cukup dengan menghitung limit dariMenghitung kuadrat dari  akan menghasilkan bentukMenggunakan teorema Fubini, integral lipat dua di atas dapat dianggap sebagai integral luas yang dilakukan di petak persegi dengan sudut-sudut  pada bidang- Karena fungsi eksponesial bernilai positif untuk sebarang bilangan riil, dapat disimpulkan integrasi yang dilakukan pada daerah lingkaran singgung dalam persegi akan bernilai kurang dari  sedangkan integrasi pada daerah lingkaran singgung luar persegi akan lebih besar dari  Kedua integrasi tersebut dapat mudah dihitung dengan mengubah sistem koordinat dari Kartesius ke polar:Transformasi ini memiliki determinan Jacobi  dan elemen luasDengan demikian, kedua integrasi tadi dapat ditulis sebagaiMengintegrasi ruas kiri dan ruas kanan,Akhirnya, dengan menggunakan teorema apit didapatkan , sehingga integral Gauss

 Dengan koordinat Kartesius 
Teknik berbeda, yang berasal dari Laplace (1812), juga dapat digunakan untuk menghitung integral Gauss. Karena fungsi merupakan fungsi genap, hasil integrasi di sepanjang garis riil sama saja dengan dua kali lipat hasil integrasi dari nol sampai takhingga; secara matematis Selanjutnya, dengan menggunakan subtitusidan memperhatikan variabel  dan  memiliki limit yang sama pada selang integrasi (), bentuk kuadrat dari  dapat dijabarkan seperti berikutMenggunakan teorema Fubini untuk menukar urutan integrasi:Alhasil, terbukti .

 Kaitan dengan fungsi gamma 
Integran dalam integral Gauss merupakan fungsi genap, mengartikanJadi, setelah variabel  diubah menjadi , bentuk integral tersebut berubah menjadi integral Eulerdengan   adalah fungsi gamma. Hal ini memperlihatkan alasan faktorial dari setengah-bilangan-bulat adalah kelipatan rasional dari . Dengan mensubtitusi  di integran, dapat dihasilkan bentuk integral yang lebih umum,

 Perumuman 
Integral dari fungsi Gauss

Integral dari sebarang fungsi Gauss adalah

Integral di atas mempunyai bentuk alternatif, yaitu

Bentuk ini berguna dalam menghitung ekspektasi dari beberapa distribusi probabilitas kontinu yang berkaitan dengan distribusi normal; seperti distribusi log-normal, sebagai contoh.

Perumuman fungsional dan dimensi-

Misalkan  adalah matriks presisi  yang simetrik dan definit positif, yang dihasilkan dari invers matriks kovarians. Dapat ditunjukkanDengan melengkapi kuadrat, bentuk di atas dapat diperumum menjadi Fakta ini diterapkan dalam studi terkait distribusi normal multivariat. Selain itu, dengan  menyatakan permutasi dari  dan faktor tambahan di ruas kanan adalah hasil penjumlahan atas semua pasangan kombinatorik  dari  salinan .

Alternatif lain,Untuk suatu fungsi analitik , mengasumsikan pertumbuhan fungsi tersebut memenuhi suatu batasan yang masuk akal, dan beberapa kriteria lainnya. Perpangkatan pada operator diferensial dipandang sebagai bentuk deret pangkat.

 Perumuman dimensi- dengan suku linear 
Jika  merupakan matriks simetrik definit-positif, maka (dengan asumsi bahwa semuanya adalah vektor kolom):

Integral dengan bentuk yang serupa
Misalkan  adalah bilangan bulat positif dan  menyatakan faktorial ganda. Beberapa integral berikut memiki bentuk yang mirip dengan integral Gauss:

Sebuah cara mudah untuk menghasilkan bentuk-bentuk tersebut adalah dengan mendiferensialkannya terhadap variabel integrasi:

Cara lain untuk mendapatkannya adalah dengan menggunakan integral parsial dan menemukan relasi pengulangan.

Polinomial tingkat tinggi

Menerapkan perubahan basis linier memperlihatkan bahwa integral dari eksponensial dari polinomial homogen pada  variabel hanya dapat bergantung pada invarian-SL(n) dari polinomial. Salah satu invarian tersebut adalah diskriminan, akar fungsi yang menandai singularitas integral. Sayangnya, integral tersebut juga dapat bergantung pada invarian lainnya.

 Lihat pula 

 Daftar integral dari fungsi Gauss
 Integral yang umum dalam teori medan kuantum
 Distribusi normal
 Daftar integral dari fungsi eksponensial
 Fungsi galat
 Integral Berezin

 Referensi 

 Daftar pustaka 




Kategori:Integral
Kategori:Fungsi Gauss