Filsafat matematika

Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar dan dampak-dampak matematika. Tujuan dari filsafat matematika adalah: "untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia". Sifat logis dan terstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat lainnya.

Tema-tema yang sering diperbincangkan di antaranya:

 Apakah sumber pokok bahasan matematika?
 Apakah status ontologis dari entitas-entitas matematika?
 Apakah yang dimaksud dengan objek matematika?
 Apakah sifat/karakter dari proposisi matematika?
 Apakah kaitan antara logika dan matematika?
 Apakah peran hermeneutika di dalam matematika?
 Jenis penyelidikan apakah yang memainkan peran penting di dalam matematika?
 Apakah tujuan dari penyelidikan matematika?
 Apakah yang memberi pertautan antara matematika dan pengalaman?
 Sifat manusia apakah yang berada di sebalik matematika?
 Apakah yang dimaksud dengan keindahan matematika?
 Apakah sumber dan sifat kebenaran matematika?
 Apakah hubungan antara dunia matematika abstrak dan semesta materi?
 Apakah matematika suatu bahasa yang mutlak dan universal?

 Tema utama 

 Realitas (keberadaan matematika) 
Matematika itu tentang sesuatu, tetapi tidak jelas apa jenis benda yang berurusan dengan matematika.  Menurut Plato, matematika adalah tentang entitas yang tidak berubah, yakni merupakan dunia ide. Dunia ini nyata, meskipun tidak dapat diraba oleh akal sehat, tetapi objek matematika dapat ditangkap dengan rasionalitas. Rasionalitas ini, merupakan sistem persepsi yang unik yang melampaui kemampuan indra kita dan melihat objek di dunia ide, termasuk objek nyata matematika. Konsepsi matematika yang dihubungkan dengan filsafat Plato sering disebut sebagai Platonisme.

Platonisme dalam arti luas mengacu pada gagasan bahwa ada realitas matematika yang ingin diungkapkan oleh para matematikawan. Matematika diasumsikan memiliki bidang objek asli. Seperti fisika yang menganalisis sifat fisik, biologi menganalisis tumbuhan dan hewan, dan geologi menganalisis formasi batuan, sehingga matematika menganalisis bentuk geometris, angka, dan apapun yang ada di antara objek matematika dengan cara yang sama. Plato berpendapat bahwa abstraksi yang mencerminkan realitas material memiliki realitasnya sendiri yang ada di luar ruang dan waktu. Terlepas dari pendapat filosofis mereka, matematikawan modern umumnya dapat dianggap sebagai penganut platonisme karena mereka memikirkan dan membicarakan objek studi mereka sebagai objek yang nyata.Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2016 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diarsipkan dari sumber asli pada 30 Januari 2022.

Armand Borel merangkum pandangan tentang realitas matematika ini sebagai berikut, dan memberikan kutipan dari G. H. Hardy, Chales Hermite, Henri Poincaré, dan Albert Einstein yang mendukung pandangannya.Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science". The Mathematical Intelligencer. 5 (4). Springer: 9–17. doi:10.4171/news/103/8. ISSN 1027-488X.

Namun, Platonisme dan pandangan tentang abstraksi tidak menjelaskan keefektifan matematika yang tidak masuk akal. Platonisme mengasumsikan bahwa matematika ada secara independen, tetapi tidak menjelaskan mengapa matematika cocok dengan realitas.Dorato, Mauro (2005). "Why are laws mathematical?" (PDF). The Software of the Universe, An Introduction to the History and Philosophy of Laws of Nature. Ashgate. hal 31–66. ISBN 978-0-7546-3994-7. Diarsipkan (PDF) dari sumber asli pada 17 Agustus 2023.

 Logika dan ketelitian 
Penalaran dalam matematika memerlukan ketelitian. Ini berarti bahwa setiap definisi harus benar-benar jelas tanpa ambiguitas, dan setiap pembuktian harus dapat diuraikan menjadi rangkaian penerapan silogisme atau aturan interfensi,Ini tidak berarti membuat semua aturan inferensi yang digunakan menjadi eksplisit. Sebaliknya, hal ini pada umumnya tidak mungkin dilakukan, tanpa komputer dan asisten pembuktian. Bahkan dengan teknologi modern pun masih mungkin diperlukan waktu bertahun-tahun jam kerja manusia untuk menuliskan pembuktian yang sangat rinci. tanpa menggunakan bukti empiris atau intuisi.Ini tidak berarti bahwa bukti empiris dan intuisi tidak diperlukan untuk memilih teorema yang akan dibuktikan dan untuk membuktikannya.Hamami, Yacin (June 2022). "Mathematical Rigor and Proof" (PDF). The Review of Symbolic Logic. 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. S2CID 209980693. Diarsipkan (PDF) dari website aslinya pada 5 Desember 2022.

Aturan penalaran yang ketat telah ditetapkan oleh para filsuf Yunani kuno dengan nama logika. Logika tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi dalam matematika, standar ketelitiannya jauh lebih tinggi dibandingkan bidang lain. Selama berabad-abad, logika digunakan dalam pembuktian matematika tetapi tetap menjadi bagian dari filsafat dan tidak dipelajari secara khusus oleh matematikawan.Ferreirós, José (2001). "The Road to Modern Logic—An Interpretation" (PDF). Bulletin of Symbolic Logic. 7 (4): 441–484. doi:10.2307/2687794. hdl:11441/38373. JSTOR 2687794. S2CID 43258676. Diarsipkan dari website aslinya pada 2 Februari 2023

Sekitar akhir abad ke-19, muncul berbagai paradoks yang meragukan dasar logis matematika, sehingga validitas keseluruhan matematika dipertanyakan. Salah satunya adalah kritik Frege seorang matematikawan Jerman terhadap konsepsi filosofis matematika yang penting, sebelum menyajikan elaborasi program logika seperti yang disediakan dalam karyanya berjudul Begriffsschrift. Kemudian mengikuti presentasi penjelasan lanjutan Russell dan Whitehead di Principa Mathematica. Elaborasi ini diprakarsai oleh penemuan Russel tentang paradoks yang tampaknya menghancurkan soliditas dasar logis matematika dalam format yang disarankan oleh Frege. Beliau menyajikan logika sebagai sistem aksiomatik untuk semua kesimpulan yang valid yang mungkin dapat kita buat. Dari aksioma logis, seseorang dapat menyimpulkan teorema logis, dan jika aksioma valid, maka teorema valid. Dan setelah presentasi Frege tentang Begriffsschrift, validitas inferensi ini menjadi jelas; inferensi benar jika dan hanya jika diwakili oleh hukum logis dalam aksiomatik Frege,

Masalah dasar dalam matematika akhirnya terselesaikan dengan munculnya logika matematika sebagai cabang baru dalam matematika. Dalam kerangka ini, suatu teori matematika atau logika terdiri dari bahasa formal yang menentukan bentuk pernyataan yang sah, seperangkat pernyataan dasar yang disebut aksioma, dan seperangkat aturan inferensi yang memungkinkan pembuatan pernyataan baru dari satu atau beberapa pernyataan yang sudah diketahui.

Teori himpunan Zermelo-Fraenkel dengan aksioma pilihan, yang biasanya disebut ZFC, merupakan logika tingkat tinggi yang menjadi dasar bagi seluruh matematika. Teori ini digunakan secara implisit dalam semuat teks matematika yang tidak secara eksplisit menyebutkan fondasi yang mereka gunakan. Slain itu, fondasi matematika lain yang diusulkan dapat dimodelkan dan dipelajari dalam kerangka ZFC.

Akibatnya, konsep "ketelitian" dalam matematika tidak lagi relevan, karena suatu pembuktian hanya benar atau salah, sehingga istilah "pembuktian yang teliti" sebenarnya berlebihan. Konsep ketelitian lebih berkaitan dengan aspek sosial dalam pembuktian. Dalam praktinya, pembuktian jarang dituliskan secara lengkap, dan beberapa langkah sering dianggap sepele, mudah, atau langsung jelas, sehingga dibiarkan untuk disimpulkan oleh pembaca. Namun, karena kesalahan pembuktian sering terjadi pada langkah-langkah yang dilewati ini, suatu pembuktian baru harus diverivikasi oleh ahli lain di bidang tersebut. Pembuktian hanya dianggap dapat dipercaya setelah diterima oleh komunitas ahli, yang bisa memakan waktu bertahun-tahun.Perminov, V. Ya. (1988). "On the Reliability of Mathematical Proofs". Philosophy of Mathematics. 42 (167 (4)). Revue Internationale de Philosophie: 500–508.

 Hubungan dengan ilmu pengetahuan 
Matematika digunakan dalam sebagian besar ilmu pengetahuan untuk memodelkan berbagai fenomena, sehingga memungkinkan prediksi berdasarkan hukum eksperimen.Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (December 22, 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation. Mathematical Modeling. Vol. 1. CRC Press. h. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1. Diakses kembali pada 16 November 2022. Kebenaran dalam matematika tidak bergantung pada eksperimen, yang berarti ketepatan prediksi hanya bergantung pada kesesuaian model matematis yang digunakan.Hennig, Christian (2010). "Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective". Foundations of Science. 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID 6229200. Diakses kembali pada 17 November 2022. Jika prediksi meleset, masalahnya bukan pada konsep matematika yang salah, tetapi pada model matematis yang perlu diperbaiki atau diganti.Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (February 4, 2020). "Models in Science". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Diarsipkan dari website aslinya pada 17 November 2022. Diakses kembali pada 17 November 2022. Misalnya, pergeseran perihelion Merkurius baru bisa dijelaskan setelah munculnya teori relativitas umum Einstein, yang menggantikan hukum gravitasi Newton sebagai model matematis yang akurat.Stewart, Ian (2018). "Mathematics, Maps, and Models". In Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (eds.). The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality. The Frontiers Collection. Springer. hal. 345–356. doi:10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 978-3-319-72478-2. Diakses kembali pada 17 November 2022.

Masih ada perdebatan filosofis mengenai apakah matematika termasuk dalam ilmu pengetahuan. Namun, dalam praktiknya, para matematikawan sering dikelompokkan bersama ilmuwan, dan matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu fisika. Seperti ilmu sains lainnya, matematika dapat diuji kebenarannya, jika suatu teori atau hasil matematika salah, hal itu bisa dibuktikan dengan memberikan contoh yang membantahnya. Sama seperti dalam ilmu sains, teori dan hasil dalam matematika sering kali diperoleh melalui eksperimen."The science checklist applied: Mathematics". Understanding Science. University of California, Berkeley. Diarsipkan dari website asli pada 27 Oktober 2019. Eksperimen dalam matematika bisa berupa perhitungan pada contoh tertentu atau studi terhadap bentuk dan representasi objek matematika, baik dalam bentuk visual maupun pemikiran abstrak. Sebagai contoh, ketika ditanya bagaimana ia menemukan teorema-teoremanya, Gauss pernah menjawab, "durch planmässiges Tattonieeeren," yang berarti "melalui eksperimen sistematis."Mackay, A. L. (1991). Dictionary of Scientific Quotations. London: Taylor & Francis. hal. 100. ISBN 978-0-7503-0106-0. Diakses kembali pada 19 Maret 2023. Namun, beberapa ahli menekankan bahwa matematika berbeda dari ilmu pengetahuan modern karena tidak bergantung pada bukti empiris.Bishop, Alan (1991). "Environmental activities and mathematical culture". Mathematical Enculturation: A Cultural Perspective on Mathematics Education. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. hal. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3. Diakses kembali pada 5 April 2020.Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists. Springer. hal. 228. ISBN 978-0-387-98269-4.

 Catatan 

 Referensi 

 Pranala luar 
 Panduan Pengkajian Filsafat London  memberikan banyak saran tentang apa yang sebaiknya dibaca, bergantung kepada keakraban pengkaji terhadap suatu pokok bahasan:
 Filsafat Matematika 
 Logika Matematika 
 Teori Himpunan dan Logika tingkat Lanjut 
 R.B. Halaman filsafat matematika dari Jones 
 Blog tentang Filsafat Matematika Nyata 
 Kaina Stoicheia  oleh C. S. Peirce.

Kategori:Filsafat
Kategori:Matematika