Rentang linear

Dalam aljabar linear, rentang linear atau span dari sebarang himpunan  berisi vektor-vektor (yang berasal dari suatu ruang vektor) adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di  p. 29, § 2.7 Rentang linear dari  umum disimbolkan dengan  pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8 Sebagai contoh, dua vektor yang saling bebas linear akan merentang suatu bidang. Rentang dapat dikarakterisasikan sebagai irisan dari semua subruang (vektor) yang mengandung  maupun sebagai subruang yang mengandung  Alhasil, rentang dari himpunan vektor menghasilkan suatu ruang vektor. Rentang dapat diperumum untuk matroid dan modul.

Untuk menyatakan bahwa suatu ruang vektor  adalah rentang linear dari subset  beberapa pernyataan berikut umum digunakan:  merentang   adalah himpunan merentang dari   direntang/dibangkitkan oleh  atau  adalah pembangkit atau himpunan pembangkit dari 

 Definisi 
Untuk sebarang ruang vektor  atas lapangan  rentang dari suatu himpunan  yang beranggotakan vektor-vektor (tidak harus berhingga) didefinisikan sebagai irisan  dari semua subruang dari  yang mengandung  Irisan  disebut sebagai subruang yang direntang oleh  atau oleh vektor-vektor di  Kebalikannya,  disebut himpunan merentang dari , dan kita katakan  merentang  

Rentang dari  juga dapat didefinisikan sebagai himpunan dari semua kombinasi linear terhingga dari vektor-vektor di  p. 100, ch. 2, Definition 2.13 pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8 pp. 41-42 Vector Space Span. Secara matematis, ini dituliskan sebagaiPada kasus  berukuran tak-hingga, syarat kombinasi linear yang tak-terhingga (yakni, keadaan ketika kombinasi menggunakan konsep penjumlahan tak-hingga, dengan mengasumsikan penjumlahan seperti itu dapat didefinisikan) tidak disertakan dalam definisi.

 Contoh 
Ruang vektor riil  dapat direntang oleh himpunan . Himpunan ini juga merupakan suatu basis dari . Jika  digantikan dengan , himpunan tersebut merupakan basis standar dari . Contoh himpunan pembangkit lain dari  adalah , tetapi himpunan ini bukan basis karena bersifat bergantung linear.

Himpunan  bukan himpunan merentang dari , karena rentangnya adalah subruang semua vektor di  yang komponen terakhirnya bernilai  Subruang tersebut juga direntang oleh himpunan  karena  adalah kombinasi linear dari  dan 

Himpunan kosong adalah himpunan merentang dari  karena himpunan kosong adalah subset dari semua subruang vektor yang mungkin di  dan  adalah irisan dari semua subruang tersebut.

Himpunan semua monomial  dengan  adalah bilangan bulat non-negatif, merentang ruang polinomial.

 Teorema 

 Kesetaraan antar definisi 
Untuk sebarang ruang vektor  atas lapangan  himpunan semua kombinasi linear dari subset  dari  adalah subruang terkecil dari  yang mengandung 

 Bukti. Pertama kita tunjukkan bahwa  adalah subruang dari  Karena  adalah subset dari  kita cukup membuktikan bahwa vektor  anggota dari  bahwa  dibawah penjumlahan, dan bahwa  tertutup dibawah perkalian skalar. Misalkan , mudah ditunjukkan bahwa vektor nol di  ada di  karena  Menjumlahkan sebarang dua kombinasi linear dari  akan menghasilkan kombinasi linear dari dengan semua , dan mengalikan sebarang kombinasi linear dari  dengan sebarang skalar  akan menghasilkan kombinasi linear dari  Alhasil,  adalah subruang dari 

 Misalkan  adalah subruang  yang mengandung  Perhatikan bahwa  karena semua  merupakan kombinasi linear dari  (secara langsung). Karena  tertutup dibawah penjumlahan dan perkalian skalar, maka setiap kombinasi linear  harus berada di  Akibatnya,  terkandung di semua subruang dari  yang mengandung  Lebih lanjut, irisan semua subruang tersebut, yakni subruang terkecil, sama dengan himpunan semua kombinasi linear dari 

 Kardinalitas himpunan merentang setidaknya sebesar himpunan bebas linear 
Sebarang himpunan  yang merentang ruang vektor  harus memiliki anggota setidaknya sebanyak jumlah anggota pada sebarang himpunan bebas linear dari 

 Bukti. Misalkan  adalah suatu himpunan merentang dan  adalah himpunan vektor-vektor yang saling bebas linear di  Kita akan menunjukkan bahwa 

 Karena  merentang  maka  juga harus merentang  dan  harus merupakan hasil kombinasi linear dari  Akibatnya  bergantung linear, dan kita dapat membuat satu vektor dari  yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi anggota  lainnya. Vektor ini tidak mungkin  karena  bebas linear. Himpunan yang dihasilkan proses ini adalah  yang merupakan himpunan merentang bagi  Kita ulangi proses ini sebanyak  kali, yang tahap ke--nya akan menghasilkan himpunan hasil gabungan  dan  vektor dari 

 Dapat dipastikan sampai tahap ke- akan selalu ada suatu  untuk dibuang dari , akibatnya  setidaknya sama banyaknya dengan ; dengan kata lain,  Untuk membuktikan hal ini, kita menggunakan bukti kontradiksi dengan menganggap  Saat tahap ke-, kita memiliki himpunan  dan kita dapat menambahkan vektor baru  Tapi karena  adalah himpunan merentang dari  vektor  adalah kombinasi linear dari . Ini adalah kontradiksi, karena  bersifat bebas linear. 

 Himpunan merentang dapat disederhanakan menjadi suatu basis 
Misalkan  adalah ruang vektor dimensi terhingga. Sebarang himpunan vektor yang merentang  dapat disederhanakan menjadi suatu basis bagi  dengan membuang vektor dari keanggotaannya jika diperlukan (maksudnya, ketika ada vektor yang bergantung linear pada vektor-vektor lainnya). Jika aksioma pemilihan berlaku, teorema ini juga berlaku untuk kasus  berdimensi tak-hingga. Teorema ini juga mengartikan sebarang basis adalah himpunan merentang terkecil, ketika  berdimensi hingga.

 Catatan kaki 

 Daftar pustaka 

 Buku 






 Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

 Situs web 





 Pranala luar 

 Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.


Kategori:Aljabar linear