Deret (matematika)

Deret () adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Barisan dan deret hingga mempunyai elemen pertama dan terakhir yang terdefinisi, sedangkan barisan dan deret tak terhingga berlangsung terus menerus tak terbatas.Gullberg, Jan, Mathematics: from the birth of numbers, W.W. Norton, 1997, hlm. 264, ISBN 0-393-04002-X

Dalam matematika, jika ada suatu barisan bilangan tak hingga , maka suatu deret secara mudahnya adalah hasil dari penambahan semua elemen-elemen itu bersama-sama: . Ini dapat ditulis lebih ringkas menggunakan notasi Sigma ∑. Contohnya adalah deret terkenal dari Paradoks Zeno dan representasi matematikanya:

Suku-suku dalam suatu deret sering ditentukan menurut kaidah tertentu, misalnya dengan suatu rumus, atau melalui suatu algoritma. Mengingat tidak terbatasnya jumlah suku, hasilnya sering disebut deret tak terhingga atau deret takhingga (). Berbeda dengan penjumlahan hingga, deret tak terhingga memerlukan bantuan dari analisis matematika, dan secara khusus limit, untuk dapat dipahami dan dimanipulasi secara penuh. Selain jumlahnya yang banyak dalam matematika, deret tak terhingga juga sering digunakan dalam bidang-bidang kuantitatif lain seperti fisika, sains komputer, dan finansial.

 Notasi 
Simbol pada deret yaitu  menunjukkan penjumlahan dan dapat diinterpretasikan dengan mengulang hasil keliling (biasanya ditentukan di bawah penjumlahan), karena kita membutuhkan (biasanya bilangan bulat) nilai dalam rentang yang ditentukan (dari nilai awal ke batas atas), kemudian menambahkan ekspresi yang dihasilkan. Misalkan:

Keliling pada nilai  kita memiliki nilai awal . Hal tersebut diiterasi untuk semua nilai integer hingga dengan nilai  dari batas tersebut. Setelah itu iterasi tersebut akan dijumlahkan.

 Konvergensi 
Sebuah deret dikatakan konvergen ke suatu nilai jika batas jumlah parsial mendekati nilai tersebut;  yaitu, diberikannya barisan tak terbatas  adalah deret:

Jika hasilnya limit tidak ada, deret tersebut dikatakan divergen.

Suatu deret dikatakan konvergen secara absolut jika deret yang terbentuk dari nilai absolut syarat pada konvergen;  yaitu, diberi urutan tak terbatas :

konvergensi.ka|jmpl|Fungsi eksponensial (biru), dan jumlah n+1 elemen pertama dari deret pangkat Maclaurin (merah).

 Sifat dasar 
 Definisi 
Untuk setiap barisan  bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks, fungsi, dan lain-lain, deret yang bersangkutan didefinisikan sebagai jumlah formal tertata
.
Barisan jumlah parsial  bersangkutan dengan suatu deret  didefinisikan bagi setiap  sebagai jumlah Barisan  dari  hingga 

Berdasarkan definisi, deret  konvergen menjadi suatu limit  jika dan hanya jika urutan yang bersangkutan dengan jumlah parsial  konvegen ke . Definisi ini biasanya ditulis sebagai

 Deret fungsi 

Suatu deret fungsi-fungsi bernilai real atau kompleks

konvergen sesetitik pada suatu himpunan , jika deret konvergen untuk setiap  di  sebagai suatu deret biasa dari bilangan real atau bilangan kompleks. Jumlah parsialnya ekuivalen dengan di atas.

Deret tersebut konvergen ke  ketika  untuk setiap .
 Deret pangkat 

Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk

dengan  melambangkan koefisien suku ke-,  adalah konstanta dan  berubah-ubah di sekitar  (karena alasan ini, kadang-kadang deret seperti ini dikatakan berpusat di ). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.

Pada banyak keadaan  sama dengan nol, contohnya pada deret Maclaurin. Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana
 .

Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).

Deret Taylor pada suatu titik c pada suatu fungsi adalah suatu deret pangkat yang dalam banyak kasus berkonvergen menjadi suatu fungsi dalam lingkungan . Misalnya, deret

adalah deret Taylor dari  pada titik origin dan berkonvergen kepadanya untuk setiap .

 Lihat pula 
 Pecahan berlanjut
 Tes konvergensi
 Deret konvergen
 Deret divergen
 Komposisi tak terbatas dari fungsi analisis
 Ekspresi tak terbatas
 Produk tak terbatas
 Operasi biner berulang
 Daftar deret matematika
 Penjumlahan prefiks
 Transformasi berurutan
 Ekspansi deret

 Referensi 

 Pustaka 
 Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.


 Pranala luar 


 Infinite Series Tutorial

Kategori:Kalkulus
Kategori:Matematika