E (konstanta matematika)

Bilangan  adalah konstanta matematika, bernilai sekitar 2,71828, yang merupakan basis logaritma alami dan fungsi eksponensial. Selain nama tersebut, bilangan ini juga disebut sebagai bilangan Euler yang namanya diambil dari Leonhard Euler, seorang matematikawan Swiss. Walaupun demikian, hal tersebut dapat menimbulkan kebingungan dengan bilangan bernama mirip, seperti bilangan Euler (deret), dan konstanta Euler (dinotasikan ). Di samping Euler, bilangan  juga disebut sebagai konstanta Napier yang namanya diambil dari John Napier. Bilangan tersebut sendiri pertama kali ditemukan oleh Jacob Bernoulli saat ia mempelajari bunga majemuk. Diambil dari halaman ke-166

Bilangan  adalah salah satu bilangan terpenting dalam matematika, bilangan lainnya, antara lain 0, 1, , dan . Kelima bilangan tersebut merupakan bagian identitas Euler  dan memainkan peran penting serta sering muncul pada berbagai bidang matematika. Sama seperti konstanta , bilangan  irasional yang artinya hal tersebut tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian antara dua bilangan bulat. Lebih lanjut, bilangan  juga transenden yang artinya hal tersebut bukan solusi (pembuat nol) sebuah polinomial. Nilai bilangan  hingga desimal ke-30 adalah sebagai berikut:

 Definisi 
Bilangan  diungkapkan sebagai limit

ungkapan yang diperoleh saat menghitung bunga majemuk

Selain itu, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai deret takhingga
Bilangan tersebut adalah angka positif khusus  yang menjadikan fungsi  bergradien 1 di titik .

Lebih lanjut, bilangan tersebut juga diungkapkan sebagai  dengan  fungsi eksponesial, fungsi yang turunannya sama dengan dirinya sendiri dan memiliki nilai  Oleh karena fungsi eksponensial sering dituliskan dengan  ungkapan tersebut ditulis ulang sebagai

Fungsi logaritma berbasis  didefinisikan sebagai invers atas fungsi  Sebagai contoh, persamaan  memiliki invers  Dengan demikian, persamaan  mengartikan bahwa  adalah basis logaritma natural.

Bilangan  juga diungkapkan sebagai integral:

Untuk bentuk lainnya, terdapat pada 

Sejarah
Pembahasan mengenai bilangan  pertama kali diterbitkan pada tahun 1618 oleh John Napier dalam karyanya mengenai tabel lampiran logaritma. Namun, tabel tersebut tidak berisi bilangan itu sendiri, hanya daftar nilai logaritma berbasis . Tabel tersebut sendiri dipercayai sebagai tulisan William Oughtred.

Bilangan  pertama kali diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683,Jacob Bernoulli mempertimbangkan masalah peracikan bunga yang terus-menerus, yang menyebabkan ekspresi seri untuk e. Lihat:  Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Beberapa pertanyaan tentang minat, dengan solusi masalah tentang permainan peluang, diusulkan dalam Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), pada tahun (anno) 1685.**), Acta eruditorum, hal 219–23.  On page 222, Bernoulli poses the question:  "Alterius naturæ hoc Problema est:  Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?"  (Ini adalah masalah jenis lain: Pertanyaannya adalah, jika beberapa pemberi pinjaman menginvestasikan [sebuah] sejumlah uang [dengan] bunga, biarlah itu menumpuk, sehingga setiap saat menerima bagian proporsional dari bunga tahunannya; berapa dia akan terutang [pada] akhir tahun?)  Bernoulli menyusun deret pangkat untuk menghitung jawabannya, dan kemudian menulis: " … quæ nostra serie [ekspresi matematika untuk deret geometri] &c. major est.  … si a=b, debebitur plu quam 2½a  & minus quam 3a." (… yang deret kami [deret geometri] lebih besar [dari]. … jika a=b, [pemberi pinjaman] akan berutang lebih dari 2½a dan kurang dari 3a.)  Jika a=b, deret geometri direduksi menjadi deret untuk a × e, jadi 2.5 < e < 3.  (** Referensinya adalah pada masalah yang diajukan oleh Jacob Bernoulli dan yang muncul dalam "Journal des Sçavans" tahun 1685 di bagian bawah page 314.) yang mencoba mencari nilai dari ekspresi berikut (yang sama dengan ):

Penggunaan konstanta yang diketahui pertama kali, diawali oleh huruf  adalah dalam korespondensi dari Gottfried Leibniz hingga Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691. Leonhard Euler memperkenalkan huruf  sebagai dasar untuk logaritma alami, ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada tanggal 25 November 1731.Lettre XV.  Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in:  P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Korespondensi matematis dan fisik dari beberapa ahli geometri terkenal abad ke-18), vol. 1, (St. Petersburg, Rusia:  1843), hal 56–60, lihat terutama p. 58.  From p. 58:  " … (e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " (… (e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] sama dengan 1) …) Euler mulai menggunakan huruf  untuk konstanta ini pada tahun 1727 atau 1728, dalam sebuah makalah yang tidak diterbitkan tentang kekuatan ledakan dalam meriam,Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta.  (Bahasa Indonesia: Ditulis untuk bilangan yang satuan logaritmanya e yaitu 2,7182817...") sedangkan perkenalan pertama  dalam sebuah publikasi adalah Mechanica Euler (1736).Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Rusia:  Akademi Ilmu Pengetahuan, 1736), vol. 1, Bab 2, Bagian 11, paragraf 171, hal. 68.  Dari halaman 68:  Erit enim  seu  ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1.  (Jadi [yaitu, c adalah kecepatannya] sebagai  or , di mana e menunjukkan bilangan yang logaritma hiperboliknya [yaitu, alami] adalah 1.) Meskipun beberapa peneliti menggunakan huruf  pada tahun-tahun berikutnya, huruf  lebih umum dan akhirnya menjadi standar.

Dalam matematika, standar penulisannya adalah mengatur konstanta sebagai "" yang ditulis dalam huruf miring; standar ISO 80000-2:2019 merekomendasikan penulisan konstanta ini dengan pengaturan huruf dalam gaya tegak, tetapi ini belum divalidasikan oleh komunitas ilmiah.

Aplikasi

Bunga majemuk

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, ketika mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:

Jika bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, tingkat bunga untuk setiap 6 bulan akan menjadi 50%, jadi $ 1 awal dikalikan 1,5 dua kali, menghasilkan  di akhir tahun. Bunga hasil kuartalan , dan penggabungan hasil bunga bulanan  Bila ada  interval majemuk, bunga untuk setiap interval akan  dan nilainya pada akhir tahun akan menjadi $1.00 × .

Bernoulli memperhatikan bahwa urutan ini mendekati batas (kekuatan minat) dengan nilai  yang lebih besar dan, dengan demikian, interval penggabungan yang lebih kecil. Penggunaan bunga mingguan () menghasilkan $ 2,692597 ..., sementara penggunaan bunga uang harian () menghasilkan $ 2,714567 ... (sekitar dua sen lebih). Batasnya sebagai  tumbuh besar adalah jumlah yang kemudian dikenal sebagai . Artinya, dengan penggabungan kontinu, nilai akun akan mencapai $2.7182818...

Secara lebih umum, akun yang dimulai dari $ 1 dan menawarkan tingkat bunga tahunan sebesar , setelah itu  tahun, hasil dari  dolar dengan penambahan bunga terus-menerus.

(Perhatikan di sini karena  adalah desimal yang setara dengan suku bunga yang dinyatakan sebagai persentase, jadi untuk bunga 5%, .)

Percobaan-percobaan Bernoulli
Bilangan dari  itu sendiri juga memiliki aplikasi dalam teori probabilitas, dengan cara yang tidak jelas terkait dengan pertumbuhan eksponensial:

Secara khusus, kemungkinan hadil nol kali () adalah

yang sangat mendekati batas

Distribusi normal standar

Distribusi normal dengan rata-rata nol dan deviasi standar satuan dikenal sebagai distribusi normal standar, diberikan oleh fungsi kepadatan probabilitas

Batasan varian unit (dan juga deviasi standar unit) menghasilkan  dalam eksponen, dan batasan luas total unit di bawah kurva  menghasilkan faktor .[bukti] Fungsi ini simetris , di mana ia mencapai nilai maksimumnya , dan memiliki titik belok di .

Kekacauan
Aplikasi lain dari , juga ditemukan sebagian oleh Jacob Bernoulli bersama dengan Pierre Raymond de Montmort, Ada dalam masalah kekacauan, juga dikenal sebagai masalah cek topi:Grinstead, C.M. dan Snell, J.L.Introduction to probability theory  (diterbitkan secara online di bawah GFDL), p. 85.  tamu diundang ke pesta, dan di depan pintu, semua tamu memeriksa topi mereka dengan kepala pelayan, yang pada gilirannya menempatkan topi ke dalam  kotak, masing-masing diberi label dengan nama satu tamu. Tapi kepala pelayan belum menanyakan identitas para tamu, jadi dia menempatkan topi ke dalam kotak yang dipilih secara acak. Masalah de Montmort adalah menemukan probabilitas bahwa tidak ada topi yang dimasukkan ke kotak yang tepat. Probabilitas ini, dilambangkan dengan , didefinisikan sebagai:

Dengan  sebagai nilai jumlah tamu cenderung tak terbatas, nilai  akan semakin mendekati . Selanjutnya, banyaknya cara penempatan topi ke dalam kotak sehingga tidak ada topi yang berada di kotak yang tepat adalah  (dibulatkan ke bilangan bulat terdekat untuk setiap bilangan positif ).Knuth (1997) Seni Pemrograman Komputer Volume I, Addison-Wesley, p. 183 .

Masalah perencanaan yang optimal
Nilai maksimum dari  dapat diperoleh saat . Selain itu, untuk nilai basis , nilai maksimum dari  diperoleh saat  (Permasalahan Steiner).

Dalam permasalahan lain, sebatang blok dengan panjang  dipecah menjadi  bagian yang sama. Nilai dari  yang memaksimalkan produk dari panjang adalah:
 atau 

Asimtotik
Angka  terjadi secara alami sehubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah Rumus Stirling untuk asimtotik dari fungsi faktorial, di mana kedua bilangan tersebut  dan  muncul:

Sebagai konsekuensi,

 Lihat pula 
 Fungsi eksponensial
 Logaritma

 Referensi 

Kategori:Matematika