Logaritma

Dalam matematika, logaritma adalah fungsi invers dari eksponensiasi. Dengan kata lain, logaritma dari  adalah eksponen dengan bilangan pokok  yang dipangkatkan dengan bilangan konstan lain agar memperoleh nilai . Kasus sederhana dalam logaritma adalah menghitung jumlah munculnya faktor yang sama dalam perkalian berulang. Sebagai contoh,  dibaca, "logaritma 1000 dengan bilangan pokok 10 sama dengan 3" atau dinotasikan sebagai . Logaritma dari  dengan bilangan pokok  dilambangkan . Terkadang logaritma dilambangkan sebagai  atau tanpa menggunakan tanda kurung, , atau bahkan tanpa menggunakan bilangan pokok khusus, .

Ada tiga bilangan pokok logaritma yang umum beserta kegunaannya. Logaritma dengan bilangan pokok  () disebut sebagai logaritma umum, yang biasanya dipakai dalam ilmu sains dan rekayasa. Logaritma dengan dengan bilangan pokok bilangan  () disebut sebagai logaritma alami, yang dipakai dengan luas dalam matematika dan fisika, karena dapat mempermudah perhitungan integral dan turunan. Logaritma dengan bilangan pokok  () disebut sebagai logaritma biner, yang sering kali dipakai dalam ilmu komputer.

Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 sebagai alat yang menyederhanakan perhitungan. Logaritma dipakai lebih cepat dalam navigator, ilmu sains, rekayasa, ilmu ukur wilayah, dan bidang lainnya untuk lebih mempermudah perhitungan nilai yang sangat akurat. Dengan menggunakan tabel logaritma, cara yang membosankan seperti mengalikan digit yang banyak dapat digantikan dengan melihat tabel dan penjumlahan yang lebih mudah. Ini dapat dilakukan karena logaritma dari hasil kali bilangan merupakan logaritma dari jumlah faktor bilangan:



asalkan bahwa ,  dan  bilangan positif dan . Mistar hitung yang juga berasal dari logaritma dapat mempermudah perhitungan tanpa menggunakan tabel, tetapi perhitungannya kurang akurat. Leonhard Euler mengaitkan gagasan logaritma saat ini dengan fungsi eksponensial pada abad ke-18, dan juga memperkenalkan huruf  sebagai bilangan pokok dari logaritma alami.

Penerapan skala logaritmik dipakai dalam mengurangi kuantitas yang sangat besar menjadi lebih kecil. Sebagai contoh, desibel (dB) adalah satuan yang digunakan untuk menyatakan rasio sebagai logaritma, sebagian besar untuk kekuatan sinyal dan amplitudo (contoh umumnya pada tekanan suara). Dalam kimia, pH mengukur keasaman dari larutan berair melalui logaritma. Logaritma umumnya dipakai dalam rumus ilmiah, dalam pengukuran kompleksitas algoritma dan objek geometris yang disebut sebagai fraktal. Logaritma juga membantu untuk menjelaskan frekuensi rasio interval musik, ditemukan di rumus yang menghitung bilangan prima atau hampiran faktorial, memberikan gambaran dalam psikofisika, dan dapat membantu perhitungan akuntansi forensik.

Konsep logaritma sebagai invers dari eksponensiasi juga memperluas ke struktur matematika lain. Namun pada umumnya, logaritma cenderung merupakan fungsi bernilai banyak. Sebagai contoh, logaritma kompleks merupakan invers dari fungsi eksponensial pada bilangan kompleks. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma diskret dalam grup hingga, merupakan invers fungsi eksponensial bernilai banyak yang memiliki kegunaan dalam kriptografi kunci publik.

 Alasan 
Operasi aritmetika yang paling dasar adalah penambahan, perkalian, dan eksponen. Kebalikan dari penambahan adalah pengurangan, dan kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Mirip dengan contoh sebelumnya, logaritma merupakan kebalikan (atau invers) dari operasi eksponensiasi. Eksponensiasi adalah bilangan bilangan pokok  yang ketika dipangkatkan dengan  memberikan nilai . Ini dirumuskan sebagai



Sebagai contoh,  pangkat  memberikan nilai . Secara matematis, .

Logaritma dengan bilangan pokok  adalah operasi invers yang menyediakan nilai keluaran  dari nilai masukan . Hal ini mengartikan bahwa  ekuivalen dengan , jika  bilangan real positif. (Jika  bukanlah bilangan real positif, eksponensiasi dan logaritma dapat terdefinisi tetapi membutuhkan beberapa nilai, sehingga definisi darinya semakin rumit.)

Salah satu alasan bersejarah utamanya dalam memperkenalkan logaritma adalah rumus



yang dapat mempermudah perhitungan nilai perkalian dan pembagian dengan penjumlahan, pengurangan, dan melihat tabel logaritma. Perhitungan ini dipakai sebelum komputer ditemukan.

 Definisi 
Diberikan bilangan real positif  sehingga , maka logaritma dari bilangan real positif  terhadap bilangan pokok  adalah eksponen dengan bilangan pokok  yang dipangkatkan bilangan agar memperoleh nilai . Dengan kata lain, logaritma bilangan pokok  dari  adalah bilangan real  sehingga ., chapter 1 Logaritma dilambangkan sebagai  (dibaca "logaritma  dengan bilangan pokok "). Terdapat definisi yang mirip dan lebih ringkas mengatakan bahwa fungsi  invers dengan fungsi .

Sebagai contoh, , karena . Logaritma juga dapat bernilai negatif, contohnya , karena . Logaritma juga berupa nilai desimal, sebagai contoh  kira-kira sama dengan 2,176 karena terletak di antara 2 dan 3, dan begitupula 150 terletak antara  dan . Adapun sifat logaritma bahwa untuk setiap ,  karena , dan  karena .

 Identitas logaritma 

Ada beberapa rumus penting yang mengaitkan logaritma dengan yang lainnya.Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan pada . Sebagai contoh, , atau .

 Hasil kali, hasil bagi, pangkat, dan akar 
Logaritma dari hasil kali merupakan jumlah logaritma dari bilangan yang dikalikan, dan logaritma dari hasil bagi dari dua bilangan merupakan selisih logaritma. Logaritma dari bilangan pangkat ke- sama dengan  dikali logaritma dari bilangan tersendiri, dan logaritma bilangan akar ke- sama dengan logaritma dibagi dengan . Tabel berikut memuat daftar sifat-sifat logaritma tersebut beserta contohnya. Masing-masing identitas ini diperoleh dari hasil substitusi dari definisi logaritma  atau  pada ruas kiri persamaan.
RumusContohHasil kaliHasil bagiPangkatAkar

 Mengubah bilangan pokok 
Logaritma  dapat dihitung sebagai hasil bagi logaritma  dengan logaritma  terhadap bilangan pokok sembarang . Secara matematis dirumuskan sebagai:



Dimulai dari identitas berikut



ini dapat menerapkan  pada kedua ruas sehingga memperoleh

 .

Ketika mencari penyelesaian untuk , maka menghasilkan persamaan:

 .

Hal ini memperlihatkan faktor konversi dari nilai  ke nilai  yang serupa agar memperoleh bentuk 
Kalkulator ilmiah merupakan alat yang menghitung logaritma dengan bilangan pokok 10 dan ., hlm. 21 Logaritma terhadap setiap bilangan pokok  dapat ditentukan menggunakan kedua logaritma tersebut melalui rumus sebelumnya:



Diberikan suatu bilangan  dan logaritma  , dengan  adalah bilangan pokok yang tidak diketahui. Bilangan pokok tersebut dapat dinyatakan dengan



Rumus ini dapat diperlihatkan dengan mengambil persamaan yang mendefinisikan , lalu dipangkatkan dengan .

 Bilangan pokok khusus 
jmpl|Grafik logaritma dengan bilangan pokok 0,5;  2; dan 
Secara khusus, terdapat tiga bilangan pokok yang umum di antara semua pilihan bilangan pokok pada logaritma. Ketiga bilangan pokok tersebut adalah ,  (konstanta bilangan irasional yang kira-kira sama dengan 2,71828), dan  (logaritma biner). Dalam analisis matematika, logaritma dengan bilangan pokok  tersebar karena sifat analitik yang dijelaskan di bawah. Di sisi lain, logaritma dengan  mudah dipakai dalam perhitungan manual dalam sistem bilangan desimal:, chapter 17, hlm. 275



Jadi,  berkaitan dengan jumlah digit desimal dari bilangan bulat positif : jumlah digitnya merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari ., hlm. 20 Sebagai contoh,  kira-kira sama dengan 3,15. Bilangan berikutnya merupakan jumlah digit dari 1430, yaitu 4. Dalam teori informasi, logaritma alami dipakai dalam nat dan logaritma dengan bilangan pokok 2 dipakai dalam bit sebagai satuan dasar informasi. Logaritma biner juga dipakai dalam ilmu komputer, dengan sistem biner ditemukan dimana-mana. Dalam teori musik, rasio tinggi nada kedua (yaitu oktaf) ditemukan dimana-mana dan jumlah sen antara setiap dua tinggi nada dirumuskan sebagai konstanta 1200 dikali logaritma dari rasio (yaitu, 100 sen per setengah nada dengan temperamen sama). Dalam fotografi, logaritma dengan bilangan pokok dua dipakai untuk mengukur nilai pajanan, tingkatan cahaya, waktu eksposur, tingkap, dan kecepatan film dalam "stop".

Tabel berikut memuat notasi-notasi umum mengenai bilangan pokok beserta bidang yang dipakai. Selain , adapula notasi logaritma lain yang ditulis sebagai , dan juga seperti . Pada kolom "Notasi ISO" memuat penamaan yang disarankan Organisasi Standardisasi Internasional, yakni ISO 80000-2.Quantities and units–Part 2: Mathematics (ISO 80000-2:2019); EN ISO 80000-2 Karena notasi  telah dipakai untuk ketiga bilangan pokok di atas (atau ketika bilangan pokok belum ditentukan), bilangan pokok yang dimaksud harus sering diduga tergantung konteks atau bidangnya. Sebagai contoh,  biasanya mengacu pada  dalam ilmu komputer, dan  mengacu pada .Terjemahan: Dalam konteks lainnya,  seringkali mengacu pada .
Bilangan pokokNama Notasi ISONotasi lainDipakai dalam bidang2logaritma biner, , ,See footnote 1 in  ilmu komputer, teori informasi, bioinformatika, teori musik, fotografilogaritma alami (dipakai dalam matematikaLihat Teorema 3.29 di  dan beberapa bahasa pemrograman lainnya), matematika, fisika, kimia,
statistik, ekonomi, teori informasi, dan rekayasa10logaritma biasa, 
(dipakai dalam rekayasa, biologi, dan astronomi)bidang berbagai rekayasa (lihat desibel dan lihat di bawah),
tabel logaritma, kalkulator genggam, spektroskopilogaritma dengan bilangan pokok matematika

 Sejarah 

Sejarah logaritma yang dimulai dari Eropa pada abad ketujuh belas merupakan penemuan fungsi terbaru yang memperluas dunia analisis di luar keterbatasan metode aljabar. Metode logaritma dikemukakan secara terbuka oleh John Napier pada tahun 1614, dalam bukunya yang berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Namun, teknik-teknik lain sebelum penemuan Napier sudah ada dengan keterbatasan metode yang serupa, contohnya seperti prosthafaeresis atau penggunaan tabel barisan, yang dikembangkan dengan luas oleh Jost Bürgi sekitar tahun 1600. Napier menciptakan istilah untuk logaritma dalam bahasa Latin Tengah, “logaritmus”, yang berasal dari gabungan dua kata Yunani, logos “proporsi, rasio, kata” + arithmos “bilangan”. Secara harfiah, "logaritmus" berarti “bilangan rasio”.

Logaritma umum dari bilangan adalah indeks dari perpangkatan sepuluh yang sama dengan bilangan tersebut.William Gardner (1742) Tables of Logarithms Bilangan yang sangat membutuhkan banyak angka merupakan kiasan kasar untuk logaritma umum, dan Archimedes menyebutnya sebagai “orde bilangan”. Logaritma real pertama adalah metode heuristik yang mengubah perkalian menjadi penjumlahan, sehingga memudahkan perhitungan yang cepat. Ada beberapa metode yang menggunakan tabel yang diperoleh dari identitas trigonometri,Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics–Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolic logarithms, hlm. 117, Springer  dan metode tersebut dinamakan prosthafaeresis.

Penemuan fungsi yang dikenal saat ini sebagai logaritma alami, berawal dari saat Grégoire de Saint-Vincent mencoba menggambarkan kuadratur hiperbola persegi panjang. Archimedes menulis risalah yang berjudul The Quadrature of the Parabola pada abad ke-3 SM, tetapi kuadratur hiperbola menghindari semua upayanya hingga Saint-Vincent menerbitkan hasilnya pada tahun 1647. Logaritma yang mengaitkan barisan dan deret geometri dalam argumen dan nilai barisan dan deret aritmetika, meminta Antonio de Sarasa untuk mengaitkan kuadratur Saint-Vincent dan tradisi logaritma dalam prosthafaeresis sehingga mengarah ke sebuah persamaan kata untuk logaritma alami, yaitu "logaritma hiperbolik". Christiaan Huygens dan James Gregory mulai mengenali fungsi baru tersebut. Leibniz memakai notasi Log y pada tahun 1675,Florian Cajori (1913) "History of the exponential and logarithm concepts", American Mathematical Monthly 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205. dan tahun berikutnya ia mengaitkannya dengan integral



Sebelum Euler mengembangkan konsep modernnya tentang logaritma alami kompleks, Roger Cotes memperlihatkan hasil yang hampir sama pada tahun 1714 bahwa

 .

 Tabel logaritma, mistar hitung, dan penerapan bersejarah 
ka|jmpl|360x360px|Penjelasan logaritma dalam Encyclopædia Britannica pada tahun 1797.
Dengan menyederhanakan perhitungan yang rumit sebelum adanya mesin hitung komputer, logaritma berkontribusi pada kemajuan pengetahuan, khususnya astronomi. Logaritma sangat penting terhadap kemajuan dalam survei, navigasi benda langit, dan cabang lainnya. Pierre-Simon Laplace menyebut logaritma sebagai

 "...kecerdasan yang mengagumkan, [sebuah alat] yang mengurangi pekerjaan berbulan-bulan menjadi beberapa hari, menggandakan kehidupan astronom, dan menghindarinya dari kesalahan dan rasa jijik yang tak terpisahkan dari perhitungan yang panjang.", hlm. 44Teks asli:

Karena fungsi  adalah fungsi invers dari , maka fungsi tersebut disebut sebagai antilogaritma., bagian 4.7., hlm. 89 Saat ini, antilogaritma lebih sering disebut fungsi eksponensial.

 Tabel logaritma 
Sebuah alat penting yang memungkinkan penggunaan logaritma adalah tabel logaritma., bagian 2 Tabel logaritma pertama kali disusun oleh Henry Briggs pada tahun 1617 setelah penemuan Napier, tetapi penemuannya menggunakan 10 sebagai bilangan pokok. Tabel pertamanya memuat logaritma umum dari semua bilangan bulat yang berkisar antara 1 dengan 1000, dengan ketepatan yang dimiliki 14 digit, dan kemudian ia membuat tabel dengan kisaran yang besar. Tabel tersebut mencantumkan nilai  untuk setiap bilangan  dalam kisaran dan ketepatan tertentu. Karena bilangan yang berbeda dengan faktor 10 memiliki logaritma yang berbeda dengan bilangan bulat, logaritma dengan bilangan pokok 10 digunakan secara universal untuk perhitungan, sehingga disebut logaritma umum. Logaritma umum dari  dipisahkan menjadi bagian bilangan bulat yang dikenal sebagai karakteristik, dan bagian pecahan () yang dikenal sebagai mantissa. Tabel logaritma hanya perlu menyertakan mantissa, karena karakteristik logaritma umum dapat dengan mudah ditentukan dengan menghitung angka dari titik desimal., hlm. 264 Karakteristik logaritma umum dari  sama dengan satu ditambah karakteristik , dan mantissanya sama. Dengan menggunakan tabel logartima dengan tiga digit, nilai logaritma dari 3542 kira-kira sama dengan



Nilainya dengan ketepatan yang sangat tinggi dapat diperoleh melalui interpolasi:



Nilai  dapat ditentukan dengan pencarian terbalik pada tabel yang sama, karena logaritma merupakan fungsi monoton.

 Perhitungan 
Hasil kali atau hasil bagi dari dua bilangan positif  dan  biasanya dihitung sebagai penambahan dan pengurangan logaritma. Hasil kali  berasal dari antilogaritma dari penambahan dan hasil bagi  berasal dari antilogaritma dari pengurangan, melalui tabel yang sama:



dan



Untuk perhitungan manual yang meminta ketelitian yang cukup besar, melakukan pencarian kedua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada menghitung perkalian dengan metode sebelumnya seperti prosthafaeresis, yang mengandalkan identitas trigonometri.

Perhitungan pangkat direduksi menjadi perkalian, dan sedangkan perhitungan akar direduksi menjadi pembagian. Pernyataan ini dapat dilihat sebagai



dan



Perhitungan trigonometri dilengkapi dengan tabel-tabel yang memuat logaritma umum dari fungsi trigonometri.

 Mistar hitung 
Penerapan penting lainnya adalah mistar hitung, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan dalam perhitungan. Adapun skala logaritmik yang tidak memiliki sorong, mistar Gunter, ditemukan tak lama setelah penemuan Napier dan disempurnakan oleh William Oughtred untuk menciptakan sepasang skala logaritmik yang dapat dipindahkan terhadap satu sama lain, yaitu mistar hitung. Angka yang ditempatkan pada skala hitung pada jarak sebanding dengan selisih antara logaritmanya. Menggeser skala atas dengan tepat berarti menambahkan logaritma secara mekanis, seperti yang diilustrasikan berikut ini:
al=alt=A slide rule: two rectangles with logarithmically ticked axes, arrangement to add the distance from 1 to 2 to the distance from 1 to 3, indicating the product 6.|pus|jmpl|550x550px|Penggambaran skema mengenai mistar hitung. Dimulai dari 2 pada skala di bawah, lalu tambahkan dengan jarak ke 3 pada skala atas agar mencapai hasil kali 6. Mistar hitung bekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke  sebanding dengan logaritma .
Sebagai contoh, dengan menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala di bagian bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala di bagian atas menghasilkan hasil kali 6, yang dibacakan di bagian bawah. Mistar hitung adalah sebuah alat menghitung yang penting bagi para insinyur dan ilmuwan hingga tahun 1970-an, karena dengan mengorbankan ketepatan nilai memungkinkan perhitungan yang jauh lebih cepat daripada teknik berdasarkan tabel.

 Sifat analitik 
Kajian yang lebih dalam mengenai logaritma memerlukan sebuah konsep yang disebut fungsi. Fungsi merupakan sebuah kaidah yang dipetakan suatu bilangan akan menghasilkan bilangan lain., atau lihat referensinya di fungsi. Contohnya seperti fungsi yang menghasilkan bilangan konstan , yang dipangkatkan setiap bilangan real . Fungsi ini secara matematis ditulis sebagai . Ketika  positif dan tak sama dengan 1, maka  adalah fungsi terbalikkan ketika dianggap sebagai fungsi dengan interval dari bilangan real ke bilangan real positif.

 Keberadaan 
Misalkan  adalah bilangan real positif yang tidak sama dengan 1 dan misalkan . Pernyataan yang diikuti dari teorema nilai antara ini,, bagian III.3 merupakan hasil standar dalam analisis real yang mengatakan bahwa setiap fungsi monoton sempurna dan kontinu merupakan fungsi bijektif antara ranah () dan kisarannya (). Pernyataan saat ini mengatakan bahwa  yang menaik sempurna (untuk ), atau menurun sempurna (untuk ) merupakan fungsi kontinu, memiliki ranah  dan memiliki kisaran . Oleh karena itu,  adalah fungsi bijeksi dari  ke . Dengan kata lain, untuk setiap bilangan real positif , terdapat setidaknya satu bilangan real  sehingga .

Misalkan  yang menyatakan invers dari fungsi . Dalam artian,  adalah bilangan real tunggal  sehingga . Fungsi ini disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok- atau fungsi logaritmik (atau logaritma saja).

 Karakterisasi melalui rumus hasil kali 
Pada dasarnya, fungsi  juga dapat dikarakterisasikan melalui rumus hasil kali



Lebih tepatnya, logaritma untuk setiap bilangan pokok  yang hanya merupakan fungsi  naik dari bilangan real positif ke bilangan real memenuhi sifat bahwa  dan item (4.3.1)



 Grafik fungsi logaritma 
al=The graphs of two functions.|ka|jmpl|Grafik fungsi logaritma  (berwarna biru) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi  (berwarna merah) di garis diagonal().
Seperti yang dibahas sebelumnya, fungsi  invers terhadap fungsi eksponensial . Karena itu, grafiknya berkorespondensi dengan satu sama lain saat menukar koordinat- dan koordinat- (atau saat melakukan pencerminan di garis diagonal ), seperti yang diperlihatkan sebagai berikut: sebuah titik  pada grafik dari  menghasilkan sebuah titik  pada grafik logaritma dan sebaliknya. Akibatnya,  divergen menuju takhingga (dalam artian semakin besar dari setiap bilangan yang diberikan) jika  naik menuju takhingga, asalkan  lebih besar dari satu. Pada kasus tersebut,   merupakan fungsi menaik. Sedangkan untuk kasus ,  cenderung menuju ke negatif takhingga. Ketika  mendekati nol,  menuju ke negatif takhingga untuk  dan menuju ke plus takhingga untuk .

 Turunan dan antiturunan 
al=Sebuah grafik fungsi logaritma dan sebuah garis yang menyinggungnya di sebuah titik.|ka|jmpl|220x220px|Grafik fungsi logaritma alami (berwarna hijau) beserta garis singgungnya di  (berwarna hitam)
Sifat analitik tentang fungsi adalah melalui fungsi inversnya. Jadi, ketika  adalah fungsi kontinu dan terdiferensialkan, maka  fungsi kontinu dan terdiferensialkan juga. Penjelasan kasarnya, sebuah fungsi kontinu adalah terdiferensialkan jika grafiknya tidak mempunyai "ujung" yang tajam. Lebih lanjut, ketika turunan dari  menghitung nilai  melalui sifat-sifat fungsi eksponensial, aturan rantai menyiratkan bahwa turunan dari  dirumuskan sebagai 



Artinya, kemiringan dari garis singgung yang menyinggung grafik logaritma dengan bilangan pokok  di titik  sama dengan .

Turunan dari  adalah , yang berarti ini menyiratkan bahwa  adalah integral tunggal dari  yang mempunyai nilai 0 untuk . Hal ini merupakan rumus paling sederhana yang mendorong sifat "alami" pada logaritma alami, dan hal ini juga merupakan salah satu alasan pentingnya konstanta .

Turunan dengan argumen fungsional rampat  dirumuskan sebagai



Hasil bagi pada ruas kanan disebut turunan logaritmik dari  dan menghitung  melalui turunan dari  dikenal sebagai pendiferensialan logaritmik., hlm. 386 Antiturunan dari logaritma alami  dirumuskan sebagai:



Terdapat rumus yang berkaitan, seperti antiturunan dari logaritma dengan bilangan pokok lainnya dapat diperoleh dari persamaan ini dengan mengubah bilangan pokoknya.

 Representasi integral mengenai fungsi logaritma 
al=A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.|jmpl|Logaritma natural dari  adalah luas yang diwarnai di bawah grafik fungsi .
Logaritma alami dari  dapat didefinisikan sebagai integral tentu:



Definisi ini menguntungkan karena tidak bergantung pada fungsi eksponensial atau fungsi trigonometri apapun, dan definisi ini merupakan sebuah integral dari fungsi timbal balik sederhana. Penjelasan dalam integral,  sama dengan luas antara sumbu- dan grafik fungsi , yang berkisar dari  ke . Penjelasan ini juga merupakan akibat dari teorema dasar kalkulus, dan bahkan turunan dari  sama dengan . Rumus logaritma hasil kali dan pangkat dapat diperoleh melalui definisi ini., bagian III.6 Sebagai contoh, rumus hasil kali  dapat disimpulkan sebagai:



Persamaan (1) membagi integral menjadi dua bagian, sementara (2) mengubah variabel  menjadi . Pada ilustrasi dibawah, pembagian integral tersebut dapat disamakan dengan pembagian luasnya menjadi bagian berwarna kuning dan biru. Dengan mengukur luas berwarna biru kembali secara vertikal melalui faktor  dan menyusutnya melalui faktor yang sama secara horizontal tidak mengubah ukuran luasnya. Dengan memindahkan daerah biru ke daerah kuning, luasnya menyesuaikan grafik fungsi  lagi. Oleh karena itu, luas biru di sebelah kiri, yang merupakan integral dari fungsi  dengan interval dari  hingga  sama dengan integral dari fungsi yang sama dengan interval 1 hingga . Hal ini membenarkan persamaan  (2) melalui bukti geometri lainnya.
al=Fungsi hiperbola digambarkan dua kali. Luas di bawah fungsi dibagi menjadi bagian yang berbeda.|pus|jmpl|500x500px|Sebuah bukti visual tentang rumus hasil kali dari logaritma natural
Rumus pangkat  dapat real dalam cara yang serupa:



Persamaan kedua menggunakan perubahan variabel  melalui integral substitusi.

Jumlah keseluruhan timbal balik dari bilangan asli yang dirumuskan



disebut deret harmonik. Deret ini sangat terkait erat dengan logaritma alami, yang dinyatakan melalui pernyataan berikut: ketika  cenderung menuju takhingga, selisih dari



konvergen (yakni mendekati dengan sembarang) ke sebuah bilangan yang dikenal sebagai konstanta Euler–Mascheroni . Kaitan antara deret harmonik dan logaritma natural membantu dalam menganalisis kinerja algoritma seperti quicksort., bagian 11.5 dan 13.8

 Transendensi logaritma 
Bilangan real yang bukan merupakan bilangan aljabar disebut bilangan transendental. Sebagai contoh,  dan {{math|1=e}} adalah bilangan transendental, sedangkan  bukan. Hampir semua bilangan real adalah transendental. Logaritma merupakan sebuah contoh fungsi transendental. Teorema Gelfond–Schneider mengatakan bahwa logaritma biasanya memberikan nilai transendental., hlm. 10

 Perhitungan 
jmpl|Tombol logaritma (LOG sebagai bilangan pokok 10 dan LN sebagai bilangan pokok ) pada sebuah kalkulator grafik TI-83 Plus.
Logaritma merupakan alat hitung yang mudah pada beberapa kasus, seperti . Logaritma pada umumnya dapat dihitung melalui deret kuasa atau rata-rata aritmetika–geometrik, atau didapatkan kembali dari tabel logaritma (sebelum adanya perhitungan logaritma) yang menyediakan ketepatan nilai konstan., bagian 4.2.2 (hlm. 72) dan 5.5.2 (hlm. 95), bagian 6.3, hlm. 105–11 Metode Newton, sebuah metode berulang yang menyelesaikan persamaan melalui hampiran, juga dapat dipakai untuk menghitung logaritma, karena fungsi inversnya (yaitu fungsi eksponensial), dapat dihitung dengan cepat., bagian 1 for an overview Dengan melihat tabel logaritma, metode yang mirip dengan CORDIC dapat dipakai untuk menghitung logaritma hanya dengan menggunakan operasi penambahan dan geseran bit. Terlebih lagi, algoritma dari logaritma biner menghitung  secara berulang berdasarkan penguadratan  yang berulang dan menggunakan ekspresi



 Deret pangkat 

 Deret Taylor 
al=An animation showing increasingly good approximations of the logarithm graph.|jmpl|Deret Taylor dari  berpusat di . Animasi berikut memperlihatkan 10 hampiran pertama beserta dengan hampiran yang ke-99 dan yang ke-100. Hampiran tersebut tidak konvergen karena melebihi jarak 1 dari pusatnya.
Untuk setiap bilangan  yang memenuhi sifat , maka berlaku rumus:



Pernyataan di atas merupakan tulisan singkat untuk mengatakan bahwa  dapat diaproksimasi sebagai bilangan yang lebih-lebih akurat lagi melalui ekspresi berikut:



Sebagai contoh, pendekatan ketiga saat  memberikan nilai 0,4167. Nilai tersebut kira-kira 0,011 lebih besar dari . Deret ini yang mengaproksimasi  dengan ketepatan nilai sembarang, menyediakan jumlah dari nilai yang dijumlahkan cukup besar. Dalam kalkulus elementer,  adalah limit dari deret ini dan juga merupakan deret Taylor dari logaritma alami di . Deret Taylor dari  khususnya menyediakan alat yang berguna untuk mengaproksimasi  ketika  bernilai kecil, :



Sebagai contoh, hampiran orde pertama memberikan nilai hampiran  ketika , yang galatnya 5% lebih kecil dari nilai eksak 0,0953.

 Deret lebih efisien 
Deret lainnya berasal dari fungsi tangen hiperbolik invers:



untuk setiap bilangan real . Dengan menggunakan notasi Sigma, ruas kanan pada rumus di atas juga dapat ditulis sebagai



Deret ini dapat diturunkan dari deret Taylor di atas, yang konvergen lebih cepat daripada deret Taylor, khususnya jika  mendekati 1. Sebagai contoh, untuk , tiga suku pertama dari deret kedua memberikan nilai hampiran  dengan galatnya sekitar . Kekonvergenan cepat untuk  yang mendekati 1 dapat dimanfaatkan sebagai berikut: diberikan sebuah hampiran dengan tingkat akurat yang rendah  dan memasukkan ke rumus



maka logaritma dari  dirumuskan:



Hampiran awalan  yang lebih baik adalah dengan membuat nilai  mendekati ke 1, sehingga nilai logaritma dapat dihitung lebih efisien. Nilai  dapat dihitung melalui deret eksponensial sehingga nilainya konvergen dengan cepat, asalkan nilai  tidak terlalu besar. Dengan menghitung logaritma dari  yang lebih besar dapat direduksi menjadi nilai  yang lebih kecil dengan menulis , sehingga .

Terdapat metode yang sangat berkaitan dengannya dapat dipakai untuk menghitung logaritma dari bilangan bulat. Dengan memasukkan  pada deret di atas, maka deret tersebut dapat ditulis sebagai berikut:



Jika diketahui logaritma dari suatu bilangan bulat   yang lebih besar, maka deret tersebut menghasilkan sebauah deret yang konvergen dengan cepat untuk , dengan laju konvergensi dari .

 Hampiran purata aritmetika-geometrik 
Purata aritmetika–geometrik atau rata-rata aritmetika–geometrik menghasilkan hampiran dari logaritma natural dengan tingkatan ketepatan yang tinggi. Pada tahun 1982, Sasaki dan Kanada memperlihatkan bahwa purata ini sangat cepat untuk ketepatan di antara 400 dan 1000 letak desimal, sementara metode deret Taylor biasanya lebih cepat ketika membutuhkan nilai yang kurang akurat. Dalam karyanya,  kira-kira sama dengan ketepatan dari  (atau  bit yang tepat) melalui rumus berikut (karena Carl Friedrich Gauss):



Notasi  menyatakan rata-rata aritmetika–geometrik dari  dan . Purata ini didapatkan dengan menghitung rerata  (purata aritmetika) dan  (purata geometrik) dari  dan  secara berulang, lalu misalkan kedua bilangan tersebut merupakan bilangan  dan  selanjutnya. Kedua bilangan tersebut konvergen dengan cepat menuju ke limit yang sama, yaitu . Agar pasti bahwa nilai yang diperlukan tepat, maka pilih  sehingga



Bilangan  yang lebih besar membuat perhitungan , dengan nilai awal  dan  yang merupakan nilai yang sangat jauh, mengambil langkah lebih lanjut agar nilainya konvergen, tetapi memberikan nilai yang lebih tepat. Konstanta seperti  dan  dapat dihitung melalui deret yang konvergen dengan cepat.

 Algoritma Feynman 
Richard Feynman, yang mengerjakan proyek Manhattan di Los Alamos National Laboratory, mengembangkan sebuah algoritma pengolahan bit untuk menghitung nilai logaritma. Algoritma tersebut menyerupai pembagian panjang, dan kemudian dipakai dalam sebuah anggota dari rangkaian subkomputer, Connection Machine. Bahkan bahwa setiap bilangan real  yang dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dari faktor yang berbeda dari bentuk , dipakai dalam algoritma ini. Algoritma ini dibangun secara berurutan bahwa hasil kali , yang dimulai dengan  dan , mengatakan bahwa jika , maka  berubah menjadi , sehingga membuat nilai  menaik. Algoritma tersebut berhenti ketika  cukup besar memberikan nilai akurat yang diinginkan. Karena  adalah jumlah dari suku berbentuk  yang berpadanan dengan nilai  dan faktor  adalah hasil kali dari  , maka  dapat dihitung melalui operasi penambahan yang sederhana, yaitu menggunakan tabel dari  untuk semua . Setiap bilangan pokok dapat dipakai untuk tabel logaritma.

 Penerapan 
al=A photograph of a nautilus' shell.|jmpl|Sebuah cangkang nautilus yang menampilkan bentuk spiral logaritmik.
Logaritma memiliki banyak penerapan di dalam maupun di luar matematika. Ada beberapa kejadian penerapan logaritma yang berkaitan dengan gagasan kekararan skala. Sebagai contoh, setiap ruangan yang terdapat di dalam sebuah cangkang nautilus memiliki kira-kira sama dengan jumlah salinan dari ruang selanjutnya, yang ditimbang melalui faktor konstanta. Contoh tersebut menyerupai bentuk spiral logaritmik. Hukum Benford mengenai distribusi dari angka yang ditunjuk juga dapat dijelaskan melalui kekeraran skala., bab 6, bagian 64 Logaritma juga berkaitan dengan benda yang memiliki kemiripan terhadap diri sendiri. Sebagai contoh, logaritma muncul dalam analisis tentang algoritma yang menyelesaikan masalah dengan membaginya menjadi dua masalah lebih kecil yang serupa dan memotong kecil penyelesaiannya., hlm. 21, bagian 1.3.2 Dimensi dari bentuk geometrik menyerupai diri sendiri, dalam artian bahwa bentuk yang bagiannya menyerupai gambarnya secara keseluruhan juga dirumuskan melalui logaritma. Skala logaritmik berguna untuk mengukur perubahan relatif nilai daripada selisih mutlaknya. Terlebih lagi, karena fungsi logaritmik  menaik sangat lambat untuk nilai besar, skala logaritmik biasanya menekan data ilmiah yang berskala besar. Logaritma juga muncul dalam rumus ilmiah numerik, seperti persamaan roket Tsiolkovsky, persamaan Fenske, atau persamaan Nernst.
 Penerapannya dalam skala logaritmik 

al=Grafik yang menggambarkan nilai dari waktu ke waktu. Melalui skala logaritma, garis pada grafik memperlihatkan nilainya yang menaik dengan cepat.|jmpl|Grafik logaritma memperlihatkan kenaikan harga mata uang goldmark di Papiermark selama berlangsungnya hiperinflasi di Jerman pada tahun 1920-an|kiri
Satuan kuantitas dalam ilmiah seringkali dinyatakan sebagai logaritma dari kuantitas lain, dengan menggunakan skala logaritmik. Sebagai contoh, desibel merupakan satuan pengukuran yang dikaitkan dengan perhitungan dari kuantitas skala logaritmik. Penguat desibel memberikan 10 kalinya logaritma biasa dari rasio daya atau 20 kalinya logaritma biasa dari rasio tegangan. Satuan inilah yang dipakai untuk mengukur rugi tingkatan ketegangan saat mentransmisi sinyal elektrik,, bagian 5.2 yang bertujuan untuk menjelaskan tingkatan kekuatan aras daya suara dalam akustik,, bagian 23.0.2 serta mengukur penyerapan cahaya dalam bidang spektrometri dan optika. Selain itu, desibel juga dipakai dalam nisbah sinyal-derau yang menjelaskan seberapa banyak derau dibandingkan dengan sinyal yang berguna. Mirip dengan tadi, nisbah puncak sinyal-derau biasanya dipakai menilai kualitas suara dan metode pemampatan citra melalui logaritma.

Kekuatan gempa bumi diukur dengan mengambil logaritma umum dari energi yang dipancarkan saat terjadinya gempa dalam satuan skala magnitudo momen atau skala magnitudo Ritcher. Sebagai contoh, gempa berkekuatan 5,0 melepaskan 32 kali  dan gempa berkekuatan 6,0 melepaskan 1000 kali energi berkekuatan 4,0., bagian 4.4. Skala logaritmik juga dipakai dalam magnitudo kentara untuk mengukur kecerahan bintang., bagian 8.3, hlm. 231 Dalam kimia, negatif dari logaritma desimal, yang disebut sebagai  desimal, ditunjukkan dengan huruf "p". Sebagai contoh, pH merupakan kologaritma desimal dari keaktifan dari ion berbentuk hidrogen  yang terbentuk dari air, hidronium. Keaktifan dari ion hidronium dalam air yang netral bernilai 10−7 mol·L−1, sehingga nilai pH adalah 7. Contoh lainnya, nilai pH dari asam cuka biasanya sekitar 3. Perbedaan nilai sebesar 4 sesuai dengan rasio 104 berdasarkan aktivitasnya, yaitu nilai dari aktivitas ion hidronium cuka sekitar 10−3 mol·L−1.

Konsep skala logaritmik dapat dipakai dalam grafik (log-linear) semilog bertujuan untuk memberikan visual terkait satu sumbu, yang biasanya berupa sumbu vertikal, diukur menggunakan perhitungan logaritma. Contohnya seperti grafik disamping menjelaskan nilai yang menaik dengan tajam dari 1 juta hingga 1 triliun ke dalam ruang yang sama (pada sumbu vertikal) saat grafiknya menaik dari 1 hingga 1 juta. Pada grafik tersebut, fungsi eksponensial  muncul sebagai garis lurus dengan kemiringan yang sama dengan logaritma dari . Selain itu, skala logaritma yang dapat dipakai dalam grafik log-log untuk mengukur sumbu vertikal dan horizontal, sehingga menyebabkan fungsi  digambarkan sebagai garis lurus yang mempunyai kemiringan yang sama dengan bilangan yang dipangkat dengan , diterapkan pada saat memberikan visual dan menganalisis hukum pangkat., bagian 34

 Penerapannya dalam psikologi 
Penerapan logaritma juga terdapat dalam beberapa hukum yang menjelaskan tentang persepsi manusia., hlm. 355–56, hlm. 48 Sebagai contoh, hukum Hick menjelaskan kaitan logaritmik antara waktu saat orang mengambil keputusan beserta jumlah keputusan yang dimiliki., hlm. 61 Hukum lainnya adalah hukum Fitts, yang memprediksi bahwa waktu yang diperlukan saat bergerak ke daerah target dengan cepat sama dengan fungsi logaritmik dari jarak dan ukuran target., reprinted in  Dalam psikofisika, hukum Weber–Fechner mengatakan kaitan logaritmik dengan stimulus dan sensasi yang dirasakan, contohnya seperti saat orang sedang membawa berat benda yang sesungguhnya dengan yang dirasakan. (Namun, "hukum" ini kurang realistis dengan model belakangan ini, seperti hukum perpangkatan Stevens., lemmas Psychophysics and Perception: Overview)

Studi psikologi menemukan bahwa orang yang sedikit mempunyai pemahaman matematika cenderung mengestimasi nilai kuantitas dengan logaritma, atau dengan kata lain, bilangannya ditempatkan pada garis yang tidak ditandai berdasarkan perhitungan logaritma, sehingga 10 yang ditempatkan mendekati 100 dianggap sebagai 100 yang ditempatkan mendekati 1000. Orang yang memiliki pemahaman yang lebih tinggi memandang hal tersebut sebagai linear yang mengestimasi (letak angka 1000 yang berjarak 10 kali lebih jauh) pada beberapa kasus, tetapi logaritma dipakai pada saat memplot bilangan-bilangan yang sulit untuk diplotkan secara linear.

 Penerapannya dalam teori peluang dan statistika 

Dalam teori probabilitas, hukum bilangan besar mengatakan bahwa, untuk sebuah mata uang seimbang, ketika jumlah pelemparan koin naik menuju takhingga, maka kesebandingan dari gambar kepala (atau ekor) yang diamati mendekati satu setengah. Fluktuasi dari nilai kesebandingan yang bernilai satu setengah dijelaskan melalui hukum yang menggunakan logaritma, yaitu hukum logaritma teriterasi., bagian 12.9

Logaritma muncul pula dalam sebaran log-normal. Ketika logaritma dari variabel acak mempunyai sebaran normal, maka variabel dikatakan mempunyai sebaran log-normal. Sebaran log-normal ditemukan dalam banyak bidang, dengan suatu variabel dibentuk sebagai hasil kali dari banyaknya variabel acak indenpenden bernilai positif. Contohnya seperti dalam mempelajari turbulensi.

Logaritma dipakai untuk menghitung estimasi kemungkinan maksimum dari model statistika parametrik. Fungsi kemungkinan pada model tersebut bergantung setidaknya satu parameter yang harus diestimasi. Nilai maksimum dari fungsi kemungkinan muncul di nilai parameter yang sama sebagai nilai maksimum logaritma kemungkinan (atau disebut log likelihood), karena logaritma merupakan fungsi menaik. Log-likelihood adalah teknik yang memaksimumkan fungsi dengan mudah, khususnya untuk kemungkinan yang dikali mengenai variabel acak independen., bagian 11.3

Hukum Benford menjelaskan kemungkinan digit dalam himpunan data yang banyak, contohnya seperti tinggi bangunan. Menurut hukum Benford, kemungkinan bahwa digit desimal pertama suatu item dalam sampel data adalah  (yang berkisar dari 1 hingga 9) sama dengan , tanpa memperhatikan satuan pengukuran., bagian 2.1 Jadi, sekitar 30% data dapat diduga mempunyai 1 sebagai digit pertama, 18% dimulai dengan 2, dst. Penyimpangan dari hukum Benford dihitung oleh para akuntan untuk membantu mendeteksi penipuan data akuntansi.

 Penerapannya dalam kompleksitas perhitungan 
Cabang dalam ilmu komputer yang mempelajari performa dari suatu algoritma dalam menyelesaikan persoalan atau masalah tertentu disebut analisis algoritma., hlm. 1–2 Logaritma sangat penting dalam menjelaskan algoritma tersebut dengan membagi suatu masalah menjadi lebih kecil, serta menghubungkan penyelesaian dari submasalah., hlm. 143

Sebagai contoh, cara algoritma pencarian biner () dalam mencari bilangan dalam daftar yang tersortir adalah dengan memeriksa entri tengah dan meneruskannya di sebagian sebelum atau sesudah entri tengah jika tidak ditemukan bilangannya. Umumnya, algoritma ini memerlukan perbandingan , dengan  adalah panjang daftar., bagian 6.2.1, hlm. 409–26 Mirip dengan sebelumnya, algoritma urut gabungan menyortir daftar yang belum tersortir dengan membagi daftar menjadi setengah bagian dan mengurutkan daftar-daftar tersebut dahulu sebelum menggabungkan hasilnya. Algoritma urut gabungan biasanya memerlukan waktu yang kira-kira sebanding dengan . Bilangan pokok logaritma tidak dijelaskan secara spesifik, karena hasilnya hanya berubah oleh faktor konstanta saat ada bilangan pokok lain yang sedang dipakai. Faktor konstanta biasanya diabaikan dalam analisis algoritma dalam model biaya seragam () yang standar.

Suatu fungsi  dikatakan bertumbuh secara logaritmik jika  (setidaknya atau kira-kira) sebanding dengan logaritma dari , namun istilah ini dipakai sebagai fungsi eksponensial dalam menjelaskan pertumbuhan organisme secara biologis., bab 19, hlm. 298 Sebagai contoh, setiap bilangan asli  dapat direpresentasikan dalam bentuk bilangan biner yang tidak lebih dari  bit. Dengan kata lain, jumlah memori diperlukan untuk menyimpan  pertumbuhan secara logaritmik dengan .

 Penerapannya dalam entropi dan ketidakteraturan 

Entropi secara umum adalah ukuran dari ketidakteraturan dari suatu sistem. Dalam termodinamika statistik, sebuah entropi, disimbolkan dengan , dari sebuah sistem, didefinisikan dengan:



Hasilnya adalah seluruh kondisi  yang mungkin dari sistem yang dimaksud, contoh posisi dari partikel gas di dalam sebuah tangki. Lebih lanjut lagi,  adalah kemungkinan bahwa kondisi  telah tercapai dan  adalah konstanta Boltzmann. Sama halnya dengan entropi dalam teori informasi yang mengukur kuantitas dari informasi. Jika penerima pesan mengharapkan sejumlah  pesan yang mungkin diterima dengan besar kemungkinan masing-masing yang setara, maka sejumlah informasi yang tersampaikan oleh pesan tersebut dapat dikuantifikasi dengan bit ., bagian III.I

Eksponen Lyapunov menggunakan logaritma untuk mengukur derajat ketidakteraturan dari sistem yang dinamis. Contoh partikel yang bergerak di meja biliar oval, di mana bahkan perubahan sekecil apapun dari kondisi awal dapat memberikan hasil, yaitu jalur yang dilalui, yang sangat berbeda. Sistem yang dimaksud disebut dengan kekacauan di dalam sistem deterministik karena galat yang kecil tetapi terukur dari kondisi awal dapat diprediksi akan memberikan hasil akhir yang sangat berbeda., bagian 1.9 Setidaknya satu eksponen Lyapunov dari sistem kekacauan yang deterministik akan bernilai positif.

 Penerapannya dalam bangunan fraktal 
al=Parts of a triangle are removed in an iterated way.|ka|jmpl|400x400px|Segitiga Sierpinski (di sebelah kanan) dibangun dengan menggantikan segitiga sama sisi secara berulang dengan tiga salinan dirinya yang lebih kecil.
Logaritma muncul dalam definiisi dimensi fraktal. Fraktal merupakan benda-benda geometri yang menyerupai dirinya, dalam artian bahwa benda geometri tersebut mereproduksi dirinya lebih kecil, penjelasan kasarnya, di seluruh strukturnya. Contohnya seperti segitiga Sierpiński, dengan dimensi Hausdorffnya adalah , dapat diliputi dengan tiga salinan dirinya, masing-masing sisinya dibagi menjadi setengah dari panjang awalnya. Adapula gagasan dimensi fraktal berdasarkan logaritma lainnya diperoleh dengan menghitung jumlah kotak yang diperlukan untuk meliputi frakal dalam himpunan.

 Penerapannya dalam musik 

Logaritma berkaitan dengan bunyi nada dan interval dalam musik. Dalam temperamen sama, perbandingan frekuensi bergantung pada interval di antara dua nada saja, bukan pada frekuensi yang spesifik atau tinggi dari nada tunggal. Sebagai contoh, nada A mempunyai frekuensi 440 Hz dan B-flat mempunyai frekuensi 466 Hz. Interval antara nada A dengan B-flat ini digolongkan sebagai semi-nada, karena intervalnya berada di antara B-flat dan B (yang mempunyai frekuensi 493 Hz). Maka, perbandingan frekuensinya adalah:



Peran logaritma dalam musik dapat dipakai untuk menjelaskan interval berikut: suatu interval diukur dalam semi-nada dengan mengambil logaritma dengan  dari perbandingan frekuensi, sedangkan logaritma dengan  dari perbandingan frekuensi menyatakan interval dalam sen, ratusan semi-nada. Logaritma yang terakhir dipakai untuk pengodean yang lebih halus, karena diperlukan untuk temperamen tak sama., bab 5
Interval (dua bunyi nada yang dimainkan dalam waktu yang sama)Bunyi nada 1/12 Semi-nada Just major third Major third Tritone Oktaf Rasio frekuensi rJumlah semi-nada yang samaJumlah sen yang sama

 Penerapannya dalam teori bilangan 
Logaritma alami sangat berkaitan dengan salah satu topik dalam teori bilangan, yaitu menghitung bilangan prima. Untuk setiap bilangan bulat , jumlah bilangan prima kurang dari sama dengan  dinyatakan sebagai . Teorema bilangan prima mengatakan bahwa  kira-kira sama dengan



yang berarti bahwa fungsi pencacahan bilangan prima kira-kira sama dengan perbandingan dari  dan pecahan yang mendekati 1 ketika  menuju ke takhingga., teorema 4.1 Akibatnya, peluang dari bilangan yang dipilih secara acak di antara 1 dan  adalah bilangan prima berbanding terbalik dengan jumlah digit desimal . Pendekatan  yang lebih baik merupakan fungsi integral Euler , yang didefinisikan sebagai



Hipotesis Riemann, yang merupakan salah satu konjektur matemtika terbuka yang paling terlama, dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan  dan . Teorema Erdős–Kac mengatakan bahwa jumlah faktor bilangan prima yang berbeda juga melibatkan logaritma alami.

Logaritma dari n faktorial, , dirumuskan sebagai



Rumus di atas dapat dipakai utnuk memperoleh sebuah hampiran dari  untuk setiap bilangan  yang lebih besar, yaitu rumus Stirling., bab 4

 Perumuman 

 Logaritma kompleks 

Semua bilangan kompleks  yang menyelesaikan persamaan



disebut logaritma kompleks dari , ketika  (dianggap sebagai) bilangan kompleks. Bilangan kompleks biasanya dinyatakan sebagai , dengan  dan  adalah bilangan real dan  adalah satuan imajiner (satuan yang dikuadratkan memberikan nilai −1). Bilangan kompleks dapat divisualisasikan melalui sebuah titik dalam bidang kompleks, seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut. Bentuk polar menulis bilangan kompleks tak-nol  melalui titik nilai mutlak, yang berarti jarak yang berupa bilangan bernilai real dan positif  sama dengan titik  ke titik asalnya. Bentuk polar juga menulis sebuah sudut antara bilangan real pada sumbu- (yakni sumbu-)   dan garis yang melalui titik asal dan titik . Sudut tersebut disebut sebagai argumen dari .al=Sebuah ilustrasi mengenai bentuk polar: sebuah titik yang dijelaskan melalui sebuah panah atau secara ekuivalen melalui panjang dan sudutnya ke sumbu-x.|jmpl|Bentuk polar dari .  dan  adalah argumen dari .Nilai mutlak  dari  dinyatakan sebagai



Dengan menggunakan pandangan geometris pada fungsi sinus dan kosinus beserta periodisitasnya dalam , setiap bilangan kompleks  dapat dinyatakan sebagai



untuk setiap bilangan bulat . Nyatanya, argumen dari  tidak dijelaskan secara unik, yakni: bilangan  dan {{Math|1=φ''' = φ + 2k}} adalah argumen valid dari  untuk semua bilangan bulat , karena menambahkan  radian atau k⋅360° ke bilangan  berpadanan dengan "lilitan" di sekitar titik asal yang berputar berlawanan arah jarum jam sebanyak  putaran. Hasil bilangan kompleks selalu , seperti yang diilustrasikan pada gambar untuk . Setidaknya ada salah satu dari argumen  yang mungkin disebut sebagai argumen prinsip, yang dilambangkan , dipilih dengan memerlukan putaran  di selang , Definisi 1.6.3 atau ., bagian 5.9 Daerah-daerah tersebut, dengan argumen  ditentukan sekali disebut cabang dari fungsi argumen.

Rumus Euler mengaitkan fungsi trigonometri sinus dan kosinus dengan eksponensial kompleks:



Dengan menggunakan rumus di atas, dan periodisitasnya lagi, maka berlaku identitas berikut:, bagian 1.2



dengan  adalah fungsi logaritma real tunggal,  menyatakan logaritma kompleks dari , dan  bilangan bulat sembarang. Karena itu, logaritma kompleks dari , yang semua bilangan kompleks  untuk  pangkat  sama dengan , mempunyai tak berhingga banyaknya nilai

  untuk bilangan bulat sembarang .
al=A density plot. In the middle there is a black point, at the negative axis the hue jumps sharply and evolves smoothly otherwise.|jmpl|Cabang prinsip (-, ) dari prinsip logaritma kompleks, . Titik berwarna hitam di  berpadanan dengan nilai titik nol dan warna yang lebih cerah mengacu pada nilai mutlak lebih besar. Rona dari warna mengkodekan argumen dari .|kiri

Dengan mengambil  sehingga  ada di dalam selang yang ditentukan untuk argumen prinsip, maka  disebut nilai prinsip dari logaritma, dinotasikan sebagai . Argumen prinsip setiap bilangan real positif   bernilai 0, jadi  adalah sebuah bilangan real yang sama dengan logaritma (alami). Akan tetapi, rumus logaritma tentang darab dan perpangkatan bilangan di atas tidak memberikan perumuman terkait nilai prinsip dari logaritma kompleks., teorema 6.1.

Ilustrasi tersebut menggambarkan , membatasi argumen   dengan interval . Cara memadankan cabang dari logaritma kompleks mempunyai ketakkontinuan di sepanjang sumbu- real negatif, seperti yang dapat dilihat pada lompatan hue di gambar. Saat melintasi batas, ketakkontinuan tersebut dimulai dari lompatan hingga batas lain yang ada di cabang yang sama, dalam artian bahwa tiada perubahan dengan nilai- dari cabang tetangga kontinu yang berpadanan. Lokus tersebut dinamakan potongan cabang. Dengan menghapus perbatasan argumen, maka relasi "argumen dari " dan "logaritma dari " menjadi fungsi bernilai banyak.

 Kebalikan dari fungsi eksponensial lainnya 
Eksponensiasi muncul dalam cabang matematika dan fungsi inversnya seringkali mengacu pada logaritma. Sebagai contoh, logaritma matriks merupakan fungsi invers (bernilai banyak) dari eksponensial matriks., bab 11. Contohnya lain seperti fungsi logaritma p-adic, fungsi invers dari fungsi eksponensial p-adic. Kedua fungsi tersebut didefinisikan melalui deret Taylor yang analog dengan kasus bilangan real., bagian II.5. Dalam konteks geometri diferensial, peta eksponensial memetakan ruang garis singgung di sebuah titik lipatan ke lingkungan titik tersebut. Kebalikannya juga disebut peta logaritma.

Dalam konteks grup hingga, eksponensiasi dinyatakan dengan mengalikan satu anggota grup  dengan dirinya secara berulang. Logaritma diskret merupakan bilangan bulat  yang menyelesaikan persamaan



dengan  adalah anggota dari grup. Mengerjakan solusi eksponensiasi dapat dilakukan dengan efisien, tetapi logaritma diskret dipercayai bahwa sangat sulit untuk menghitungnya dalam beberapa grup. Asimetri dari grup tersebut mempunyai penerapan penting dalam kriptografi kunci publik, contohnya seperti pertukaran kunci Diffie–Hellman, sebuah pertukaran kunci sehari-hari yang memungkinkan pertukaran kunci kriptografi terhadap saluran informasi yang tidak diamankan. Logaritma Zech berkaitan dengan logaritma diskret dalam grup perkalian anggota taknol dari medan hingga.

Adapun fungsi invers berupa logaritma lainnya. Fungsi tersebut di antaranya: logaritma ganda  yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial ganda, superlogaritma'' yang merupakan kebalikan dari tetrasi, fungsi Lambert W yang merupakan kebalikan dari fungsi , dan logit yang merupakan kebalikan dari fungsi logistik., hlm. 357

 Konsep yang berkaitan 
Berdasarkan sudut pandang teori grup, identitas  menyatakan isomorfisme grup antara bilangan riil positif terhadap perkalian bilangan riil positif terhadap penambahan. Fungsi logaritmik hanya isomorfisme kontinu antara grup., bagian V.4.1 Berdasarkan pengertian isomorfisme tersebut, ukuran Haar (ukuran Lebesgue)  pada riil berpadanan dengan ukuran Haar  pada bilangan real positif., bagian 1.4 Bilangan riil taknegatif tidak hanya terhadap operasi perkalian, tetapi juga terhadap operasi penambahan, dan bilangan riil taknegatif membentuk semigelanggang, yang disebut sebagai semigelanggang probabilitas, bahkan membentuk semigelanggang. Maka logaritma yang mengambil perkalian dengan penambahan (perkalian logaritma), dan mengambil penambahan dengan penambahan logaritma, memberikan isomorfisme semigelanggang di antara semigelanggang probabilitas dan semigelanggang logaritma.

Konsep ini juga terdapat di dalam analisis kompleks dan geometri aljabar, yang logaritmik satu bentuk  adalah bentuk diferensial dengan pole logaritmik., bagian 2

Selain itu, terdapat polilogaritma, sebuah fungsi yang didefinisikan sebagai

Fungsi ini mempunyai kaitan dengan logaritma alami dengan . Terlebih lagi, ketika , nilai dari  sama dengan fungsi zeta Riemann, yang dinyatakan sebagai .

 Lihat pula 
 Eksponen desimal (dex)
 Fungsi eksponensial
 Indeks artikel logaritma
 Notasi logaritmik

 Catatan 

 Referensi 

 Pranala luar 




 Khan Academy: Logarithms, free online micro lectures





Kategori:Matematika
Kategori:Persamaan diferensial
Kategori:Persamaan matematika
Kategori:Persamaan