Metode prediktor–korektor

Dalam analisis numerik, metode prediktor–korektor termasuk dalam algoritma yang dirancang untuk mengintegrasikan persamaan diferensial biasa - untuk menemukan fungsi yang tidak diketahui yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. Algoritma tersebut diproses dalam dua langkah:
 Langkah awal, "prediksi", dimulai dari fungsi yang ditempatkan ke nilai fungsi dan nilai turunan untuk mengekstrapolasi nilai fungsi ini pada titik baru berikutnya.
 Langkah "korektor", menyempurnakan perkiraan awal dengan menggunakan nilai fungsi yang diprediksi dan metode lain untuk menginterpolasi nilai fungsi yang tidak diketahui itu pada titik berikutnya.

 Metode Prediktor-korektor 
 metode Trapesium-Euler 
Metode-metode yang sudah dibahas pada bagian-bagian sebelumnya yaitu Metode Euler dan Runge-kutta merupakan metode satu langkah untuk menyeleseikan persamaan diferensial biasa.sekarang kita akan membahas metode multi langkah,untuk menghitung yk dengan menggunakan gradien-gradien fj,dengan j < k,yang sudah diperoleh sebelumnya.metode ini tidak dapat dimulai dengan sendirinya karena tergantung pada metode-metode satu langkah seperti metode Euler untuk mendapatkan beberapa gradien awal.

metode prediktor-korektor terdiri atas dua bagian:(1) bagian prediktor,yang memprediksi yk dengan menggunakan gradien-gradien fj (j < k),dan (2)bagian korektor,yang menggunakan suatu rumus integrasi untuk memperbaiki hampiran.

Metode Trapesium-Euler menggunakan metode Euler sebagai algoritma korektor.jika kita gunakan indek pertama untuk menunjukan interval(langkah)dab indek kedua untuk menunjukan urutan hampiran,maka rumus Euler dapat ditulis sebagai

          yk+1,0=yk,* +hfk,*                                              

dengan aturan rumus dan'*' berturut-turut menunjukan hampiran awal dan akhir.pada rumus Euler,yk,* = yk = y(tk),dan fk,* = f(tk,yk).

Sebagai persamaan korektor,aturan trapesium dinyatakan sebagai

       yk+1,j = yk,* + h/2(fk,* + fk+1,j-1)

Dengan j adalah penghitung iterasi proses koreksi dan


         fk+,j-1 = f(tk+1,yk+1,j-1)
persamaan korektor yang digunakan sebanyak yang diperlukan untuk mendapatkan keakuratan yang diinginkan. perhatikan bahwa dengan menggunakan persamaan Euler sebagai nilai awal,yk+,j dapat dihitung untuk j=1,2 ....dengan rumus trapesium.proses koreksi dapat dihentikan setelah iterasi ke-n(ditentukan)atau setelah |yk+1,j+1-yk+1,j|<€,untuk suatu nilai € yang ditentukan.

 Algoritma (Metode Trapesium Euler) 
 menghitung hampiran penyeleseian masalah nilai awal y'=f(t,y) dengan y(t0)=y0 pada [t0,b].
INPUT:n,t0,b,y0,€ dan fungsi f
OUTPUT:(tk,yk),k=1,2,..n
LANGKAH-LANGKAH:

 Hitung h=(b-t0)/n
 FOR k=1,2,..n
  hitung f-=f(tk-1yk-1)

  hitung tk=tk-1+h,z0=yk-1+h*f-

REPEAT

(a) Hitung z=z0+h/2[f-+f(tk,z0)]

(b) Hitung selisih=z-z0

(c) simpan z0=z

UNTIL|selisih|<€

simpan yk=z0

3. SELESAI

Berikut diberikan gambaran pemakaian metode ini melalui contoh.
Seleseikan persamaan diferensial dibawah ini

dy/dx=x*sqrt(y) sedemikian sehingga y(1)=1.

Penyeleseian

kita akan menyeleseikan PD ini dengan dua cara

 menggunakan metode Euler,dan

 menggunakan metode Trapesium-Euler


 metode euler 
     a=1;b=2;h=0.1;y0=1;
       xy=[a y0];
        for t=a+h:h:b,y=y0+h*t*sqrt(y0);
       xy=[xy; t y];
      y0=y;end
    xy

 xy =

    1.0000    1.0000
    1.1000    1.1100
    1.2000    1.2364
    1.3000    1.3810
    1.4000    1.5455
    1.5000    1.7320
    1.6000    1.9425
    1.7000    2.1795
    1.8000    2.4452
    1.9000    2.7423
    2.0000    3.0735

 metode Trapesium-Euler 
        a=1;b=2;h=0.1;t01=0.0001;
        y=1;xy=[a y];
           for t=a+h:h:b,
              y0=y+h*t*sqrt(y);y1=y0;
              y2=y+h*(t*sqrt(y)+(t+h)*sqrt(y1))/2;
            while abs(y2-y1)>=t01,
              y1=y2;y2=y+h*(t*sqrt(y)+(t+h)*sqrt(y1))/2;
                 end
                   xy=[xy; t y2];y=y2;end
               xy

xy =

    1.0000    1.0000
    1.1000    1.1185
    1.2000    1.2547
    1.3000    1.4107
    1.4000    1.5883
    1.5000    1.7899
    1.6000    2.0176
    1.7000    2.2741
    1.8000    2.5619
    1.9000    2.8837
    2.0000    3.2426

Bandingkan nilai tersebut dengan nilai-nilai penyeleseian eksak 

          1	1
          1.1	1.1077562
          1.2	1.2321
          1.3	1.3747563
          1.4	1.5376
          1.5	1.7226562
          1.6	1.9321
          1.7	2.1682562
          1.8	2.4336
          1.9	2.7307563
          2.	3.0625

nilai eksak tersebut didapat dari pendekatan analitis

kita amati bahwa pendekatan dengan metode euler lebih dekat ke nilai eksak sehingga mempunyai galat yang ledih kecil dibanding dengan pendekatan trapesium-euler,pendekatan trapesium-euler mempunyai nilai galat yang lebih besar