Kaidah pendiferensialan

Kaidah pendiferensialan (atau aturan pendiferensialan; ) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.

 Kaidah dasar pendiferensialan 

Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika didefinisikan dengan baikCalculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.— termasuk bilangan kompleks (C).Complex Variables, M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3

 Pendiferensialan adalah linier 

Untuk fungsi-fungsi f dan g dan bilangan real a dan b apapun, turunan fungsi  terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Kasus-kasus khusus meliputi:
 Kaidah faktor konstan

 Kaidah penjumlahan

 Kaidah pengurangan

 Kaidah hasil kali 

Untuk fungsi-fungsi f dan g, turunan fungsi h(x) = f(x) g(x) terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 Kaidah rantai 

Turunan dari fungsi h(x) = f(g(x)) terhadap x dapat ditulis

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Namun, dengan melonggarkan penafsiran h sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai

 Kaidah fungsi inversi 

Jika fungsi f mempunyai suatu fungsi invers g, yaitu  dan , maka

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

 Hukum pangkat, polinomial, hasil bagi, dan timbal-balik 
 Kaidah pangkat polinomial atau elementer 

Jika , untuk bilangan bulat n apapun maka

Kasus-kasus khusus meliputi:
 Kaidah konstanta: jika f adalah fungsi konstanta f(x) = c, untuk bilangan c apapun, maka untuk semua x, f′(x) = 0.
 jika f(x) = x, maka f′(x) = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi:
 Turunan suatu fungsi affine adalah suatu konstanta: jika f(x) = ax + b, maka f′(x) = a.

Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.

 Kaidah timbal-balik 

Turunan dari h(x) = 1/f(x) untuk fungsi f (yang "tidak menghilang"; nonvanishing) manapun adalah:

Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:

Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan dari kaidah rantai (chain rule) dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; power rule).

 Kaidah hasil bagi 

Jika f dan g adalah fungsi, maka:
 di mana g bukan nol.

Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus f(x) = 1.

 Kaidah pemangkatan yang dirampat 

Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" (functional power rule): untuk fungsi-fungsi f dan g apappun,

di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.

Kasus-kasus khusus:
 Jika f(x) = xa, f′(x) = axa − 1 bilamana a adalah suatu bilangan real dan x adalah positif.
 Kaidah timbal balik (reciprocal rule) dapat diturunkan sebagai kasus khsusu di mana g(x) = −1.

 Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik 

perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

persamaan di atas adalah benar untuk semua c, tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.

 Turunan logaritmik 

Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
 wherever f is positive.

 Turunan fungsi trigonometri 

Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, . Nilainya terletak dalam rentang  dan mencerminkan kuadran dari titik . Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu ) maka . Turunan parsialnya adalah

, and 

 Turunan fungsi hiperbolik 

 Turunan fungsi-fungsi khusus 
Fungsi gamma
Fungsi Riemann Zeta

 Turunan integral 

Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap x dalam fungsi

di mana fungsi-fungsi  dan  keduanya kontinu dalam  dan  dalam wilayah tertentu bidang , termasuk  , dan fungsi-fungsi  dan  keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk . Maka untuk :

Rumus ini merupakan bentuk umum dari kaidah integral Leibniz dan dapat diturunkan menggunakan
Teorema fundamental kalkulus.

 Turunan ke-n 
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-n suatu fungsi, di mana n adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:

 Rumus Faà di Bruno 

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

di mana  dan himpunan  terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine .

 Kaidah Leibniz umum 

Jika f dan g dapat diturunkan n kali, maka

 Lihat pula 
 Turunan fungsi
 Fungsi Hiperbolik
 Fungsi invers
 Fungsi trigonometri
 Kalkulus matriks

 Referensi 

 Sumber dan pustaka tambahan 
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam:
 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
 The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
 NIST Handbook of Mathematical Functions, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5.

 Pranala luar 

 Derivative calculator with formula simplification
 A Table of Derivatives 

Kategori:Matematika
Kategori:Kalkulus