Bukti bahwa e irasional

Bilangan  diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Lebih dari setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa  adalah bilangan irasional; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.

 Bukti Euler 
Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan  pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian). Ia menghitung  sebagai pecahan berlanjut, yaitu

Terdapat bukti singkat dari kesamaan di atas. Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap bilangan rasional memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka  merupakan bilangan irasional. Perhatikan bahwa pecahan berlanjut dari  tidak bersifat periodik. Akibatnya,  bukanlah akar dari polinomial kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut,  merupakan bilangan irasional.

 Bukti Fourier 
Bukti yang paling terkenal ialah pembuktian melalui kontradiksi oleh Joseph Fourier, yang didasarkan pada persamaan

Pada awalnya,  diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk . Idenya ialah menganalisis selisih yang diperbesar (pada artikel ini ditulis sebagai ) antara representasi deret dari  dengan jumlahan parsial ke-. Dengan memilih faktorial dari  sebagai faktor skalanya, pecahan  dan jumlahan parsial ke- akan berubah menjadi bilangan bulat, sehingga  haruslah bilangan bulat positif. Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan  haruslah kurang dari 1. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa  merupakan bilangan irasional.

Jika  merupakan bilangan rasional, maka terdapat bilangan asli  dan  sedemikian sehingga . Didefinisikan bilangan

 Klaim 1 
Akan dibuktikan bahwa . Dengan menggunakan asumsi bahwa , maka didapatkan

Perhatikan bahwa  dan  merupakan bilangan asli, sehingga  merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai  pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa  merupakan bilangan rasional, maka  merupakan bilangan bulat.

 Klaim 2 
Akan dibuktikan bahwa . Pertama, akan ditunjukkan bahwa  dengan menggunakan definisi dari  beserta representasi deret dari . Perhatikan bahwa

sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa . Perhatikan bahwa

Baris keenam diperoleh melalui rumus deret geometrik. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa .

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan kontradiksi dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya  merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa  merupakan bilangan irasional. Q.E.D.

 Bukti alternatif 
Bukti lain dapat diperoleh dengan memerhatikan bahwa

Hal ini mustahil terjadi, sebab  dan  merupakan bilangan bulat positif.

 Perumuman 
Pada tahun 1840, Liouville mempublikasikan bukti bahwa  merupakan bilangan irasional, disusul dengan bukti bahwa  bukanlah akar dari polinomial derajat dua dengan koefisien rasional. Informasi tersebut mengakibatkan bahwa  irasional. Isi buktinya mirip dengan bukti Fourier mengenai keirasionalan . Pada tahun 1891, Hurwitz menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa  bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa  irasional. Secara umum, bilangan  merupakan bilangan irasional, untuk sembarang bilangan rasional tak nol .

Pada tahun 1873, Charles Hermite membuktikan bahwa  merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa  bukanlah akar dari polinomial dengan koefisien rasional, dan begitu juga dengan bilangan  untuk setiap bilangan aljabar tak nol .

 Lihat pula 
 Karakterisasi fungsi eksponensial
 Bilangan transendental, termasuk bukti bahwa e transendental
 Teorema Lindemann–Weierstrass
 Bukti bahwa  irasional

 Catatan kaki 

Kategori:Penghampiran Diophantus
Kategori:Eksponensial
Kategori:Artikel pembuktian
Kategori:E (konstanta matematika)
Kategori:Bilangan irasional