Kalkulus matriks

Dalam matematika kalkulus matriks adalah notasi khusus untuk menghitung kalkulus multivariabel (kalkulus peubah banyak), terutama pada ruang matriks. Pada ruang matriks notasi ini mendefinisikan turunan matriks. Notasi ini cocok untuk memerikan sistem persamaan diferensial, dan mengambil turunan dari fungsi matriks terhadap variabel berbentuk matriks pula. Kalkulus matriks umum digunakan dalam statistika dan rekayasa, sedangkan notasi indeks tensor lebih disukai dalam fisika.

 Notasi 

Misalkan M(n,m) melambangkan ruang matriks riil n x m dengan n baris dan m kolom. Unsur ruang matriks ini dilambangkan sebagai F, X, Y, dan seterusnya. Sebuah unsur M(n,1), yaitu vektor kolom, dilambangkan dengan huruf kecil tebal x, dengan xT melambangkan vektor baris transposnya. Unsur M(1,1) adalah skalar, dan dilambangkan dengan a, b, f, t, dan seterusnya.

 Kalkulus vektor 

Karena ruang M(n,1) diidentifikasikan dengan ruang Euklides Rn dan M(1,1) diidentifikasikan dengan R, notasi di sini dapat mengakomodasi operasi biasa dalam kalkulus vektor.

Vektor singgung terhadap kurva x: R → Rn adalah

Gradien fungsi skalar f: Rn → R

Turunan berarah f ke arah v adalah

Diferensial fungsi f: Rm → Rn dideskripsikan oleh matriks Jacobi

Diferensial sepanjang f dari vektor v dalam Rm adalah

 Kalkulus matriks 

Analog terhadap ketiga turunan yang ditemukan sebelumnya di kalkulus vektor dapat ditemukan dalam kalkulus matriks.

Vektor singgung kurva F: R → M(n,m)

Gradien fungsi skalar f: M(n,m) → R

Perhatikan bahwa urutan indeks gradien terhadap X terbalik dibandingkan dengan urutan indeks X. Turunan berarah f ke arah matriks Y diberikan oleh

dengan tr melambangkan trace dari matriks.

Diferensial atau turunan matriks dari fungsi  adalah unsur dari , sebuah tensor peringkat empat (pembalikan m dan n di sini menandakan ruang dual dari M(n,m)). Singkatnya, diferensial ini adalah matriks m×n yang masing-masing entrinya adalah matriks p×q.

Catat pula bahwa tiap ∂F/∂Xi,j adalah matriks p×q yang didefinisikan seperti di atas. Catat pula bahwa matriks ini memiliki indeks yang dibalikkan: m baris dan n kolom. Diferensial sepanjang F dari sebuah matriks Y berukuran n×m dalam M(n,m) adalah

Definisi ini meliputi semua definisi sebelumnya sebagai kasus khusus.

 Persamaan identitas 

Perkalian matriks tidak komutatif, karena itu agar identitas berikut berlaku, urutan perkalian tidak boleh diubah.

 Kaidah rantai: Bila Z adalah fungsi dari Y, yang pada gilirannya adalah fungsi dari X

Kaidah darab:

 Pranala luar 
 Matrix calculus  Apendiks dari buku Introduction to Finite Element Methods di University of Colorado at Boulder. Menggunakan definisi Hessian untuk turunan vektor dan matriks.
 Matrix calculus Matrix Reference Manual, Imperial College London.
 The Matrix Cookbook, dengan bab turunan. Menggunakan definsi Hessian.

Kategori:Kalkulus