Garis bilangan riil

Garis bilangan riil ( atau real line) dalam matematika, adalah garis di mana setiap titiknya melambangan suatu bilangan riil. Jadi, garis bilangan riil adalah himpunan semua bilangan riil , dipandang sebagai suatu ruang geometri, yaitu ruang Euklidean dalam satu dimensi.

 Sebagai kontinum linear 
Garis bilangan riil adalah suatu kontinum linear menurut tatanan  standar. Secara khusus, garis bilangan riil adalah himpunan terurut linear menurut , dan urutan ini adalah rapat dan mempunyai sifat batasan-bawah-terkecil.

 Sebagai ruang metrik 
jmpl|300px|ka|Metrik pada garis bilangan riil adalah beda mutlak.
Garis bilangan riil membentuk suatu ruang metrik, dengan fungsi jarak yang dinyatakan oleh beda mutlak:

 Sebagai ruang topologi 
ka|jmpl|150px|Garis bilangan riil dapat mengalami kompaktifikasi dengan penjumlahan suatu titik pada tak terhingga.
Garis bilangan riil memuat suatu topologi standar yang dapat diperkenalkan dalam dua jalan ekuivalen yang berbeda.
 Pertama, karena bilangan riil adalah urutan total, bilangan-bilangan itu memuat topologi tatanan.
 Kedua, bilangan-bilangan riil mewarisi suatu topologi metrik dari metrik sesuai definisi di atas. Topologi tatanan dan topologi metrik pada  adalah sama. Sebagai suatu ruang topologi, garis bilangan riil bersifat homeomorfik pada interval terbuka .

 Sebagai suatu ruang vektor 
Garis bilangan riil adalah suatu ruang vektor atas medan  dari bilangan riil (yaitu, atas dirinya sendiri) dari dimensi 1. Mempunyai suatu hasilkali dalam standar, membuatnya suatu ruang Euklides. Norma standar pada  adalah sekadar fungsi nilai absolut.

 Sebagai suatu ruang pengukuran 
Garis bilangan riil memuat suatu pengukuran kanonikal, yaitu "pengukuran Lebesque". Pengukuran ini dapat didefinisikan sebagai kelengkapan suatu pengukuran Borel yang didefinisikan pada , di mana pengukuran pada interval apa pun merupakan panjang dari interval itu.

Pengukuran Lebesgue pada garis bilangan riil adalah satu contoh paling sederhana dari suatu pengukuran Haar pada sebuah kelompok kompak lokal.

 Dalam aljabar bilangan riil 
Garis bilangan riil merupakan subruang satu dimensi dari suatu aljabar bilangan riil  di mana . Misalnya, dalam bidang kompleks , subruang  adalah suatu garis bilangan riil. Mirip dengan itu, aljabar kuaternion

mempunyai suatu garis bilangan riil dalam subruang .

Ketika aljabar bilangan riil adalah suatu jumlah langsung  maka suatu konjugasi pada  dinyatakan dengan pemetaan  subruang . Secara demikian garis bilangan riil terdiri dari titik-titik tetap pada konjugasi tersebut.

 Lihat pula 
 Garis (geometri)
 Garis bilangan
 Bilangan riil

 Referensi 

 Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.

Kategori:Bilangan
Kategori:Matematika