Kalkulus vektor

Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelesaikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, di mana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, di mana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang.

 Ruang Lingkup 
Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.

Aljabar vektor

Operasi aljabar (non-diferensial) dalam kalkulus vektor disebut sebagai aljabar vektor, didefinisikan untuk ruang vektor dan kemudian diterapkan secara global ke bidang vektor. Operasi aljabar dasar terdiri dari:

+Notasi dalam kalkulus vektorOperasiNotasiDeskripsiPenambahan vektorPenjumlahan dua vektor, menghasilkan vektor.Perkalian skalarPerkalian skalar dan vektor, menghasilkan vektor.Produk titikPerkalian dua vektor, menghasilkan skalar.Produk silangPerkalian dua vektor pada , menghasilkan vektor (pseudo).

Yang juga biasa digunakan adalah keduanya produk tiga kali lipat:
+Hasil kali tiga kalkulus vektorOperasiNotasiDeskripsiProduk triple skalarProduk titik dari perkalian silang dua vektor.Produk triple vektorProduk silang dari perkalian dua vektor.

 Operator dan teorema 

Operator diferensial

Kalkulus vektor mempelajari berbagai operator diferensial yang ditentukan pada bidang skalar atau vektor, yang biasanya dinyatakan dalam operator del (), juga dikenal sebagai "nabla". Tiga operator vektor dasar adalah:
+Operator diferensial dalam kalkulus vektorOperasiNotasiDeskripsiNotasionalanalogiDomainGradienMengukur laju dan arah perubahan dalam bidang skalar.Perkalian skalarMemetakan bidang skalar ke bidang vektor.PerbedaanMengukur skalar sumber atau sink pada titik tertentu dalam bidang vektor.Produk titikMemetakan bidang vektor ke bidang skalar.KurlMengukur kecenderungan untuk memutar di sekitar titik dalam bidang vektor di .Produk silangMaps vector fields to (pseudo)vector fields. menunjukkan bidang skalar dan  menunjukkan bidang vektor

Yang juga umum digunakan adalah dua operator Laplace:

+Operator Laplace dalam kalkulus vektorOperasiNotasiDeskripsiDomain / RentangLaplacianMengukur selisih antara nilai bidang skalar dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.Peta antar bidang skalar.Vektor LaplacianMengukur selisih antara nilai bidang vektor dengan rata-ratanya pada bola yang sangat kecil.Peta antar bidang vektor. menunjukkan bidang skalar dan  menunjukkan bidang vektor

Kuantitas yang disebut matriks Jacobian berguna untuk mempelajari fungsi ketika domain dan rentang fungsi tersebut multivariabel, seperti perubahan variabel selama integrasi.

Teorema integral
Tiga operator vektor dasar memiliki teorema yang sesuai yang menggeneralisasi teorema dasar kalkulus ke dimensi yang lebih tinggi:

+Teorema integral kalkulus vektor Teorema Pernyataan Deskripsi Teorema gradien  Garis integral dari gradien bidang skalar di atas kurva L sama dengan perubahan bidang skalar antara titik-titik akhir p dan q dari kurva. Teorema divergensi  Integral dari divergensi bidang vektor di atas sebuah -dimensi padat V  sama dengan fluks dari bidang vektor melalui -dimensi permukaan batas tertutup dari padatan. Teorema Curl (Kelvin–Stokes)  Integral dari lengkungan bidang vektor di atas permukaan Σ dalam  sama dengan sirkulasi bidang vektor di sekitar kurva tertutup yang membatasi permukaan. denotes a scalar field and  denotes a vector field

Dalam dua dimensi, teorema divergensi dan keriting tereduksi menjadi teorema Green:

+Teorema Green untuk kalkulus vektor Teorema Pernyataan Deskripsi Teorema Green   Integral dari divergensi (atau lengkungan) bidang vektor di beberapa wilayah A   sama dengan fluks (atau sirkulasi) bidang vektor di atas kurva tertutup yang membatasi daerah tersebut.Untuk divergensi, . Untuk ikal, . L dan M adalah fungsi dari (x, y).

 Nabla 
Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .

Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu:
 Gradien
 Divergensi
 Curl
 Laplacian

 Lihat pula 

 Analisis kurva nilai vektor
 Fungsi bernilai nyata
 Fungsi variabel nyata
 Fungsi dari beberapa variabel nyata
 Identitas kalkulus vektor
 Hubungan aljabar vektor
 Del dalam koordinat tabung dan bola
 Turunan arah
 Bidang vektor konservatif
 Bidang vektor solenoida
 Bidang vektor Laplacian
 Dekomposisi Helmholtz
 Koordinat ortogonal
 Koordinat kemiringan
 Koordinat Lengkungan
 Tensor

Kategori:Kalkulus