Basis (aljabar linear)

Dalam matematika, sebarang himpunan vektor  dalam suatu ruang vektor  disebut basis, jika setiap elemen di  dapat dituliskan sebagai kombinasi linear terhingga yang unik dari elemen-elemen di . Koefisien-koefisien pada kombinasi linear tersebut disebut sebagai koordinat dari vektor terhadap . Elemen-elemen dari basis disebut sebagai vektor basis. Basis juga dapat didefinisikan sebagai himpunan  yang elemen-elemennya saling bebas linear dan setiap elemen di  adalah kombinasi linear dari elemen-elemen di . Dengan kata lain, basis adalah himpunan merentang (spanning) yang bebas linear.

Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis; namun semua basis tersebut akan memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut sebagai dimensi dari ruang vektor. Artikel ini secara umum membahas ruang-ruang vektor berdimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan juga berlaku untuk ruang vektor dimensi tak-hingga.

 Definisi 
Basis untuk ruang vektor  (atas medan ) adalah suatu himpunan bagian  yang memenuhi:

 Setiap  dapat dituliskan sebagai  dengan .
 Jika  representasi lain, maka  dan ada suatu permutasi  yang  dan .

Sebarang basis  dari suatu ruang vektor  atas lapangan  (seperti bilangan riil  atau bilangan kompleks ) adalah suatu subset dari  yang saling bebas linear dan merentang . Hal ini mengartikan suatu subset  dari  merupakan basis jika memenuhi dua syarat berikut:

 kebebasan linear
 Untuk setiap subset terhingga  dari , jika  untuk suatu  di , maka 
 merentang linear
 Untuk setiap vektor , terdapat  skalar  di  dan  vektor  di , sehingga 

Skalar-skalar  disebut koordinat dari vektor  terhadap basis , dan berdasarkan sifat pertama, nilai mereka unik (tunggal). Ruang vektor disebut berdimensi hingga jika ruang vektor tersebut memiliki basis dengan total elemen yang berhingga.

Vektor-vektor basis sering kali (dan terkadang harus) perlu memiliki urutan total untuk mempermudah pembahasan. Sebagai contoh, ketika basis digunakan untuk membahas orientasi, atau untuk membahas koefisien-koefisien vektor terhadap suatu basis tanpa perlu merujuk secara eksplisit elemen-elemen dari basis. Istilah basis terurut terkadang digunakan untuk mempertegas bahwa suatu urutan telah dipilih; yang sebenarnya menyebabkan basis bukan lagi sebagai suatu himpunan tak-terurut, melainkan sebagai suatu barisan (atau sejenisnya). Pembahasan lebih lanjut tersedia di bagian Koordinat di bawah.

 Contoh 
jmpl|Gambar ini mengilustrasikan basis standar di  yang elemennya adalah vektor biru dan oranye. Vektor hijau dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, mengakibatkan vektor ini bergantung linear pada mereka.
Himpunan  dari pasangan terurut bilangan riil adalah suatu ruang vektor dibawah operasi penjumlahan komponen-demi-komponendan perkaliandengan  adalah sebarang bilangan riil. Contoh basis yang sederhana dari ruang vektor ini adalah himpunan yang berisi vektor  dan . Kedua vektor ini membentuk sebuah basis (yang disebut basis standar) karena sebarang vektor  di  dapat ditulis secara unik sebagaiSebarang pasangan vektor yang saling bebas linear di , seperti  dan , juga membentuk sebuah basis untuk . Secara umum, jika  berupa lapangan, maka himpunan  yang berisi rangkap-n elemen-elemen dari  adalah sebuah ruang vektor, dibawah operasi penjumlahan dan perkalian yang serupa dengan contoh pembuka tadi. Misalkanadalah rangkap-n dengan semua komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i, yang bernilai 1. Himpunan  membentuk suatu basis (terurut) untuk  yang disebut dengan basis standar dari  Contoh yang berbeda terlihat pada gelanggang polinomial. Jika  berupa lapangan, himpunan  dari semua polinomial satu-variabel dengan koefisien-koefisiennya berada di , merupakan suatu ruang vektor. Salah satu basis untuk ruang ini adalah basis monomial , yang berisi semua monomial:Contoh lain dari basis untuk ruang vektor tersebut adalah polinomial basis Bernstein dan polinomial Chebyshev.

 Sifat-sifat 
Banyak sifat dari basis terhingga merupakan hasil dari lema pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sebarang ruang vektor , dan sebarang penetapan himpunan merentang  dan himpunan bebas linear  berisi  elemen dari ,  elemen dari  dapat dipilih sedemikian rupa untuk ditukar dengan elemen-elemen di  sehingga menghasilkan suatu himpunan merentang yang: mengandung , elemen-elemen yang lainnya berada di , dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan . Sebagian besar sifat yang dihasilkan dari lema tersebut masih berlaku ketika tidak ada himpunan merentang yang terhingga, tetapi pembuktian untuk keadaan ini memerlukan aksioma pemilihan atau suatu bentuk yang lebih lemahnya, seperti lema ultrafilter.

Jika  adalah ruang vektor atas lapangan , maka:

 Untuk sebarang subset bebas linear  dari sebarang himpunan merentang , terdapat suatu basis  sehingga 
  memiliki basis (hal ini dapat dihasilkan dari sifat sebelumnya dengan memilih  sebagai himpunan kosong, dan ).
 Setiap basis dari  memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dengan dimensi dari . Pernyataan ini dikenal sebagai teorema dimensi.
 Sebarang himpunan pembangkit  adalah basis dari  jika dan hanya jika itu bersifat minimal, artinya,  bukan subset sejati (proper subset) dari sebarang himpunan yang bebas linear.

Jika  adalah ruang vektor berdimensi , suatu subset berisi  elemen dari  merupakan basis dari  jika dan hanya jika:

 Subset tersebut bebas linear;
 Subset tersebut himpunan merentang dari .

 Koordinat 
Misalkan  adalah ruang vektor berdimensi  (hingga) atas lapangan , danadalah basis dari . Berdasarkan definisi dari basis, setiap  di  dapat ditulis secara unik sebagaidengan koefisien-koefisien  adalah skalar (yaitu, elemen-elemen dari ), yang disebut sebagai koordinat dari  atas . Akan tetapi, pembahasan terkait himpunan koefisien akan menghilangkan hubungan antara koefisien-koefisien dari elemen-elemen basis, dan beberapa vektor berbeda dapat memiliki himpunan koefisien yang sama. Sebagai contoh, vektor  dan  yang berbeda memiliki himpunan koefisien  yang sama. Oleh karena itu, konsep basis terurut umum digunakan untuk mempermudah pembahasan. Hal ini dilakukan dengan mengindeks elemen-elemen basis menggunakan bilangan asli. Koordinat dari vektor juga diindeks dengan cara yang sama, sehingga vektor dapat dikarakterisasi seutuhnya dari barisan koordinat mereka.

Misalkan, seperti biasa,  adalah himpunan rangkap-n dari elemen-elemen di ). Himpunan ini adalah ruang vektor-, dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar-nya dilakukan secara komponen-demi-komponen. Pemetaanadalah suatu isomorfisme linear dari ruang vektor  pada (onto) . Dalam kata lain,  adalah ruang koordinat dari , dan rangkap-n  adalah vektor koordinat dari . Secara khusus, invers bayangan dari  oleh  adalah vektor , yang setiap komponennya bernilai 0, kecuali komponen ke-i yang bernilai 1. Himpunan  membentuk suatu basis terurut bagi , yang disebut dengan basis standar atau basis kanonik.

 Perubahan basis 

Misalkan  adalah ruang vektor berdimensi  atas lapangan . Untuk dua basis (terurut)  dan , terkadang menguntungkan untuk menyatakan koordinat dari suatu vektor  atas , dalam bentuk koordinat atas . Hal ini secara umum dilakukan karena pembahasan melibatkan ekspresi matematika yang menggunakan koordinat lama.

Umumnya, koordinat vektor-vektor basis baru dinyatakan atas basis lama, yakni,Jika  dan  adalah koordinat vektor , masing-masing atas basis lama dan atas basis baru, maka rumus perubahan basis adalahUntuk  Rumus tersebut dapat ditulis lebih ringkas dengan menggunakan notasi matriks. Misalkan  adalah matriks dengan entri-entri  danadalah vektor kolom dari koordinat  masing-masing atas basis lama dan atas basis baru. Rumus perubahan basis dapat ditulis sebagaRumus ini dapat dibuktikan dengan menguraikan vektor  pada kedua basis: di satu sisi kita memilikidan di sisi lain,Karena penguraian vektor atas suatu basis bersifat unik, kita dapatkan hubunganuntuk .

 Bukti bahwa semua ruang vektor memiliki basis 
Misalkan  adalah sebarang ruang vektor atas lapangan , dan  adalah himpunan semua subset yang bebas linear di . Himpunan  tidak kosong karena berisi himpunan kosong (yang merupakan subset dari  dan bebas linear). Himpunan  juga terurut parsial oleh operasi inklusi, yang dinyatakan secara umum dengan .

Misalkan  adalah suatu subset dari  yang terurut total oleh , dan misalkan  adalah gabungan dari semua elemen di . Karena  terurut total, setiap subset terhingga dari  adalah suatu subset dari suatu elemen di , yang merupakan suatu subset bebas linear dari . Akibatnya,  juga bersifat bebas linear, sehingga termasuk elemen dari . Hal ini mengartikan  adalah batas atas bagi  dalam : himpunan itu adalah elemen dari , dan berisi semua elemen dari .

Karena  tak-kosong, dan semua subset terurut total dari  memiliki batas atas dalam , lema Zorn menyatakan bahwa  memiliki elemen maksimal. Dalam kata lain, terdapat elemen  di  yang memenuhi kondisi: kapanpun  untuk suatu elemen  dari , maka .

Karena  elemen dari , kita menyimpulkan  adalah subset yang bebas linear di . Sekarang kita cukup membuktikan  adalah basis dari .

Anggap ada suatu vektor  di  yang tidak berada dalam rentang (span) dari , maka  bukan menjadi elemen dari . Misalkan . Himpunan ini adalah elemen dari  (karena  tidak berada dalam rentang , dan  bebas linear) mengakibatkannya merupakan subset yang bebas linear di . Karena  tetapi  (karena  mengandung  yang tidak ada di ), hal ini berkontradiksi dengan maksimalitas dari . Alhasil,  merentang .

Kita dapatkan  bebas linear dan merentang , menjadikannya sebagai basis bagi  dan membuktikan bahwa semua ruang vektor memiliki basis. Bukti ini membutuhkan lema Zorn, yang setara dengan aksioma pemilihan. Kebalikan dari hubungan di atas juga telah dibuktikan, bahwa jika semua ruang vektor memiliki basis, maka aksioma pemilihan benar. Akibatnya, dua pernyataan ini bersifat setara.

 Catatan kaki 

 Referensi 
 Referensi umum 





 Referensi sejarah 






 , reprint: 






 Pranala luar 

 Video pembelajaran dari Khan Academy (bahasa Inggris)
 Introduction to bases of subspaces
 Proof that any subspace basis has same number of elements



Kategori:Aljabar linear