Nilai absolut

Dalam matematika, nilai absolut (juga dikenal dengan nilai mutlak atau modulus) dari suatu bilangan riil , ditulis sebagai , adalah nilai positif dari  tanpa disertai tanda apa pun. Dengan kata lain,  jika  adalah bilangan positif atau nol, dan  jika  adalah bilangan negatif (sehingga  bernilai positif). Sebagai contoh, nilai mutlak dari  adalah , dan nilai mutlak dari  juga adalah . Nilai mutlak dapat dibayangkan sebagai jarak suatu bilangan dari bilangan .

Perumuman dari nilai mutlak pada bilangan riil muncul pada banyak objek matematika. Sebagai contoh, nilai mutlak juga didefinisikan pada bilangan kompleks, kuartenion, gelanggang terurut, lapangan, dan ruang vektor. Nilai mutlak juga berhubungan erat dengan definisi besaran, jarak, dan norma dalam banyak konteks di fisika dan matematika.

 Terminologi dan penulisan 

Pada tahun 1806, Jean-Robert Argand memperkenalkan istilah module, yang berarti satuan pengukuran dalam bahasa Prancis, khususnya untuk nilai mutlak bilangan kompleks,Oxford English Dictionary, Draft Revision, June 2008Nahin, O'Connor and Robertson, and functions.Wolfram.com.; for the French sense, see Littré, 1877 dan kata itu akhirnya diserap dalam bahasa Inggris pada tahun 1866 sebagai modulus. Istilah "nilai mutlak" sudah digunakan dalam konteks ini sejak 1806 di PrancisLazare Nicolas M. Carnot, Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq point quelconques pris dans l'espace, p. 105 at Google Books dan 1857 di Inggris.James Mill Peirce, A Text-book of Analytic Geometry at Google Books. The oldest citation in the 2nd edition of the Oxford English Dictionary is from 1907. The term "absolute value" is also used in contrast to "relative value". Penulisan , dengan simbol garis vertikal di kedua sisi, diperkenalkan oleh Karl Weierstrass tahun 1841.Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0-89871-420-6, p. 25

Penulisan garis vertikal juga muncul dalam banyak konteks matematika lainnya: sebagai contoh, jika digunakan pada himpunan, simbol itu menandakan kardinalitasnya; sedangkan jika digunakan pada matriks, itu menandakan determinannya. Garis vertikal menandakan nilai mutlak hanya pada objek aljabar yang memiliki definisi nilai mutlak, seperti bilangan riil, bilangan kompleks, atau kuaternion. Penulisan yang mirip tetapi berbeda makna adalah penggunaan garis vertikal untuk norma Euklidean atau sup norm di , walau penulisan garis vertikal ganda ( dan ) lebih umum dan tidak ambigu.

 Definisi dan sifat 

 Bilangan riil 
Untuk setiap bilangan riil , nilai mutlak bilangan tersebut dinyatakan dengan  ( diapit oleh garis vertikal) dan didefinisikan sebagai: 

Dari definisi tersebut, nilai mutlak  akan selalu bernilai positif atau nol, tetapi tidak pernah negatif. Jika  bernilai negatif () maka nilai mutlaknya pasti positif ().

Dari sudut pandang geometri analitik, nilai mutlak dari sebuah bilangan riil adalah jarak bilangan tersebut dari bilangan 0 pada garis bilangan riil. Lebih umum lagi, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Definisi fungsi jarak dalam matematika dapat dianggap sebagai perumuman dari nilai mutlak (lihat bagian "Jarak" dibawah).

Definisi lain dari nilai mutlak adalah  karena akar kuadrat dari sebuah bilangan positif bernilai unik (tunggal).

Nilai mutlak memiliki empat sifat dasar berikut (dengan a dan b adalah bilangan riil), yang juga digunakan dalam memperumum definisi nilai mutlak ke objek-objek matematika lainnya:

{|
|-
| style="width: 250px" |
| Non-negatif
|-
|
|Definit positif
|-
|
|Multiplikatif
|-
|
| Subadditivity, khususnya pertidaksamaan segitiga
|}

Sifat nonnegatif, definit positif, dan multiplikatif terlihat jelas dari definisi. Untuk membuktikan sifat pertidaksamaan segitiga berlaku, perhatikan bahwa   bernilai benar untuk  atau . Namun, karena  dan , mengakibatkan apa pun nilai  yang dipilih, akan berlaku  untuk setiap bilangan riil . Akibatnya, , sesuai dengan yang diharapkan. (Untuk perumuman bukti ini di bilangan kompleks, lihat "Bukti pertidaksamaan segitiga untuk bilangan kompleks" dibawah.)

Berikut adalah beberapa sifat nilai mutlak lainnya yang berguna. Sifat-sifat berikut adalah konsekuensi langsung dari definisi atau tersirat dari empat sifat dasar diatas.
 Idempoten (Nilai mutlak dari nilai mutlak adalah nilai mutlak)Fungsi genap (simetri terhadap pencerminan sumbu-y)Identity of indiscernibles (setara dengan sifat definit positif)Pertidaksamaan segitiga (setara dengan subadditivity) (jika )Berlakunya sifat permbagian (setara dengan multiplikatif)Reverse triangle inequality (setara dengan subadditivity)
Dua sifat lain dari nilai mutlak terkait pertidaksamaan yang berguna adalah:Hubungan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak. Sebagai contoh:

Bilangan kompleks

Karena bilangan kompleks tidak terurut, definisi nilai mutlak yang digunakan untuk bilangan riil tidak dapat digunakan secara langsung untuk bilangan kompleks. Namun, intepretasi geometris nilai mutlak riil sebagai jarak bilangan dari bilangan 0 dapat diperumum. Nilai mutlak dari bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak Euklidean bilangan tersebut dengan titik asal di bidang kompleks. Hal ini dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras: untuk setiap bilangan kompleks dengan  dan  adalah bilangan riil, nilai mutlak atau modulus dari  yang diwakili sebagai , didefinisikan sebagaidengan  dan  masing-masing menyatakan bagian riil dan imajiner dari . Ketika bagian imajiner bernilai nol, definisi ini sama dengan definisi nilai mutlak untuk bilangan riil . Jika bilangan kompleks  dinyatakan dalam bentuk polar sebagai  nilai mutlaknya adalah 

Karena sebarang bilangan kompleks  dan konjugat kompleksnya  memiliki nilai mutlak yang sama, yakni bilangan riil non-negatif , nilai mutlak dari bilangan kompleks  juga dapat dinyatakan sebagai akar kuadrat dari  ditulis secara matematis:Definisi tersebut memperumum definisi alternatif pada bilangan riil: 

Nilai mutlak bilangan kompleks juga memenuhi empat sifat dasar dari nilai mutlak bilangan riil diatas.

Fungsi nilai mutlak
Fungsi nilai mutlak bilangan riil bersifat kontinu dimanapun. Fungsi ini juga terturunkan dimanapun kecuali di . Selain itu, fungsi monoton turun pada selang , dan monoton naik pada selang . Karena bilangan riil dan lawannya memiliki nilai mutlak yang sama, fungsi ini juga merupakan fungsi genap sehingga tidak memiliki invers.  Fungsi nilai mutlak adalah fungsi konveks dan fungsi linear bagian-demi-bagian.

Fungsi nilai mutlak untuk bilangan riil dan kompleks bersifat idempoten.

Hubungan dengan fungsi tanda
Nilai dari fungsi nilai mutlak tidak bergantung pada tanda bilangan, sedangkan fungsi tanda menghasilkan tanda dari bilangan dan tidak bergantung pada nilai bilangan tersebut. Hubungan antara kedua fungsi ini adalah: dan untuk  Turunan

Fungsi nilai mutlak memiliki turunan untuk semua  dan tidak dapat diturunkan pada Bartle and Sherbert, p. 163 Turunannya untuk  adalah fungsi tangga yang didefinisikan sebagai berikut:

Fungsi nilai mutlak adalah contoh fungsi kontinu yang memiliki titik minimum global, namun tidak memiliki turunan pada titik tersebut.

Fungsi nilai mutlak bilangan kompleks kontinu dimanapun, tetapi tidak terturunkan secara kompleks dimanapun, karena tidak memenuhi persamaan Cauchy–Riemann.

Turunan kedua dari  terhadap  bernilai 0 dimanapun kecuali di  (karena tidak memiliki turunan).

Antiturunan
Antiturunan (integral tak tentu) dari fungsi nilai mutlak riil adalah

dengan  adalah sebarang konstanta integrasi. Akan tetapi, fungsi ini bukanlah integral kompleks tak tentu dari fungsi nilai mutlak, karena integral kompleks hanya terdefinisi untuk fungsi yang terturunkan secara kompleks (fungsi holomorfis); yang tidak dipenuhi oleh fungsi nilai mutlak kompleks.

Jarak

Nilai mutlak berhubungan erat dengan konsep jarak. Seperti yang disampaikan di atas, nilai mutlak dari bilangan riil maupun kompleks adalah jarak dari bilangan tersebut ke titik nol; pada garis bilangan riil untuk bilangan riil, dan pada bidang kompleks  untuk bilangan kompleks. Secara lebih umum, nilai mutlak dari selisih dua bilangan riil atau kompleks adalah jarak antara dua bilangan tersebut. Misalkan  dan  adalah titik dalam ruang Euklides dimensi-n.  Jarak Euklides di antara keduanya didefinisikan sebagai: Hal ini dapat dianggap sebagai perumuman, karena untuk bilangan riil  dan  (yang berada di ruang dimensi-1), menurut definisi alternatif dari nilai mutlak akan berlaku hubungan dan untuk bilangan kompleks  dan  (yang berada di ruang dimensi-2):Keadaan di atas menunjukkan jarak "nilai mutlak", masing-masing pada bilangan riil dan kompleks, sesuai dengan definisi jarak Euklides standar; yang mereka "warisi" dengan memandang mereka sebagai ruang Euklides dimensi satu dan dimensi dua.

Sifat dari nilai mutlak dari selisih dua bilangan: non-negatif, identity of indiscernibles, simetri, dan pertidaksamaan segitiga pada bahasan sebelumnya, digunakan untuk mendefinisikan fungsi jarak yang lebih umum berikut: fungsi bernilai riil  pada himpunan  disebut sebagai metrik (atau fungsi jarak) pada , jika fungsi tersebut memenuhi empat aksioma berikut:
{|
|-
| style="width:250px" | 
|Non-negatif
|-
|
|Identity of indiscernibles
|-
|
|Simetri
|-
|
|pertidaksamaan segitiga
|}

Perumuman

Gelanggang terurut
Definisi nilai mutlak untuk suatu bilangan riil dapat diperumum untuk sebarang gelanggang terurut. Dalam kasus ini, jika  adalah elemen dari gelanggang terurut , maka nilai mutlak dari , yang ditulis sebagai , didefinisikan sebagai:Mac Lane, p. 264.

dengan  adalah invers penjumlahan dari , 0 adalah identitas penjumlahan, dan  dan  masing-masing memiliki sifat yang sesuai dengan pengurutan yang ada di gelanggang tersebut.

Lapangan
Keempat sifat dasar dari nilai mutlak untuk bilangan riil dapat digeneralisasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sebarang lapangan. Misalkan  lapangan. Suatu fungsi  dikatakan nilai mutlak (disebut juga modulus, nilai, atau valuasi)  jika  memenuhi empat aksioma berikut:
+NonnegatifDefinit positifMultiplikatifPertidaksamaan segitiga

Di sini,  menyatakan elemen identitas penjumlahan di lapangan . Aksioma positif definit dan sifat multiplikatif mengakibatkan , dengan  adalah elemen identitas perkalian di lapangan .  Nilai mutlak pada bilangan riil dan bilangan kompleks yang didefinisikan di atas merupakan contoh dari nilai mutlak pada lapangan.

Jika  adalah nilai mutlak pada lapangan , fungsi  yang didefinisikan sebagai  merupakan metrik. Berikut merupakan pernyataan-pernyataan yang ekuivalen mengenai fungsi  dan :

  memenuhi pertidaksamaan ultrametrik  untuk setiap .
  adalah subhimpunan terbatas dari .
  untuk sembarang bilangan asli .
  untuk sembarang .
  untuk setiap 

Nilai mutlak yang memenuhi salah satu kondisi di atas, yang berarti juga memenuhi semua kondisi lainnya, disebut sebagai nilai mutlak non-Archimedes. Sebaliknya, nilai mutlak yang tidak memenuhi satupun kondisi disebut sebagai nilai mutlak Archimedes.

 Ruang vektor 
Sifat-sifat nilai mutlak untuk bilangan riil dapat dimodifikasi untuk mendefinisikan konsep nilai mutlak pada sembarang ruang vektor. Fungsi bernilai riil  pada ruang vektor  atas lapangan  disebut nilai mutlak (tapi lebih umum disebut dengan norma), jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Untuk setiap , , berlaku
+NonnegatifDefinit positifHomogenitas positifPertidaksamaan segitiga
Norma dari sebuah vektor juga disebut sebagai panjang atau magnitudo dari vektor tersebut.

Dalam kasus ruang Euklides , fungsi yang didefinisikan sebagaimerupakan norma yang disebut norma Euklides. Jika himpunan bilangan riil  dipandang sebagai ruang vektor berdimensi satu , nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma. Tidak hanya itu, nilai mutlak dapat dipandang sebagai norma "unik" pada ruang vektor  , dalam artian sembarang norma pada  pada  dapat dilihat sebagai .

Nilai mutlak pada bilangan kompleks merupakan salah satu contoh norma pada ruang hasil kali dalam, yang identik dengan norma Euklides dengan meninjau bidang kompleks sebagai bidang Euklides 

 Aljabar komposisi 
Setiap aljabar komposisi  memiliki involusi , dengan  adalah konjugasi dari . Hasil kali di dalam aljabar komposisi  dari elemen  dengan konjugatnya  dituliskan sebagai  dan disebut norma dari .

Himpunan bilangan riil , bilangan kompleks , dan kuarternion  adalah aljabar komposisi dengan norma yang diberikan bentuk definit kuadratik. Nilai mutlak di semua aljabar pembagian ini adalah akar kuadrat dari norma di aljabar komposisi.

Secara umum, norma dari aljabar komposisi dapat berupa bentuk kuadrat yang bukan definit dan memiliki vektor null. Akan tetapi, sebagaimana umumnya pada aljabar pembagian, jika elemen   memiliki norm tidak nol, maka  memiliki elemen invers terhadap perkalian, yaitu .

 Referensi 

 Daftar pustaka 
 Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
 Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
 Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
 Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.
 O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
 Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations, pp 259–263, "Absolute Values", Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8.

Kategori:Matematika