Pembagi

Dalam ilmu matematika, pembagi () atau faktor () dari suatu bilangan bulat  adalah suatu bilangan bulat  yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan , sehingga  merupakan hasil perkalian . Dalam kasus tersebut,  habis dibagi dengan  jika  merupakan pembagi dari , sehingga  dibagi  tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

 Definisi 
Suatu bilangan bulat  habis dibagi oleh bilangan bulat taknol  jika terdapat bilangan bulat  yang memenuhi . Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:



Notasi tersebut dapat dibaca:  membagi   adalah pembagi   adalah faktor dari  atau  adalah hasil perkalian  Jika  tidak membagi , maka notasinya adalah 

Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk :
 Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk ,  untuk setiap bilangan bulat .
 Jika ekspresi tersebut mensyaratkan  bukan bilangan nol,  untuk setiap bilangan bulat taknol .

 Pengertian umum 
Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.

1, −1,  dan  disebut pembagi trivial dari , sedangkan pembagi  yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial. Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.

Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

 Contoh 
jmpl|250px|Plot bilangan pembagi bilangan bulat dari 1 sampai 1000. Bilangan prima mempunyai tepat dua pembagi, dan bilangan yang sangat komposit dalam huruf tebal.
 7 adalah pembagi dari 42 karena , sehingga dapat dikatakan . Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
 Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
 Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
 , karena .
 Himpunan semua faktor 60, , yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:

pus|350px

 Pembahasan lanjutan 
Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

 Jika  dan , maka . Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
 Jika  dan , maka  atau 
 Jika  dan  maka  berlaku, seperti halnya  Namun, jika  dan  maka  tidak selalu berlaku (misalnya,  dan , tapi ).

Jika  dan , maka . Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.

Jika  merupakan bilangan prima dan , maka  atau 

Bilangan pembagi postif  yang tidak sama dengan  disebut  atau  dari  (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi  melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut  dari .

Bilangan bulat  yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan  merupakan darab (hasil kali) atas bilangan faktor prima dari  yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.

Bilangan  merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari  atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari 

 Lihat pula 
 Fungsi aritmetik
 Kaidah divisibilitas
 Fungsi pembagi
 Algoritme Euclid
 Pecahan
 Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
 Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000

 Referensi 

 Pustaka 

 Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.

 Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).


Kategori:Teori bilangan
Kategori:Matematika