Kaidah Simpson

Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur. Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.

Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam arsitektur perkapalan untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.

 Kaidah Simpson 1/3 

 Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu 

Jika didefinisikan variabel  yang disebut panjang langkah, maka kaidah Simpson 1/3 dapat dinyatakan sebagai

Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi  merupakan polinomial yang berderajat 3 atau kurang.

 Penurunan Rumus 
 Interpolasi Kuadratik 
Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik . Dengan menggunakan interpolasi polinomial Lagrange, maka diperoleh

Dengan menggunakan teknik integral substitusi, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa




Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel , maka didapatkan

Keberadaan faktor  pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 1/3

 Koefisien tak tentu 
Dengan menebak bahwa

maka nilai koefisien  di atas dapat diperoleh dengan mensyaratkan nilai hampiran di ruas kanan menjadi nilai eksak apabila fungsi  merupakan fungsi kuadrat. Oleh karena nilai , maka sistem persamaan yang dihasilkan memiliki penyelesaian yang tunggal, yaitu

Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.

 Galat 
Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah

dengan .Atkinson, equation (5.1.15); Süli and Mayers, Theorem 7.2

Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan . Akan tetapi, penurunan rumus kaidah Simpson menunjukkan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebenarnya sebanding terhadap . Orde tambahan ini diperoleh karena kaidah Simpson menggunakan titik-titik berjarak sama pada domain integrasi .

Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi  pada titik , maka kaidah Simpson 1/3 akan memberikan hasil eksak apabila fungsi  merupakan polinomial berderajat tiga atau kurang, sebab turunan keempat dari fungsi  adalah nol pada setiap titik.

 Kaidah Simpson 1/3 Komposit 
Jika domain integrasi  cukup "kecil" (dalam artian, fungsi yang akan diintegralkan relatif mulus pada interval ), maka kaidah Simpson dengan  subinterval akan memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai eksak integralnya. Untuk fungsi yang seperti itu, interpolasi kuadratik seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.

Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval  menjadi  subinterval yang sama panjangnya, lalu terapkan kaidah Simpson pada setiap subinterval. Nilai hampiran integralnya diperoleh dengan menjumlahkan hasil hampiran kaidah Simpson pada setiap subinterval. Pendekatan ini disebut sebagai kaidah Simpson 1/3 komposit, atau kaidah Simpson komposit saja.

Misalkan interval  dipartisi menjadi  subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel  menyatakan panjang dari partisi , maka didapatkan . Andaikan titik partisinya ialah , maka diperoleh persamaan . Sehingga,

Jika dipilih , maka kaidah Simpson komposit akan menjadi kaidah Simpson 1/3 biasa.

Dalam penerapan nya, sering kali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke Metode Simpson adaptif.

Contoh implementasi menggunakan Pythonimport math
import numpy as np

def f(x) :
  return math.cos(x)    #mencari integral fungsi y = cos(x)

def aturan_simpson(a, b, n):
    if n % 2 != 0 :
        print("nilai n haruslah genap")
    else :
        h = (b - a) / n
        x = np.linspace(a, b, n+1)
        y = []
        for i in range(0, n+1) :
            y.append(f(a + i*h))
        return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1])

 Galat 
Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah

dimana  dan  adalah "panjang langkah". Ukuran galatnya diperoleh dari

 Kaidah Simpson 3/8 
Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik . Secara matematis, kaidah Simpson 3/8 dapat dinyatakan sebagai berikut:

dengan  sebagai panjang langkah. Keberadaan faktor  pada rumus di atas mengakibatkan rumus tersebut disebut sebagai kaidah Simpson 3/8

 Galat 
Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah

dimana . Sehingga, kaidah Simpson 3/8 dua kali lebih akurat daripada kaidah Simpson 1/3, tetapi metode ini memerlukan perhitungan nilai fungsi pada titik yang lebih banyak.

 Kaidah Simpson 3/8 Komposit 
Apabila interval  dipartisi menjadi  subinterval dengan panjang yang sama. Apabila variabel  menyatakan panjang dari partisi , maka didapatkan . Andaikan titik partisinya ialah , maka diperoleh persamaan . Sehingga,

Jika dipilih , maka kaidah Simpson 3/8 komposit akan menjadi kaidah Simpson 3/8 biasa.

 Lihat juga 
 Rumus Newton–Cotes
 Kuadratur Gauss

 Catatan 

 Referensi 





  .




 Pranala luar 
 Kaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik
 Penerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation


 Kaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan pada Holistic Numerical Methods (Metode Numerik Holistik)
 Penjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C 
 Program dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson 

Kategori:Kalkulus integral
Kategori:Analisis numerik
Kategori:Numerical integration (quadrature)
Kategori:Articles with example Python (programming language) code