Uji kekonvergenan

Uji kekonvergenan () dalam matematika adalah kumpulan metode untuk melakukan uji yang berkenaan dengan deret konvergen, kekonvergenan bersyarat, kekonvergenan mutlak, kekonvergenan selang atau divergensi suatu deret tak terhingga.

 Daftar uji kekonvergenan 

 Limit dari jinumlah: Jika limit dari jinumlah (atau limit dari yang dijumlahkan) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu , maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan barisan Cauchy hanya jika limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan  jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
 Uji rasio: Uji ini juga dikenal sebagai kriteria d'Alembert (d'Alembert's criterion). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat  sedemikian rupa sehinggaJika , maka deret tersebut konvergen. Jika , maka deret tersebut divergen. Jika , maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
 Uji akar: Uji ini juga dikenal sebagai "Uji akar ke-n" (n-th root test)atau kriteria Cauchy (Cauchy's criterion). Misalkandengan  melambangkan limit atas (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika , maka deret tersebut konvergen. Jika , maka deret tersebut divergen. Jika , maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
 Uji integral: Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan  adalah suatu fungsi positif dan menurun secara monoton sedemikian rupa sehingga . Jikamaka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret  konvergen jika dan hanya jika integralnya konvergen.
 Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah uji deret-p: Misalkan , maka  konvergen jika . Kasus  untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus  adalah masalah Basel dan deret tersebut konvergen menuju . Secara umum, untuk , maka deret tersebut sama dengan fungsi zeta Riemann dari , yaitu .
 Uji perbandingan langsung: Jika deret  merupakan suatu deret konvergen mutlak dan  untuk  yang cukup besar, maka deret  konvergen mutlak.
 Uji perbandingan limit: Jika , dan limit  ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka  konvergen jika dan hanya jika  konvergen.
 Uji kondensasi Cauchy: Misalkan  adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah  adalah konvergen jika dan hanya jika jumlah  konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan .
 Uji Abel: Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:  adalah suatu deret konvergen;  adalah suatu urutan monoton; dan  mempunyai batasan (bounded). Maka  juga konvergen.
Uji Dirichlet: Jika  adalah barisan bilangan real dan  adalah barisan bilangan kompleks yang memenuhi syarat bahwa: , , dan  untuk setiap bilangan bulat positif  dengan menyatakan suatu konstan, maka deret  konvergen.
Uji kekonvergenan Cauchy: Suatu deret  adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat suatu bilangan asli  sehingga berlaku untuk semua  dan untuk semua .
Teorema Stolz–Cesàro: Misalkan  dan  adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa  adalah barisan yang monoton sempurna dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:Maka, limit
Uji-M Weierstrass: Misalkan  adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan , dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif  yang memenuhi syarat-syarat:  untuk semua  dan semua , serta  konvergen. Maka deret  konvergen mutlak dan seragam di .
 Uji Raabe–Duhamel: Misalkan  adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan Jika  ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika , maka deret itu konvergen; jika , maka deret itu divergen; dan jika , maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan  adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat  dan  (adalah suatu bilangan asli) sehinggauntuk semua , maka deret  konvergen.

 Catatan 

 Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk deret Fourier digunakan uji Dini

 Contoh 
Misalkan, diberikan suatu deretUji kondensasi Cauchy menyiratkan bahwa deret di () adalah konvergen terhingga jikakonvergen terhingga. Karenamaka deret di () adalah deret geometri dengan rasio . Deret di () adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis  Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di () adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika 

 Kekonvergenan hasil kali 
Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari hasil kali tak terhingga. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:

 Misalkan  adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga  konvergen jika dan hanya jika deret  konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan , maka  mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret  konvergen.

Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.

 Lihat pula 
 Kaidah L'Hôpital
 Kaidah geser

 Referensi 

 Pranala luar 
 Flowchart for choosing convergence test 


Kategori:Matematika