Integral garis

Dalam matematika, integral garis adalah integral yang dihitung dengan mengevaluasi fungsi yang hendak diintegralkan sepanjang suatu lintasan. Istilah integral kontur juga digunakan, walau istilah tersebut lebih sering digunakan untuk Integral garis pada bidang kompleks.

Fungsi yang akan diintegralkan dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Nilai dari integral garis adalah jumlahan dari nilai medan pada semua titik pada kurva, dibobotkan dengan suatu fungsi skalar pada kurva (biasanya panjang busur, atau pada medan vektor, darab bintik dari medan vektor dengan vektor diferensial pada kurva). Pembobotan ini membedakan integral garis dengan integral yang lebih sederhana pada suatu selang. Banyak rumus sederhana dalam fisika (seperti definisi usaha ) memiliki versi kontinu dalam bentuk integral garis (dalam kasus ini,  menghitung besar usaha yang dilakukan suatu benda yang bergerak dalam medan listrik atau medan gravitasi  pada lintasan ).

 Kalkulus vektor 
Secara kualitatif, integral garis pada kalkulus vektor dapat dipandang sebagai suatu ukuran efek keseluruhan dari suatu medan tensor di sepanjang lintasan tertentu. Sebagai contoh, integral garis pada medan skalar (tensor rank 0) dapat diartikan sebagai luas daerah dibawah medan yang diukir oleh suatu lintasan. Hal ini dapat divisualkan sebagai permukaan yang dibentuk oleh fungsi  dan suatu lintasan  pada bidang-xy. Melalui visualisasi ini, nilai integral garis dari  ialah luasan dari "tirai" yang tercipta ketika titik-titik pada permukaan yang tepat di atas  diukir.

 Integral garis pada medan skalar 
 Definisi 
Diberikan suatu
 Bilangan asli 
 Himpunan , dan
 Medan skalar 
Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal  didefinisikan sebagai

dengan  adalah sembarang fungsi parameter yang bersifat bijektif dari lintasan  sedemikian sehingga  dan  adalah ujung dari lintasan  dan . Pada keseluruhan artikel ini, notasi  menyatakan norma Euklides.

Fungsi  disebut sebagai integran, lintasan  adalah domain pengintegralan, dan simbol  dapat diartikan sebagai panjang busur dari lintasan  (atau dengan kata lain, panjang diferensial dari ). Integral garis pada medan skalar di sepanjang lintasan  tidak bergantung pada pemilihan parameterisasi fungsi  dari lintasan .

Saat  merupakan lintasan tertutup,Suatu lintasan disebut tertutup jika , dengan . simbol  sering kali digunakan untuk menekankan bahwa lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup.

Secara geometris, saat medan skalar  terdefinisi pada suatu bidang , grafiknya merupakan suatu permukaan  pada ruang, dan integral garis memberikan luasan (bertanda) dari penampang lintang yang dibatasi oleh lintasan  dan grafik fungsi .

 Penurunan rumus 
Integral garis pada medan skalar dapat dikonstruksikan dari jumlah Riemann menggunakan definisi dari fungsi , lintasan , serta fungsi parameter  dari lintasan . Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan  menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang  (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) akan dipartisi menjadi  selang bagian  dengan panjang yang sama, yaitu

dengan . Perhatikan bahwa  menyatakan vektor posisi dari titik ke- pada selang , dan

menyatakan panjang garis lurus yang menghubungkan  dan . Oleh karena  menyatakan nilai fungsi  (yang berupa skalar) pada titik , maka ekspresi

dapat diartikan sebagai luas bertanda dari persegi panjang dengan tinggi  dan lebar . Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka

Akibatnya, diperoleh

 Integral garis pada medan vektor 
 Definisi 
Diberikan suatu
 Bilangan asli 
 Himpunan , dan
 Medan vektor 
Integral garis di sepanjang lintasan mulus sesepenggal  yang searah dengan  didefinisikan sebagai

dengan  menyatakan operasi darab bintik dan  adalah sembarang fungsi parameter regulerSecara matematis, maka  untuk setiap nilai  dari lintasan  sedemikian sehingga  dan  adalah ujung dari lintasan  dan .

Berdasarkan definisi di atas, maka integral garis pada medan skalar merupakan integral garis pada medan vektor, dimana vektornya selalu menyinggung lintasan pengintegralan.

Integral garis pada medan vektor tidak bergantung pada parameterisasi  dalam nilai mutlak, namun bergantung pada orientasi kurva. Lebih tepatnya, nilai integral garisnya akan berganti tanda saat orientasi parameterisasinya dibalik.

 Penurunan rumus 
350px|thumb|Lintasan sebuah partikel (yang berwarna merah) di sepanjang kurva pada medan vektor. Dimulai dari titik , partikelnya menelusuri lintasan  di sepanjang medan vektor . Hasil darab bintik (garis hijau) dari vektor singgung (panah merah) dengan medan vektor (panah biru) membentuk suatu luas daerah di bawah kurva, yang merupakan integral garis dari lintasan tersebut.

Dengan menggunakan definisi dari fungsi , lintasan , serta fungsi parameter  dari lintasan , maka integral garis pada medan vektor dapat diturunkan dengan cara serupa seperti pada medan skalar, namun dengan tambahan operasi darab bintik. Hal ini dapat dilakukan dengan menghampiri lintasan  menjadi lintasan poligonal. Secara matematis, maka selang  (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) akan dipartisi menjadi  selang bagian  dengan panjang yang sama, yaitu

dengan . Perhatikan bahwa  menyatakan vektor posisi dari titik ke- pada selang , dan

menyatakan vektor perpindahan dari  menuju . Oleh karena  menyatakan nilai fungsi  (yang berupa vektor) pada titik , maka ekspresi

dapat diartikan sebagai kontribusi dari nilai vektor  yang searah dengan vektor perpindahan . Dengan menggunakan konsep turunan fungsi bernilai vektor, maka

Akibatnya, diperoleh

 Bebas lintasan 

Jika suatu medan vektor  merupakan gradien dari suatu medan skalar  (atau dengan kata lain, jika  merupakan medan vektor konservatif), yaitu

maka menurut kaidah rantai peubah banyak, turunan dari komposisi dari  dan  ialah

yang merupakan integran pada integral garis dari . Lebih lanjut, jika diberikan suatu lintasan , maka

Dengan kata lain, integral dari  di sepanjang lintasan  hanya bergantung pada nilai  pada titik  dan , dan tidak bergantung dengan lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut. Hal inilah yang menjadi alasan medan vektor konservatif disebut sebagai bebas lintasan.

 Penerapan 
Integral garis sangat banyak digunakan pada bidang ilmu fisika. Sebagai contoh, besar usaha yang dilakukan suatu partikel yang melintasi suatu lintasan  pada suatu medan gaya  ialah nilai integral garis dari  pada lintasan .

 Aliran pada suatu lintasan 
Diberikan suatu
 Himpunan 
 Medan vektor , dengan 
 Lintasan 
 Fungsi parameter mulus sesepenggal , dengan 
Fluks dari  di sepanjang lintasan  didefinisikan sebagai

dengan  menyatakan operasi darab bintik dan  menyatakan vektor normal yang searah jarum jam dari lintasan .

Besar alirannya dihitung berdasarkan orientasi. Saat lintasan  diparameterkan dari  menuju  (dengan ), maka alirannya dihitung positif ketika  berada pada sisi yang searah dengan jarum jam dari vektor kecepatan .

 Integral garis fungsi kompleks 
Dalam analisis kompleks, integral garis didefinisikan dalam bentuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan kompleks. Diberikan suatu
 Himpunan terbuka 
 Fungsi 
 Lintasan 
 Fungsi parameter  dengan 
Integral garis  dapat didefinisikan dengan mempartisi selang  (yang merupakan daerah hasil dari parameterisasi fungsi ) menjadi  selang bagian  dengan panjang yang sama, yaitu

dengan . Serupa seperti konstruksi integral Riemann pada garis bilangan real, nilai integral garis  adalah limit dari jumlah Riemann

saat  mendekati 0, dengan 

Jika turunan dari Fungsi parameter  bersifat kontinu (atau dengan kata lain,  merupakan fungsi yang terdiferensialkan secara kontinu), maka integral garisnya dapat dicari dengan integral dari fungsi bernilai riil:

Integral garis terhadap diferensial konjugat kompleks  di sepanjang lintasan  didefinisikan sebagai

Integral garis dari fungsi kompleks dapat dicari dengan beberapa metode. Cara yang paling lugas adalah dengan memecah integral garisnya menjadi bagian riil dan bagian imajiner, sehingga permasalahannya akan menjadi perhitungan dua integral garis bernilai riil. Teorema integral Cauchy dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan integral garis dari suatu fungsi holomorfik menjadi suatu integral garis yang lebih mudah untuk diselesaikan. Jika lintasan pengintegralannya merupakan lintasan tertutup dan terdapat titik singular pada daerah yang dilingkup oleh lintasan pengintegralannya, maka teorema residu dapat memberikan nilai integral garis yang hendak dicari berdasarkan titik singularnya.

 Contoh 
Diberikan fungsi

dan kontur  adalah lingkaran satuan yang berpusat pada  dan berlawanan arah jarum jam. Dengan menggunakan rumus Euler, maka lintasan  dapat diparameterkan sebagai , dengan . Akibatnya,

Integral ini biasa digunakan sebagai langkah awal untuk membuktikan rumus integral Cauchy dan teorema residu.

 Hubungan antara integral garis fungsi kompleks dengan integral garis pada medan vektor 
Dengan memandang bilangan kompleks sebagai vektor berdimensi dua, integral garis dari fungsi bernilai kompleks  di sepanjang lintasan  memiliki bagian riil dan imajiner (berturut-turut) sama dengan integral garis dan integral fluks dari medan vektor yang bersesuaian dengan fungsi konjugat kompleks . Lebih tepatnya, jika
  memparameterkan lintasan 
 , untuk suatu fungsi  dan 
maka dengan memilih

diperoleh

Berdasarkan teorema Cauchy, integral pada ruas kiri bernilai nol ketika  merupakan fungsi holomorfik (memenuhi persamaan Cauchy-Riemann) untuk sembarang lintasan mulus tertutup . Menurut teorema Green, ruas kanan akan bernilai nol ketika medan vektor  tidak berolak (nilai kerul dari  sama dengan nol) dan tidak termampatkan (nilai divergensi dari  sama dengan nol).

 Lihat juga 

 Teorema Green
 Teorema Stokes
 Teorema divergensi
 Pengintegralan kontur
 Teorema Nachbin
 Integral permukaan
 Integral volume
 Unsur volume

 Referensi 

 Pranala luar 

 Modul pembelajaran dari Khan Academy:
 "Pengantar Integral Garis"
 "Contoh 1 Integral Garis"
 "Contoh 2 Integral Garis (bagian 1)"
 "Contoh 2 Integral Garis (bagian 2)"

 Pengantar Integral Garis pada Medan Vektor

Kategori:Analisis kompleks
Kategori:Kalkulus vektor