1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat positif yang berurutan. Di samping itu, setiap bilangan bulat tersebut diberi tanda plus dan minus secara bergantian sehingga membentuk deret selang-seling. Dengan menggunakan notasi penjumlahan sigma, jumlah m suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai

Deret di atas divergen. Dengan kata lain, barisan dari jumlah parsial deret tersebut, , tidak menuju limit yang pasti. Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, Leonhard Euler menemui sebuah kejanggalan:

Penjelasan yang dianggap ketat secara matematis mengenai kejanggalan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian. Rincinya, per tahun 1890, beberapa matematikawan, seperti Ernesto Cesàro, dan Émile Borel, mulai menyelidiki berbagai metode penjumlahan, termasuk pembaharuan baru atas metode Euler, yang terdefinisi baik agar dapat menentukan nilai deret-deret divergen. Sebagian besar metode penjumlahan tersebut menetapkan nilai atas deret  sebagai . Salah satu metode yang tidak dapat menentukan nilai deret tersebut adalah penjumlahan Cesàro. Oleh karena itu, diperlukan metode yang sedikit lebih baik, seperti penjumlahan Abel.

Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... memiliki hubungan erat dengan deret Grandi,  Oleh karena itu, Euler mengelompokkan keduanya sebagai kasus khusus dari deret umum , berturut-turut  dan  untuk masing-masing deret. Selain itu, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... juga berhubungan dengan masalah Basel. Karena hubungan ini, Euler meneliti deret tersebut untuk mengkaji bentuk lain masalah terkait. Penelitian ini kemudian mengarah pada persamaan fungsional yang sekarang dikenal sebagai fungsi eta Dirichlet dan fungsi zeta Riemann.

 Kedivergenan 
Suku-suku  pada deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak mendekati 0. Oleh karena itu, berdasarkan uji suku, deret tersebut dinyatakan sebagai divergen. Kedivergenan juga dapat ditunjukkan secara langsung dari definisi deret konvergen. Detailnya, suatu deret tak hingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan dari jumlah parsialnya konvergen pada sebuah limit. Dalam hal ini, limitnya adalah nilai deret tak hingga tersebut. Untuk menunjukannya, jumlah parsial dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... adalah:

Barisan dari penjumlahan parsial menunjukkan bahwa deret tersebut tidak konvergen ke suatu bilangan tertentu. Dengan kata lain, untuk sembarang x yang ditetapkan sebagai limit, terdapat suatu titik yang semua jumlah parsialnya berada di luar interval . Dengan demikian,  divergen.

Karena setiap barisan atau hasil dari penjumlahan parisal tersebut dapat dipasangkan dengan elemen himpunan bilangan bulat, hal ini menunjukkan ketercacahan  . Dalam artian lain, jumlah parsial tersebut mencakup setiap bilangan bulat tepat satu kali. Bahkan, angka nol apabila bagian kosong diikutkan.

Heuristik untuk penjumlahan
Stabilitas dan linearitas
Karena suku  mengikuti pola yang sederhana, deret  dapat dimanipulasi dengan memindahkan letak setiap suku sedemikian rupa sehingga memperoleh sebuah nilai. Singkatnya, jika deret tersebut dapat ditulis menjadi  dengan s adalah sebuah bilangan, manipulasi pada deret tersebut akan memperoleh nilai  menyajikan penurunan ini bersamaan dengan evaluasi deret Grandi .


Meskipun  tidak dapat dijumlahkan sesuai pada umumnya, persamaan  dapat dikatakan sebagai jawaban paling logis jika deret seperti itu harus diberi nilai. Sehubungan dengan itu, bentuk generalisasi untuk menentukan nilai "penjumlahan" deret divergen disebut sebagai metode penjumlahan atau metode keterjumlahan. Untuk jenisnya, metode tersebut memiliki banyak ragam. Biasanya, setiap ragam harus memiliki beberapa sifat dari penjumlahan biasa. Di luar hal ini, apabila diteliti lagi, manipulasi yang dijelaskan di atas sebenarnya membuktikan suatu hal. Pada konteks ini, apabila deret  ditentukan jumlahnya menggunakan metode keterjumlahan yang linear dan stabil, jumlah deret tersebut akan bernilai . Lebih lanjut,

metode tersebut pasti menjumlahkan deret Grandi, yaitu 

 Hasil kali Cauchy 
Pada tahun 1891, Ernesto Cesàro menyatakan bahwa deret divergen dapat dijelaskan dengan menyeluruh melalui kalkulus. Dalam hal ini, ia memperlihatkan bahwa, "Saya telah menulis  dan menyatakan kedua sisinya sama dengan ." Cesàro mengatakan bahwa persamaan tersebut merupakan penerapan dari teorema yang ia telah perkenalkan pada tahun sebelumnya. Teorema tersebut merupakan yang pertama dalam sejarah mengenai penjumlahan deret divergen (lihat disini untuk penjelasan teoremanya). Secara matematis, kunci utama dari teorema tersebut ada pada konsep perkalian Cauchy. Sebagai contoh, apabila diterapkan pada kasus yang diperlihatkan oleh Cesàro, deret  . dapat dinyatakan sebagai perkalian (konvolusi diskret) atas  dengan .

Dalam praktiknya, perkalian Cauchy antara dua deret tak terhingga dapat dilakukan walaupun kedua deret tersebut divergen. Pada kasus an = bn = (−1)n, suku-suku hasil kali Cauchy dapat dituliskan dengan deret diagonal

Maka deret hasil kalinya menjadi

Jadi, dari perhitungan di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa setiap metode penjumlahan yang menjumlahkan deret  menjadi 1/2 akan menghasilkan nilai 1/4 untuk deret . apabila dikonvolusi diskret (dikalikan dengan Cauchy). Per penjelasan pada bagian sebelumnya, hal ini menyiratkan kesetaraan antara keterjumlahan  dan  apabila metode yang digunakan bersifat linear, stabil, dan dapat dikalikan dengan perkalian Cauchy.

Perhitungan di atas merupakan salah satu bentuk dari penggunaan teorema Cesàro. Apabila teorema Cesàro digunakan untuk menghitung jumlah deret  yang berkelas , dapat digunakan bentuk biasa. Di sisi lain, deret  memerlukan bentuk teorema Cesàro yang lebih kuat. Kelas penjumlahan Cesàro yang merujuk untuk deret tersebut adalah  Dalam menghitung nilai kedua deret tersebut, dapat dilakukan seperti cara di atas karena semua bentuk teorema Cesàro bersifat linear dan stabil.

Metode khusus
Cesàro dan Hölder
Untuk mencari nilai (C, 1) dari deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... dengan menggunakan penjumlahan Cesàro, diperlukan penghitungan rata-rata aritmetika dari jumlah parsial deret tersebut. Jumlah parsialnya adalah:

dan rata-rata aritmetika dari jumlah parsial ini adalah:

Urutan rata-rata ini tidak konvergen. Oleh karena itu, deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... tidak dapat ditentukan nilainya dengan metode penjumlahan Cesàro .

Ada dua bentuk terkenal atas perluasan metode penjumlahan Cesàro. Dalam hal ini, bentuk yang sederhana adalah metode (H, n) dengan n bilangan asli. Pada kasus di atas, penjumlahan Cesàro memiliki bentuk (H, 1). Di sisi lain, bentuk  akan mengulangi penghitungan rata-rata. Apabila diteliti lagi, urutan di atas memiliki rata-rata ganjil yang konvergen ke . Sementara itu, semua rata-rata genapnya sama dengan 0. Karena itu, ketika menerapkan bentuk  atau rata-rata atas rata-rata konvergen, rata-rata dari 0 dan  akan menghasilkan nilai sebesar .. Untuk detail perhitungan selengkapnya, lihat . Jadi,  adalah (H, 2) dan bernilai sebesar .

Huruf "H" adalah inisial atas nama Otto Hölder. Ia yang pertama kali membuktikan pada tahun 1882 sesuatu yang sekarang dianggap oleh matematikawan sebagai hubungan antara penjumlahan Abel dan (H, n). Pada pembuktian tersebut, deret  adalah contoh pertamanya.; . Ferraro mengkritik penjelasan Tucciarone (p. 7) tentang bagaimana Hölder sendiri memikirkan hasil umum, tetapi penjelasan kedua penulis mengenai perlakuan Hölder terhadap 1 − 2 + 3 − 4 + ... serupa. Rincinya, fakta bahwa  adalah nilai dari deret  menjamin bahwa itu adalah jumlah Abel. Hal ini akan dibuktikan langsung di bagian bawah.

Perluasan penjumlahan Cesàro yang umum dirumuskan adalah bentuk (C, n). Secara matematis, bentuk tersebut dan (H, n) terbukti selalu memberikan hasil yang sama. Akan tetapi, keduanya mempunyai latar belakang sejarah yang berbeda. Latar belakang (C, n) sendiri bermula pada tahun 1887 ketika Cesàro menggunakan metode penjumlahan yang mirip dengan (C, n), tetapi ia hanya memberikan sedikit contoh. Salah satu contoh yang ia berikan yakni penjumlahan  menjadi . Namun, metode tersebut belum ia definisikan secara formal. Akhirnya, pada tahun 1890, ia secara formal mendefinisikan metode (C, n) untuk membantu menyatakan salah satu teoremanya. Detailnya, teorema tersebut menyatakan bahwa perkalian Cauchy atas deret terjumlahkan (C, n) dan (C, m) adalah sama dengan deret terjumlahkan (C, m + n + 1).

Penjumlahan Abel

Pada tahun 1749, Leonhard Euler mengakui bahwa deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... divergen. Walaupun begitu, ia tetap menjumlahkannya:

Euler beberapa kali mengusulkan perluasan atas kata "jumlah". Dalam kasus , gagasannya mirip dengan penjumlahan Abel:

Setidaknya, untuk nilai absolut , Euler benar dalam hal ini

Untuk membuktikan kesamaan ekspresi di atas, perlu menggunakan perluasan Taylor pada ruas kanan atau pembagian bersusun polinomial. Pada ruas kiri, perlu menerapkan tata cara heuristik seperti bagian sebelumnya. Dalam hal ini,  dikalikan dua kali atau deret geometri . dikuadratkan. Selain itu, Euler juga menyarankan untuk menurunkan suku deret geometri tersebut satu per satu sebagai salah satu alternatif.Misalnya,  mendukung perpecahan yang panjang tetapi tidak melaksanakannya;  menghitung produk Cauchy. Nasihat Euler tidak jelas; lihat .  bahkan menyarankan metode teori kategori yang melibatkan himpunan lonjong perkalian dan osilator harmonis kuantum. Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF).  math.ucr.edu (19 Desember 2003). Diakses pada 11 Maret 2007.

Dalam pandangan modern, fungsi generatif 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + ... tidak dapat didefinsikan sebagai suatu fungsi pada . Oleh karena itu, angka tersebut tidak dapat disubstitusikan begitu saja pada fungsi generatif terkait. Walaupun demikian, karena fungsinya terdefinisi untuk semua , limit ketika x mendekati 1 masih dapat diambil. Hal ini adalah definisi dari jumlah Abel:

Euler dan Borel

Euler menerapkan teknik lain pada deret tersebut, yakni transformasi Euler. Transformasi tersebut merupakan salah satu penemuannya. Untuk menghitung transformasi Euler, dimulai dengan barisan suku positif yang membentuk deret bolak-balik . Dalam hal ini, barisan  Elemen pertama barisan ini diberi label a0.

Selanjutnya, diperlukan barisan selisih maju dari . Dalam hal ini, hanya . Elemen pertama barisan ini diberi label Δa0. Di samping selisih maju, transformasi Euler juga bergantung pada selisih dari selisih. Biasanya, hal tersebut akan membutuhkan iterasi (pengulangan) yang banyak. Namun, semua selisih maju antara  adalah 0. Oleh karena itu, tidak diperlukan iterasi lagi. Lebih lanjut, transformasi Euler dari  akan didapatkan sebagai

Dalam terminologi modern, dapat dikatakan bahwa deret  terjumlahkan oleh metode Euler dan bernilai ..

Sehubungan dengan itu, apabila penjumlahan Euler dapat menghasilkan nilai atas deret tersebut, penjumlahan Borel juga. Secara hasil, nilai penjumlahannya akan sama.

Pemisahan skala
Saichev dan Woyczyński sampai pada  dengan hanya menerapkan dua prinsip: relaksasi yang sangat kecil dan pemisahan skala. Dengan kedua prinsip tersebut, mereka kemudian mendefinisikan kelompok besar "metode penjumlahan φ". Kelompok tersebut merupakan sekumpulan deret bernilai :

Jika φ(x) adalah suatu fungsi yang turunan pertama dan keduanya kontinu dan dapat diintegralkan pada (0, ∞) sehingga φ(0) = 1 dan limit dari φ(x) dan xφ(x) pada +∞ adalah sama-sama 0, maka 

Deret di atas merupakan perluasan atas penjumlahan Abel. Tepatnya, deret tersebut diperoleh dengan menyubtitusi φ(x) = exp(−x) pada jumlah Abel. Untuk ekspresi keseluruhannya, dapat dibuktikan dengan memasangkan suku-suku dalam deret tersebut hingga batas m. Kemudian, mengubah deret tersebut menjadi integral Riemann. Pada bagian integral Riemann, penyelesaian deret  menerapkan teorema nilai purata, tetapi dalam kasus ini diperlukan bentuk Lagrange yang lebih kuat atas teorema Taylor.

Generalisasi 

Hasil kali Cauchy rangkap tiga dari  adalah . Hasil kali tersebut memiliki suku bilangan segitiga yang berselang-seling. Untuk nilainya, berjumlah  apabila dihitung menggunakan jumlah Abel atau Euler. Sementara itu, hasil kali Cauchy rangkap empat dari  adalah . Hasil kali tersebut memiliki suku bilangan piramida yang berselang-seling. Untuk nilainya, berjumlah  apabila dihitung menggunakan jumlah Abel.

Generalisasi dari 1 − 2 + 3 − 4 + ... secara umum adalah deret  dengan nilai n bilangan bulat positif. Secara matematis, deret ini mempunyai jumlah Abel sebagai berikut:

Di sini, Bn adalah bilangan Bernoulli. Sementara itu, apabila hanya menggunakan n bilangan genap postitif, jumlah Abel menjadi

yang dapat diartikan bahwa nilai genap negatif dari fungsi zeta Riemann adalah nol. Jumlah ini dijadikan bahan ejekan oleh Niels Henrik Abel pada tahun 1826:

Guru Cesàro, Eugène Charles Catalan, juga meremehkan deret divergen. Oleh karena itu, di bawah pengaruh Catalan, Cesàro awalnya menyebut "rumus konvensional" untuk  sebagai "persamaan yang tidak masuk akal". Hal tersebut tampak pada tahun 1883 ketika Cesàro mengungkapkan bahwa rumus tersebut secara matematis salah, tetapi memiliki beberapa manfaat. Pada akhirnya, dalam Sur la multiplication des séries tahun 1890, Cesàro mengubah pikirannya dan mengambil pendekatan yang lebih terbuka. Pendekatan ini ia mulai dengan pendefinisian ulang.

Deret umum tersebut juga dipelajari untuk nilai nonbilangan bulat n, pembentuk fungsi eta Dirichlet. Salah satu tujuan Euler mempelajari hal tersebut adalah karena hubungannya dengan persamaan fungsional fungsi eta. Euler sendiri telah menjadi terkenal karena menemukan nilai fungsi zeta pada bilangan bulat genap positif (termasuk masalah Basel). Selain itu, ia juga telah mencoba menemukan nilai fungsi zeta pada bilangan bulat ganjil positif (termasuk konstanta Apéry). Akan tetapi, tidak ada solusi yang tepat untuk masalah tersebut dan masih sulit dipahami hingga saat ini. Untuk melanjutkan, ketika hubungan tersebut ditemukan, hasil dari fungsi eta akan mengarah langsung pada persamaan fungsional fungsi zeta Riemann. Dalam menemukan hasil yang dimaksud, Euler menggunakan metodenya sendiri (metode Euler) karena nilai deret Dirichlet fungsi tersebut dapat ditentukan oleh jumlah Abel di titik mana pun. Sementara itu, apabila metodenya Euler diterapkan pada fungsi zeta, penentuan nilainya dengan penjumlahan Abel akan jauh lebih sulit jika dijumlahkan pada titik divergensi. Hal ini terjadi karena sebagian besar deret pembentuk fungsi zeta membutuhkan metode penjumlahan yang lebih baik. Salah satu contohnya adalah deret terkenal , pasangan . Di luar matematika, deret tersebut memiliki penerapan yang luas pada ilmu fisika.

 Lihat juga 
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

Referensi

Daftar pustaka




  Originally published as 


  2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. . .



  Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with . Additionally, , .





Kategori:Bilangan
Kategori:Deret divergen
Kategori:Deret geometri
Kategori:Paradoks matematis