Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dalam matematika adalah kalimat/pernyataan matematika yang menunjukkan perbandingan ukuran dua objek atau lebih. Dua notasi dasar dalam pertidaksamaan adalah:

 Notasi pertidaksamaan 
 Notasi  Arti  Contoh <  lebih kecilkurang dari  2 < 3  x + 1 < 3 >  lebih besarlebih dari  3 > 2  3x + 1 > 5 ≤  lebih kecil atau sama denganbatas dibawahmaksimummaksimalsebanyaknyapaling banyaktidak lebih darisekurangnya  2 ≤ 3  x + 1 ≤ 3 ≥  lebih besar atau sama denganbatas diatasminimumminimalsesedikitnyapaling sedikittidak kurang dariselebihnya  3 ≥ 2  3x + 1 ≥ 5 ≠  tidak sama dengan  2 ≠ 3  x + 1 ≠ 3 a < x < b  di antara a dan b  2 < x < 5 a ≤ x < b  di antara a dan b bila ada a  2 ≤ x < 5 a < x ≤ b  di antara a dan b bila ada b  2 < x ≤ 5 a ≤ x ≤ b  di antara a dan b bila ada a dan b  2 ≤ x ≤ 5 x < a v x > b  kurang dari a atau lebih dari b  x < 2 v x > 5 x ≤ a v x > b  maksimal a atau lebih dari b  x ≤ 2 v x < 5 x < a v x ≥ b  kurang dari a atau minimal b  x < 2 v x ≥ 5 x ≤ a v x ≥ b  maksimal a atau minimal b  x ≤ 2 v x ≥ 5

 Jenis-jenis pertidaksamaan 
 Pertidaksamaan Linear 
 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !






 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !


  (karena nilai negatif maka tanda harus terbalik)




 Pertidaksamaan Kuadrat 
 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !



dibuat harga nol




dibuat irisan
  -2   5  +++    ----    +++



 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !



dibuat harga nol




dibuat irisan
  (-4)   (3)  +++    ----    +++



 Pertidaksamaan Irasional 
Dalam bentuk pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
  atau 

kuadratkan kedua sisinya akan menjadi  atau  serta haruslah mempunyai syarat yaitu f(x) ≥ 0 dan g(x) ≥ 0.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !





 Irisan 1


dibuat harga nol




karena ada syarat akar maka:
 Irisan 2


dibuat harga nol




 Irisan 3



gabungkan umum dan syarat
 Irisan   -2   (0)   (4)   5   (10)   pertama  tidak    ya    ya    ya    tidak    tidak kedua  ya    ya    tidak    ya    ya    ya ketiga   ya    ya    ya    ya    ya    tidak



 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !





 Irisan 1


dibuat harga nol




karena ada syarat akar maka:
 Irisan 2


dibuat harga nol




 Irisan 3



gabungkan umum dan syarat
 Irisan   (-50/3)   (-6)   (-2)   (2)   (9)  pertama   ya    ya    tidak    tidak    tidak    ya kedua   ya    ya    ya    tidak    ya    ya ketiga  tidak    ya    ya     ya    ya    ya



 Pertidaksamaan Pecahan 
Dalam bentuk pertidaksamaan pecahan sebagai berikut:

di mana  adalah fungsi aljabar dengan  dan  merepresentasikan notasi pertidaksamaan.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !








karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1



 penyebut 2



dibuat irisan
  2   11/4   3  +++    ----    +++    ----



 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !







dibuat harga nol


  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1



 penyebut 2



dibuat irisan
  -17   (-7)   3   (5)   +++    ----    +++    ----    +++



 Pertidaksamaan Mutlak 
Dalam bentuk pertidaksamaan mutlak sebagai berikut:
 Model I
  atau 
haruslah mempunyai dua nilai yaitu



 Model II
Jika  atau  maka kuadratkan kedua sisi tersebut akan menjadi  atau .

 Model III
Jika  maka menghasilkan  dan .

begitupula .

 Model IV
Jika  terkurung maka f(x) menghasilkan  serta -f(x) menghasilkan .

Pertidaksamaan mutlak akan memungkinkan definit + dan - karena tidak memotong dan menyinggung sumbu y.

 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !


karena f(x) < g(x) maka penyelesaian -g(x) < f(x) < g(x)


 untuk 

  definit +

 untuk 



dibuat harga nol




dibuat irisan
  -4   3   +++    ----    +++





 Tentukan nilai x dari persamaan !
 terlebih dahulu untuk mempunyai batas-batas yang ada

 untuk | x^2 - 4x - 12 |


 batasan f(x)


dibuat harga nol




dibuat irisan
  -2   6   +++    ----    +++



 batasan -f(x)


dibuat harga nol




dibuat irisan
  -2   6   +++    ----    +++



 untuk | 7 - 6x |


 batasan f(x)



 batasan -f(x)



keempat batas-batas akan dibuat irisan
 irisan   -2   7/6   6   pertama   x^2 - 4x - 12          x^2 - 4x - 12 kedua     -(x^2 - 4x - 12)    -(x^2 - 4x - 12)    ketiga  7 - 6x    7 - 6x       keempat        -(7 - 6x)    -(7 - 6x)

 untuk x <= -2




dibuat harga nol




dibuat irisan
  (-6)   (-2)   (4)   Ya    Ya    Tidak    Tidak +++    ----    ----    +++



 untuk -2 < x <= 7/6




dibuat harga nol




dibuat irisan
  -2   (0)   (7/6)   (10)  Tidak    Ya    Ya    Tidak    Tidak +++    +++    ----    ----    +++



 untuk 7/6 < x < 6




dibuat harga nol




dibuat irisan
  (-2)   (0)   7/6   6  Tidak    Tidak    Tidak    Ya    Tidak +++    ----    +++    +++    +++



untuk x >= 6


  definit +



gabungkan keempat batas-batas (sesuai dengan himpunan gabungan). jadi:


 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !








 akar dari 

  definit +

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1



 penyebut 2



 akar dari 



dibuat harga nol


  (tanpa gambar irisan)

karena ada syarat pecahan maka:
 penyebut 1



 penyebut 2



dibuat irisan
  -6   2*   3   10*  +++    ----    ----    +++    +++

 nb: * = mempunyai 2 akar



 Tentukan nilai x dari pertidaksamaan !





dibuat harga nol




dibuat irisan
  2   5  +++    ----    +++



karena ada syarat akar maka:
 akar 1


dibuat harga nol




dibuat irisan
  0   4  +++    ----    +++



 akar 2



gabungkan umum dan syarat
 irisan   (0)   (2)   (10/3)   (4)   (5)  pertama   ya    ya    tidak    tidak    tidak    ya kedua   ya    tidak    tidak    tidak    ya    ya ketiga  tidak    tidak    tidak     ya    ya    ya



 Pertidaksamaan aritmetika dan geometri 

Ada banyak pertidaksamaan antara cara. Contohnya, untuk bilangan positif a1, a2, …, an kita punya  di mana

{| style="height:200px"
|-
| || (rata-rata harmonis),
|-
| || (rata-rata geometris),
|-
| || (rata-rata aritmetika),
|-
| || (rata-rata kuadrat).
|}

 Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz 

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz menyatakan bahwa untuk semua vektor  u  dan  v  dari ruang hasil kali dalam memang benar bahwa

where  adalah produk dalam. Contoh produk dalam mencakup produk titik nyata dan kompleks; Di ruang Euklides Rn dengan hasil kali dalam standar, pertidaksamaan Cauchy-Schwarz adalah


 Pertidaksamaan pangkat 
Sebuah "pertidaksamaan pangkat" adalah pertidaksamaan yang mengandung istilah bentuk ab, di mana  a  dan  b  adalah bilangan positif nyata atau ekspresi variabel. Mereka sering muncul dalam latihan olimpiade matematika.

 Contoh 

 Dari bilangan riil  x,

 Bila x > 0 dan p > 0, maka

 Dalam batas p → 0, batas atas dan bawah bertemu ln(x). 
 Bila x > 0, maka

 Bila x > 0, maka

 Bila x, y, z > 0, maka

 Untuk bilangan riil  a  dan  b ,

 Bila x, y > 0 dan 0 < p < 1, maka

 Bila x, y, z > 0, maka

 Bila a, b > 0, maka

 Bila a, b > 0, maka

 Bila a, b, c > 0, maka

 Bila a, b > 0, maka


 Pertidaksamaan yang terkenal 

Matematikawan sering menggunakan pertidaksamaan untuk jumlah terikat yang rumus eksaknya tidak dapat dihitung dengan mudah. Beberapa ketidaksetaraan begitu sering digunakan sehingga memiliki nama:

 Pertidaksamaan Azuma
 Pertidaksamaan Bernoulli
 Pertidaksamaan Bell
 Pertidaksamaan Boole
 Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz
 Pertidaksamaan Chebyshev
 Pertidaksamaan Chernoff
 Pertidaksamaan Cramér–Rao
 Pertidaksamaan Hoeffding
 Pertidaksamaan Hölder
 Pertidaksamaan rata-rata aritmetika dan geometri
 Pertidaksamaan Jensen
 Pertidaksamaan Kolmogorov
 Pertidaksamaan Markov
 Pertidaksamaan Minkowski
 Pertidaksamaan Nesbitt
 Pertidaksamaan Pedoe
 Pertidaksamaan Poincaré
 Pertidaksamaan Samuelson
 Pertidaksamaan segitiga

 Lihat pula 
Hubungan biner
Biner (matematika), untuk penggunaan tanda <dan ›yang serupa sebagai tanda kurung
Inklusi (teori himpunan)
Inequation
Interval (matematika)
Daftar pertidaksamaan
Daftar pertidaksamaan segitiga
Himpunan yang dipesan sebagian
Operator relasional, digunakan dalam bahasa pemrograman untuk menunjukkan ketidaksetaraan

 Referensi 

 Sumber 












 Pranala luar 


 Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
 AoPS Wiki entry about Inequalities


Kategori:Aljabar elementer
Kategori:Istilah matematika