Persamaan diferensial parsial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas, elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama lain.

 Pengantar 

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi  dapat ditentukan jika  dispesifikasikan pada sebuah garis .

 Keberadaan dan keunikan 
Meskipun masalah keberadaan dan keunikan solusi pada persamaan diferensial biasa memiliki jawaban yang sangat memuaskan menggunakan Teorema Picard-Lindelöf, yaitu kasus untuk persamaan diferensial parsial. Teorema Cauchy-Kowalevski menyatakan bahwa Masalah Cauchy untuk persamaan diferensial parsial yang koefisien adalah Fungsi analitik dalam fungsi yang tidak diketahui. Meskipun hasil ini mungkin menyelesaikan keberadaan dan keunikan solusi, contoh persamaan diferensial parsial linier koefisiennya memiliki turunan dari semua pesanan tetapi tidak memiliki solusi sama sekali: lihat Lewy (1957).

Contoh perilaku patologis adalah urutan (tergantung pada ) Masalah Cauchy untuk Persamaan Laplace



dengan syarat batas



darimana  adalah bilangan bulat.

Turunan dari  adalah hubungan dengan  yang mendekati nol dalam , tetapi solusinya adalah



 Klasifikasi 

- Dalam pengembangan -

 Notasi 
Penulisan PDP umumnya ditulis dengan menggunakan tika bawah. Misalnya:

Pada situasi umum dengan  adalah fungsi dengan  variabel, maka  menunjukkan turunan parsial pertama terhadap input ke-,  menunjukkan turunan parsial kedua relatif terhadap input ke- dan ke-, dan seterusnya.

Huruf yunani  menunjukkan Operator Laplace; jika  adalah funsi dengan jumlah  variabel, maka

Pada bacaan fisika, operator Laplace sering dituliskan sebagai . Pada bacaan matematika,  dapat juga mempresentasikan matriks Hesse dari fungsi .

 Jenis umum PDP 

Persamaan diferensial parsial eliptik, parabola, dan hiperbolik orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan Korteweg-de Vries. Hibrida Persamaan Euler-Tricomi, yang bervariasi dari eliptik ke hiperbolik untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.

Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.

 Persamaan linear dan nonlinear 

 Persamaan linear 
Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan linear jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi  dengan variabel  dan , sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk

dengan  dan  adalah fungsi dengan variabel independen  dan  saja. Sering kali turunan parsial campuran  dan  akan disamakan, tapi ini tidak diperlukan untuk diskusi tentang linearitas persamaan.

Jika  adalah konstan (independen terhadap  dan ), maka PDP tersebut dikatakan disebut sebagai linear dengan koefisien konstan. Jika  bernilai 0 di mana pun, maka PDP linear disebut homogenous, jika tidak maka disebut inhomogenous. Ini berbeda dengan homogenisasi asimpotik yang mempelajari tentang efek dari osilasi frekuensi tinggi pada koefisien pada solusi PDP.

 Nonlinear equations 

Tiga jenis PDP nonlinear adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.

Jenis terdekat dengan PDP linear adalah PDP semi-linear, di mana hanya turunan orde tertinggi muncul seperti bagian linear, dengan koefisien adalah fungsi dari variabel independen. Turunan orde lebih rendah dan fungsi yang tidak diketahui mungkin terlihat acak. Misalnya, sebuah persamaan PDP semi-linear orde kedua yang umum dengan dua variabel adalah

Pada PDP quasilinear'', turunan tertinggi juga muncul seperti bagian linear, tapi dengan koefisien yang kemungkinan fungsi terhadap variabel yang tidak diketahui atau turunan dengan orde yang lebih rendah:

Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan relativitas umum dan Persamaan Navier-Stokes yang mendeskripsikan pergerakan fluida.

Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai nonlinear penuh''', dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah Persamaan Monge–Ampère yang muncul dari geometri diferensial.

 Solusi analitis 
 Pemisahan variabel 
PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan pemisahan variabel. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.

Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.

Hal tersebut kemungkinan untuk PDP yanh sederhana, disebut pula persamaan diferensial parsial yang terpisahkan dan domain umum persegi panjang (hasil kali interval). PDP yang dapat memisahkan sesuai dengan hasil matriks diagonal dengan memikirkan "menetapkan nilai x" sebagai koordinat, setiap koordinat dapat dipahami secara terpisah.

Pada saat menggeneralisasi metode karakteristik dan juga digunakan dalam transformasi integral.

 Solusi numerik 

 Referensi 

 Pranala luar 

Kategori:Kalkulus diferensial

Parsial
Diferensial parsial
Diferensial parsial