Bilangan transendental

Dalam matematika, bilangan transendental adalah bilangan riil atau kompleks yang bukan merupakan bilangan aljabar. Dengan kata lain, bilangan transendental adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari polinomial tak nol dengan koefisien bilangan bulat (atau secara ekuivalen, bilangan rasional). Contoh terkenal dari bilangan transendental adalah  dan .

Meskipun hanya sedikit golongan bilangan transendental yang diketahui (salah satu alasannya adalah sulitnya proses pembuktian bahwa suatu bilangan tertentu merupakan bilangan transendental), bilangan transendental tidaklah langka: hampir semua bilangan real dan kompleks merupakan bilangan transendental, sebab himpunan semua bilangan aljabar merupakan himpunan terhitung, sementara himpunan bilangan riil  dan himpunan bilangan kompleks  sama-sama merupakan himpunan takterhitung, dan oleh karena itu, lebih besar dari himpunan terhitung manapun.

Semua bilangan transendental merupakan bilangan irasional, sebab semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar. Akan tetapi, konvers dari pernyataan tersebut tidaklah benar: Tidak semua bilangan irasional merupakan bilangan transendental. Akibatnya, himpunan bilangan riil terdiri dari tiga himpunan yang saling lepas, yaitu himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan irasional aljabar, dan himpunan bilangan riil transendental. Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan irasional, tetapi bukan transendental, sebab bilangan tersebut merupakan akar dari persamaan polinomial . Rasio emas (disimbolkan dengan  atau ) adalah contoh lain dari bilangan irasional yang bukan transendental, sebab ia merupakan akar dari persamaan .

 Sejarah 
Nama "transendental" berasal , s.v. dan pertama kali digunakan untuk konsep matematika pada paper dari Leibniz pada tahun 1682 dimana beliau membuktikan bahwa  bukanlah fungsi aljabar dari .; 

Johann Heinrich Lambert memberikan konjektur bahwa  dan  keduanya merupakan bilangan transendental pada paper bukti bahwa  irasional miliknya di tahun 1768, dan mengajukan sketsa bukti tentatif bahwa  transendental.

Joseph Liouville adalah orang pertama yang membuktikan kewujudan bilangan transendental pada tahun 1844, dan pada tahun 1851, beliau memberikan contoh pertama dalam bilangan desimal, seperti konstanta Liouville

dimana digit ke- setelah koma desimal adalah 1 jika  ( faktorial) untuk suatu bilangan asli , dan 0 untuk digit-digit lainnya. Dengan kata lain, digit ke- dari bilangan ini ialah 1 hanya jika  adalah , dst. Liouville berhasil menunjukkan bahwa bilangan ini termasuk ke dalam golongan bilangan yang dapat dihampiri dengan lebih dekat oleh bilangan rasional dibandingkan dengan bilangan irasional aljabar manapun, dan golongan bilangan ini disebut sebagai bilangan Liouville. Liouville berhasil menunjukkan bahwa semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental.

Bilangan pertama yang terbukti transendental tanpa dikonstruksikan secara spesifik dengan tujuan untuk membuktikan kewujudan bilangan transendental ialah  oleh Charles Hermite pada tahun 1873.

Pada tahun 1874, Georg Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan aljabar merupakan himpunan terhitung dan himpunan bilangan riil merupakan himpunan takterhitung. Beliau juga memberikan metode baru untuk mengonstruksikan bilangan transendental.;  Walaupun hal ini sudah diakibatkan dari bukti miliknya mengenai keterhitungan himpunan bilangan aljabar, Cantor juga menerbitkan konstruksi yang membuktikan bahwa bilangan transendental sama banyaknya dengan bilangan riil.

Pada tahun 1882, Ferdinand von Lindemann menerbitkan bukti pertama bahwa  transendental.
 Beliau membuktikan bahwa  merupakan bilangan transendental jika  merupakan bilangan aljabar tak nol.
 Oleh karena  merupakan bilangan aljabar (lihat identitas Euler), maka  haruslah transendental.
 Mengingat bahwa  merupakan bilangan aljabar, maka  haruslah bilangan transendental.
Pendekatan ini kemudian diperumum oleh Karl Weierstrass menjadi apa yang dikenal sekarang sebagai teorema Lindemann–Weierstrass. Ketransendentalan  mengakibatkan bahwa konstruksi geometris yang hanya melibatkan lukisan jangka dan mistar tidak dapat menghasilkan hasil tertentu, seperti mempersegikan lingkaran.

Pada tahun 1900, David Hilbert mengajukan pertanyaan mengenai bilangan transendental, yang dikenal sebagai masalah ke-7 Hilbert: Jika  merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan  merupakan bilangan aljabar irasional, apakah  merupakan bilangan transendental? Jawaban afirmatif diberikan pada tahun 1934 oleh teorema Gelfond–Schneider.

 Sifat-sifat 
 Setiap bilangan rasional merupakan bilangan aljabar (sebab bilangan  merupakan akar dari persamaan polinomial ). Akibatnya, setiap bilangan transendental merupakan bilangan irasional, dengan menggunakan kontraposisi.
 Himpunan semua polinomial dengan koefisien rasional merupakan himpunan terhitung dan banyak akar dari setiap polinomial tersebut adalah berhingga. Akibatnya, himpunn semua bilangan aljabar juga merupakan himpunan terhitung. Akan tetapi, argumen diagonal Cantor membuktikan bahwa himpunan semua bilangan riil (dan oleh sebab itu, himpunan semua bilangan kompleks) merupakan himpunan takterhitung. Oleh karena himpunan bilangan riil merupakan gabungan dari himpunan bilangan aljabar dan himpunan bilangan transendental, maka mustahil bagi kedua himpunan bagian tersebut untuk sama-sama berstatus sebagai himpunan terhitung. Hal ini mengakibatkan bahwa himpunan bilangan transendental merupakan himpunan takterhitung.
 Menyubstitusikan suatu nilai transendental ke fungsi aljabar dengan variabel tunggal akan menghasilkan nilai yang transendental. Misalnya, berdasarkan informasi bahwa  merupakan bilangan transendental, maka dapat disimpulkan bahwa , , , , dan  juga merupakan bilangan transendental.
 Akan tetapi, fungsi aljabar dengan multivariabel mungkin saja menghasilkan bilangan aljabar saat variabelnya bernilai transendental dan tidak bebas aljabar. Misalnya, bilangan  dan  sama-sama merupakan bilangan aljabar, tetapi  jelas tidak.
 Semua bilangan Liouville merupakan bilangan transendental, namun tidak sebaliknya.

 Bilangan yang terbukti transendental 
Terdapat beberapa bilangan yang terbukti sebagai bilangan transendental, diantaranya yaitu:
  (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
  dengan  adalah bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
 termasuk bilangan Euler 
  dengan  adalah bilangan asli (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
 termasuk konstanta Gelfond 
  dengan  merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1, dan  merupakan bilangan irasional (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
 termasuk konstanta Gelfond–Schneider 
 Logaritma alami  jika  merupakan bilangan aljabar selain 0 maupun 1 (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
  jika  dan  merupakan bilangan asli yang bukan merupakan perpangkatan dari suatu bilangan bulat yang sama, serta  (dibuktikan melalui teorema Gelfond–Schneider)
 Fungsi trigonometri , , beserta versi hiperboliknya, untuk setiap bilangan aljabar tak nol  dalam satuan radian (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
 Hasil-hasil tak nol dari fungsi invers trigonometri , , beserta versi hiperboliknya, untuk setiap bilangan aljabar  (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
 , dengan 
 Titik tetap dari fungsi kosinus (yang dikenal juga dengan bilangan Dottie ), yaitu penyelesaian riil tunggal dari persamaan , dengan  dalam satuan radian (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
 Fungsi W Lambert , dengan  merupakan bilangan aljabar tak nol (dibuktikan melalui teorema Lindemann–Weierstrass)
 Termasuk konstanta omega .
 Setiap bilangan Liouville
 Termasuk konstanta Liouville 
 Konstanta Prouhet–Thue–Morse;  dan konstanta kelinci yang berkaitan.
 Konstanta Komornik–Loreti
 Nilai-nilai dari pecahan berlanjut Rogers–Ramanujan , dengan  merupakan bilangan kompleks aljabar yang memenuhi pertidaksamaan .
 Nilai lemniskatik dari fungsi theta  (nilai  memenuhi persyaratan yang sama seperti sebelumnya) juga merupakan bilangan transendental.

 Konjektur bilangan transendental 
 Banyak kombinasi yang tak trivial dari dua (atau lebih) bilangan transendental yang belum diketahui transendental atau bahkan irasional: , , , , , , . Kebenaran atas konjektur Schanuel akan mengakibatkan semua bilangan di atas bersifat transendental dan bebas aljabar.
 Konstanta Euler–Mascheroni : Pada tahun 2010, telah ditunjukkan bahwa daftar takhingga dari konstanta Euler–Lehmer (termasuk ) memuat paling banyak satu bilangan aljabar. Pada tahun 2012, telah ditunjukkan bahwa setidaknya salah satu dari  dan konstanta Gompertz  merupakan bilangan transendental.
 Nilai dari fungsi zeta Riemann  untuk bilangan ganjil 
 Termasuk konstanta Apéry , yang diketahui merupakan bilangan irasional. Untuk bilangan lain , , , ,  informasi keirasionalannya bahkan belum diketahui.
 Nilai dari fungsi beta Dirichlet  untuk bilangan genap 
 Termasuk konstanta Catalan 
 Nilai dari fungsi Gamma  untuk  dan bilangan asli  belum diketahui irasional, apalagi transendental.

 Bukti untuk bilangan spesifik 
 Bukti bahwa  transendental 
Bukti pertama yang menyatakan bahwa basis dari logaritma alami (yaitu ) merupakan bilangan transendental berasal dari tahun 1873. Dalam artikel ini, akan digunakan strategi dari David Hilbert (1862–1943) yang menyederhanakan bukti orisinal dari Charles Hermite. Gagasannya ialah sebagai berikut:

Asumsikan bahwa  merupakan bilangan aljabar, dengan tujuan untuk mencari kontradiksi. Artinya,  merupakan akar dari suatu polinomial minimal  yang berderajat . Secara simbolis, maka terdapat suatu  sedemikian sehingga

dengan .

Informasi bilangan bulat dari koefisien-koefisien ini sulit untuk dimanfaatkan ketika dikalikan dengan perpangkatan dari bilangan irasional , namun perpangkatan tersebut dapat diserap ke dalam suatu integral yang “sebagian besar” merupakan bilangan bulat. Untuk suatu bilangan bulat , didefinisikan polinomial

sehingga diperoleh

Perhatikan bahwa persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk

dengan

Dengan memilih nilai  yang memenuhi Lema 2 dan Lema 3, maka bilangan super kecil  ditambah dengan bilangan bulat tak nol  akan sama dengan nol, dan jelas bahwa hal tersebut tidak mungkin terjadi. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka asumsi di awal (bahwasanya  merupakan pembuat nol dari suatu polinomial  dengan koefisien bilangan bulat) bernilai salah, sehingga dapat disimpulkan bahwa  bukan bilangan aljabar. Dengan kata lain, terbukti bahwa  transendental.

 Bukti bahwa  transendental 
Strategi serupa (yang berbeda dari pendekatan orisinal dari Lindemann) dapat digunakaan untuk menunjukkan bahwa bilangan  merupakan bilangan transendental. Selain fungsi gamma dan beberapa estimasi seperti pada bukti untuk , fakta mengenai polinomial simetris memiliki peran penting dalam pembuktiannya.

Untuk informasi lebih lanjut mengenai bukti Ketransendentalan  dan , lihat bagian referensi dan pranala luar.

 Lihat juga 

 Teori bilangan transendental, teori yang mengkaji masalah yang berkaitan dengan bilangan transendental.
 Elemen transendental, perumuman dari bilangan transendental pada aljabar abstrak.
 teorema Gelfond–Schneider
 Penghampiran Diophantus
 Period, himpunan terhitung dari bilangan-bilangan (termasuk semua bilangan aljabar dan beberapa bilangan transendental) yang dapat didefinisikan melalui persamaan integral.
 Konjektur Hartmanis–Stearns, konjektur mengenai kriteria transendental berdasarkan kompleksitas perhitungan dari ekspansi suatu bilangan.

 Catatan 

 Referensi 

 Sumber 
































 Pranala luar 






  — Bukti bahwa  transendental, dalam bahasa Jerman.


Kategori:Bilangan transendental
Kategori:Artikel yang memuat pembuktian