Kerucut

Dalam geometri, kerucut adalah sebuah limas istimewa yang beralas lingkaran. Kerucut mempunyai 2 sisi, 1 rusuk, dan 1 titik sudut.

Sisi tegak kerucut tidak berupa segitiga tapi berupa bidang miring yang disebut selimut kerucut.

 Terminologi 
Keliling dasar kerucut disebut "directrix", dan masing-masing segmen garis antara directrix dan apex adalah "generatrix" atau "garis pembangkit" dari permukaan lateral. (Untuk hubungan antara pengertian istilah "directrix" dan directrix dari bagian kerucut, lihat Dandelin spheres .)

"Jari-jari dasar" dari kerucut lingkaran adalah jari - jari alasnya; sering kali ini hanya disebut jari-jari kerucut. The aperture kerucut melingkar tepat adalah sudut maksimum antara dua garis generatrix; jika generatrix membuat sudut θ ke sumbu, aperture adalah 2 θ.jmpl|Ilustrasi dari Problemata Mathematica ... diterbitkan dalam Acta Eruditorum , 1734 Sebuah kerucut dengan daerah termasuk puncaknya dipotong oleh pesawat disebut " kerucut terpotong "; jika bidang pemotongan sejajar dengan basis kerucut, itu disebut frustum. "Kerucut elips" adalah kerucut dengan dasar elips. "Kerucut umum" adalah permukaan yang dibuat oleh sekumpulan garis yang melewati titik dan setiap titik pada batas (juga lihat lambung visual).

 Rumus kerucut 
 Garis pelukis 

 Luas alas 

 Luas selimut 

 Luas permukaan 

, atau

 Volume 
Volume kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut

di mana  dan  masing-masing melambangkan jari-jari dan tinggi kerucut.

Untuk membuktikan rumus volume kerucut di atas, berikut ini merupakan pembuktian di antaranya:
jmpl|Kerucut yang di dalamnya adalah segitiga (Merah), sebagai bentuk revolusi

 Bukti volume kerucut melalui kalkulus 
Misal  (anggap , ), sumbu-, dan  adalah garis yang membatasi daerah. Daerah tersebut diputar di sumbu-. Untuk membuktikannya, kita cukup mengiriskan benda yang diputar. Aproksimasikan

,

lalu, mengintegrasikannya

.Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 282. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)

 Persamaan 
Kerucut bundar padat yang tepat dengan tinggi  dan aperture  , yang porosnya adalah  sumbu koordinat dan yang puncaknya adalah asalnya, digambarkan secara parametrik sebagai

di mana  berkisar , , dan , masing-masing.

Dalam bentuk tersirat , padatan yang sama didefinisikan oleh ketidaksetaraan

di mana

Lebih umum, kerucut melingkar kanan dengan titik pada asal, sumbu sejajar dengan vektor , diberikan oleh persamaan vektor implisit  di mana
   atau   

di mana , dan  menunjukkan produk titik.

 Kerucut elips 
alt=elliptical cone quadric surface|jmpl|Permukaan quartic dan elips
Dalam sistem koordinat Kartesius,sebuah kerucut elips adalah lokus dari persamaan bentuk 

Ini adalah sebuah gambar affine dari unit lingkaran kanan dengan persamaan  Dari fakta, bahwa gambar affine dari bagian kerucut adalah bagian kerucut dari jenis yang sama (elips, parabola, ...) orang mendapat:

 Setiap bagian pesawat kerucut elips adalah bagian kerucut.

Jelas, setiap kerucut melingkar kanan berisi lingkaran. Ini juga benar, tetapi kurang jelas, dalam kasus umum

 Tampilan keliling 
Representasi parameter kerucut dapat dijelaskan sebagai berikut. Dengan gambar  koordinat kerucut dapat dikonversi menjadi Koordinat kartesius. Dengan gambar  
Koordinat kartesius dapat dikonversi menjadi koordinat kerucut.

 Konversi segmen kerucut yang diberikan ke koordinat kerucut 
mini|Segmen kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r1 dan r2
Keliling segmen kerucut diberikan oleh (lihat ilustrasi di bawah):
 ,

Maka batasnya dapat dinyatakan dalam keliling kerucut sebagai berikut:
 .

Keliling segmen kerucut padat karenanya berkisar:
 .

Representasi keliling berikut ini berlaku untuk permukaan lateral yang sesuai dari segmen kerucut ini:
 .

 Permukaan vektor 
Vektor normal permukaan adalah ortogonal ke permukaan kerucut. Diperlukan untuk B. melakukan perhitungan aliran melalui permukaan lateral. Luas permukaan lateral dapat dihitung sebagai integral ganda menggunakan norma vektor normal permukaan.

 Vektor satuan koordinat kerucut dalam komponen kartesius 
Vektor satuan dalam komponen kartesius diperoleh dengan normalisasi pada vektor tangen dari parameterisasi tersebut. Vektor tangen dihasilkan dari turunan parsial pertama menurut masing-masing variabel. Ketiga vektor satuan ini membentuk basis normal. Ini bukan basis ortonormal karena tidak semua vektor satuan ortogonal satu sama lain.

 Matriks transformasi 
Matriks fungsional dan kebalikannya diperlukan untuk kemudian mengubah turunan parsial.

 Matriks transformasi 
Matriks transformasi diperlukan untuk mentransformasikan unit vektor dan bidang vektor. Matriks ini terdiri dari vektor satuan dari parameterisasi sebagai vektor kolom. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan di bawah artikel Basiswechsel.

 Transformasi turunan parsial 
Turunan parsial dapat ditransformasikan dengan matriks Jacobi terbalik

Hasilnya adalah:

 Transformasi vektor satuan 
Vektor satuan dapat ditransformasikan dengan matriks transformasi terbalik.

Hasilnya adalah:

 Transformasi bidang vektor 
Bidang vektor dapat ditransformasikan oleh perkalian matriks dengan matriks transformasi.

Hasilnya adalah:

 Diferensial permukaan dan volume 
Diferensial volume dapat ditentukan menggunakan determinan dari matriks Jacobi. Ini menawarkan kemungkinan z. B. untuk menghitung volume kerucut menggunakan triple integral.

Diferensial permukaan dapat ditentukan dengan norma dari vektor normal permukaan. Jadi kamu bisa z. B. tentukan luas permukaan lateral dengan integral ganda.

 Operator diferensial vektor yang diubah 
 Operator nabla 
Representasi Operator Nabla dalam koordinat kerucut dapat diperoleh dengan memasukkan vektor satuan transformasi dan turunan parsial dalam operator kartesius Nabla:


 Gradien 
Gradien dalam koordinat kerucut diperoleh dengan menerapkan transformasi Operator Nabla ke medan skalar dalam koordinat kerucut.


 Divergensi bidang vektor 
Operator untuk divergensi bidang vektor dapat diperoleh dengan menerapkan operator Nabla ke bidang vektor dalam koordinat kerucut:


 Dimensi tinggi 
Definisi kerucut dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi (lihat kerucut cembung ). Dalam hal ini, salah satu mengatakan bahwa cembung set C di nyata vektor ruang R n adalah kerucut (dengan puncaknya pada titik asal) jika untuk setiap vektor x di C dan setiap non-negatif bilangan real a , vektor kapak di C. Dalam konteks ini, analog kerucut bundar biasanya tidak istimewa; bahkan orang sering tertarik pada kerucut polihedral.

 Rumus Frustum 

Frustum adalah sebuah tabung besar dikurangi sebuah tabung kecil.

Bukti:

Andaikan sebuah tabung besar memiliki jari-jari r serta potongan tinggi t sedangkan kecil jari-jari R dan tinggi T.

untuk mencari h dengan membandingkan sbb:

lalu



untuk mencari T sbb:





di mana 




 Lihat pula 
 Pi ()
 Alas (geometri)
 Persamaan parametrik
 Integral Fresnel

 Referensi 

Kategori:Geometri
Kategori:Bentuk