Transformasi Laplace

Transformasi Laplace atau alih ragam Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan masalah dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

Dalam matematika jenis transformasi atau alih ragam ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, perangkat optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pengolahan isyarat dan teori kemungkinan.

Nama transformasi ini diberikan untuk menghormati seorang ahli matematika dan astronomi, Pierre-Simon Laplace, yang menggunakan teknik transformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan. Sebenarnya teknik ini ditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swiss abad kedelapanbelas.
 Definisi formal 
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:



Limit bawah  adalah kependekan dari    dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac  pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.

Secara umum parameter s bernilai kompleks:

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.

Tabel berikut ini adalah daftar transformasi Laplace:

+ Karakteristik transformasi Laplace   Domain waktu
  Domain 
  Keterangan  Linearitas


  Dapat dibuktikan dengan aturan integral sederhana.  Turunan domain-frekuensi


   adalah turunan pertama dari .  Turunan umum domain-frekuensi


  Bentuk yang lebih umum, turunan ke- dari .  Turunan


   diasumsikan sebagai fungsi yang dapat didiferensiasi, dan turunannya diasumsikan bertipe eksponensial. Lalu didapatkan melalui integral parsial  Turunan kedua


   diasumsikan diturunkan 2 kali dan turunan kedua merupakan eksponensial. Dilanjutkan dengan memasukkan properti turunan ke .  Turunan secara umum


   diasumsikan diturunkan ke- kali, dengan turunan ke- adalah eksponensial. Dilanjutkan dengan induksi matematika.  Integrasi domain-frekuensi


    Integrasi domain-waktu


   adalah fungsi step Heaviside. Catat bahwa  adalah konvolusi dari  dan .  Frequency shifting


   Time shifting


   adalah fungsi step Heaviside  Time scaling


    Perkalian


  Integrasi dilakukan sepanjang garis vertikal  yang terletak di antara luasan konvergen .  Konvolusi


    Konjugasi kompleks


   Cross-correlation


   Fungsi periodik


   adalah fungsi periodik dari periode  sehingga , untuk semua . 

 Kutipan 

 Referensi 

 Modern 








 Klasik 



 , Chapters 3–5



 Bacaan lanjutan 
 .




 Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, 


  - See Chapter VI. The Laplace transform.



 Pranala luar 


 Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
 Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.

 Good explanations of the initial and final value theorems 
 Laplace Transforms at MathPages
 Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
 Laplace Calculator  to calculate Laplace Transforms online easily.

Kategori:Matematika
Kategori:Persamaan diferensial
Kategori:Transformasi integral