Fraktal

300px|ka|jmpl|Himpunan Mandelbrot, dinamakan berdasarkan penemunya, adalah contoh fraktal yang terkenal.

300px|ka|jmpl|Segitiga Sierpinski, suatu fraktal, bisa dipecah menjadi tiga segitiga Sierpinski (masing-masing diberi warna berbeda).

Fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal. Beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya. Fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda. Pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.

Istilah "fraktal" diciptakan oleh ahli matematika Benoît Mandelbrot pada tahun 1975.Benoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4 Mandelbrot mendasarkannya pada bahasa Latin , yang berarti "rusak" atau "retak", dan menggunakannya untuk memperluas konsep dimensi pecahan teoretis ke pola geometris di alam.

Berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis. Geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal. Fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer. Dulu ide-ide konseptual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri Euklides dan kalkulus gagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut.

Ada beberapa perbedaan pendapat di kalangan matematikawan tentang bagaimana konsep fraktal harus didefinisikan secara formal. Mandelbrot sendiri merangkumnya sebagai "indah, sangat sulit, semakin berguna. Itulah fraktal." Secara lebih formal, pada tahun 1982 Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai berikut: "Fraktal menurut definisi adalah himpunan yang dimensi Hausdorff – Besicovitch melebihi dimensi topologi."Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15. Belakangan, karena menganggap hal ini terlalu membatasi, ia menyederhanakan dan memperluas definisinya menjadi: "Fraktal adalah bentuk geometris kasar atau terfragmentasi yang dapat dipecah menjadi beberapa bagian, yang masing-masing (setidaknya kira-kira) berukuran diperkecil salinan keseluruhannya." Belakangan, Mandelbrot mengusulkan "untuk menggunakan fraktal tanpa definisi yang berlebihan, untuk menggunakan dimensi fraktal sebagai istilah umum yang berlaku untuk semua varian".

Konsensus di kalangan ahli matematika adalah bahwa fraktal teoretis adalah konstruksi matematika yang berulang dan terperinci dengan kemiripan yang tak terhingga, yang banyak contohnya telah dirumuskan dan dipelajari. Fraktal tidak terbatas pada pola geometris, tetapi juga dapat menggambarkan proses dalam waktu. Pola fraktal dengan berbagai tingkat kemiripan diri telah dirender atau dipelajari dalam media visual, fisik, dan aural dan ditemukan di alam, teknologi,  seni, dan arsitektur.Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture Birhauser, Basel. . Fraktal memiliki relevansi khusus dalam bidang teori chaos karena mereka muncul dalam penggambaran geometris dari sebagian besar proses chaos (biasanya sebagai penarik atau sebagai batas antara cekungan tarikan).

 Sejarah 

ka|jmpl|205px|Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga.

 Kontribusi dari analisis klasik 
Dimulai pada abad ke-17 dengan gagasan rekursi, fraktal telah beralih melalui perlakuan matematis yang semakin ketat hingga mempelajari fungsi kontinu tetapi tidak terdiferensiasi pada abad ke-19 oleh karya penting Bernard Bolzano, Bernhard Riemann, dan Karl Weierstrass, dan hingga munculnya kata fraktal pada abad ke-20 yang kemudian diikuti dengan berkembangnya minat terhadap fraktal dan pemodelan berbasis komputer pada abad ke-20.

Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun tetapi tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal pada masa sekarang. Pada tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole.

Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.

 Aspek dari deskripsi himpunan 

Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.

 Kontribusi Mandelbrot 

Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Pada tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fractal dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fractal bukan diturunkan dari kata fractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang. Kata fractional sendiri juga diturunkan dari fractus.

Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. Geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.

 Pengelompokan 

<tr><td>120px|Seluruh himpunan Mandelbrot
<tr><td>120px|Diperbesar 4x
<tr><td>120px|Diperbesar 30x <tr><td>120px|Diperbesar 350x Himpunan Mandelbrot yang diperbesar 350 kali menunjukkan detail yang mirip dengan himpunan utuhnya.

Fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas. Pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.

 Sistem fungsi teriterasi — Contohnya adalah himpunan Cantor, karpet Sierpinski, kurva Peano, bunga salju Koch, kurva naga Harter-Heighway, Kotak T, dan spons Menger.
 Fraktal waktu lolos — Contohnya adalah himpunan Mandelbrot dan fraktal Lyapunov.
 Fraktal acak — Dihasilkan melalui proses stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan Lévy.

Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:
 Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
 Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
 Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tetapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

Perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal — misalnya garis riil (garis Euclid lurus) bersifat serupa diri, tetapi argumen bahwa benda-benda Euclid adalah fraktal merupakan minoritas. Mandelbrot berargumen bahwa definisi "fraktal" sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", tetapi juga benda-benda Euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.

Karena fraktal memiliki detail yang tak terhingga, tidak ada benda alami yang merupakan fraktal. Namun pada skala yang terbatas benda-benda alam bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.

 Definisi 

Karakteristik fraktal, walau mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya. Mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai "himpunan yang dimensi Hausdorff Besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya". Untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi Hausdorffnya sama dengan dimensi Minkowsi Bouligandnya.

Masalah-masalah yang dihadapi saat mendefinisikan fraktal termasuk:
 Tidak ada definisi matematis dari "terlalu tidak teratur".
 Tidak ada definisi tunggal mengenai "dimensi".
 Suatu benda dapat bersifat serupa diri dengan berbagai cara.
 Tidak setiap fraktal didefinisikan secara rekursif.

 Contoh 
jmpl
Pohon dan pakis adalah contoh fractal di alam dan dapat dimodel pada komputer menggunakan algoritme rekursif. Sifat rekursifnya bisa dilihat dengan mudah — ambil satu cabang dari suatu pohon dan akan terlihat bahwa cabang tersebut adalah miniatur dari pohonnya secara keseluruhan (tidak sama persis, tetapi mirip).

Contoh yang relatif sederhana adalah himpunan Cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1. Suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan Cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.

Secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional. Ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detail yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip. Himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.

Sebagai perbandingan, ambil benda Euklid biasa, misalnya lingkaran. Lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar. Pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus. Fraktal tidak seperti ini. Ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan. Pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detail yang tidak terlihat sebelumnya.

Beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan Mandelbrot, fraktal Lyapunov, himpunan Cantor, segitiga Sierpinski, karpet Sierpinski, spons Menger, kurva naga, kurva Peano, dan kurva Koch. Fraktal bisa deterministik maupun stokastik. Sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.

Benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam. Benda-benda tesebut menunjukkan struktur frakral yang kompleks pada skala tertentu. Contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah.

Harrison    meluaskan kalkulus Newtonian ke domain fraktal, termasuk teorema Gauss, Green, dan Stokes.

Fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal. Lihat daftarnya di bawah.

Fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam. Contohnya adalah awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan berbagai disiplin sains.

 Aplikasi 
Fraktal banyak diaplikasikan    pada bidang:
 Klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran
 Pembuatan musik jenis baru
 Pembuatan berbagai bentuk karya seni baru
 Kompresi data dan sinyal
 Seismologi
 Kosmologi

 Program penghasil 

 Multi-platform 
  Xaos  — Generator realtime — Windows, Mac, Linux, dll
  Fractint  — Tersedia untuk sebagian besar platform
  FLAM3  — Untuk mendesain dan merender iterated function system (IFS), tersedia untuk semua platform
  Fract  — Program berbasis web untuk mengeksplorasi fraktal
  Online Fractal Generator  — Membutuhkan plugin Java2

 Linux 
  Gnofract4d  — Penyunting interaktif yang bisa menggunakan banyak rumus Fractint

 Windows 
  Fractovia's listing of fractal generators  — Berisi daftar yang cukup lengkap tentang program penghasil fraktal gratis
  Ultra Fractal  — Perangkat lunak populer untuk Microsoft Windows
  ChaosPro 
  MSPlotter  — Program Windows gratis yang menggunakan fraktal untuk membuat gambar bitmap dan klip video AVI
  Fractal Explorer 
  Sterling Fractal  — Program penghasil fraktal tingkat lanjut oleh Stephen Ferguson.
  IFS Illusions 
 Ktaza: freeware by S. Ferguson 

 Mac 
  Altivec Fractal Carbon  — Program benchmark untuk Mac, menggunakan fraktal untuk mengukur kemampuan

 MorphOS 
  Zone Explorer  — Kamu dapat membuat rumus dan pewarnaan sendiri

 Lihat pula 
 teori bifurkasi
 efek kupu-kupu
 teori chaos
 kompleksitas
 teori construktal
 seni fraktal
 landskap fraktal
 metafisika fraktal
 graftal
 dimensi Hausdorff
 Gaston Julia
 Daftar publikasi matematika#Geometri fraktal
 Benoît Mandelbrot
 dinamika nonlinier
 turbulensi

 Pranala luar 
  The Chaos Hypertextbook  — Buku yang mengenalkan chaos dan fraktal
  Fractals, in Layman's Terms 
  Fractals, fractal dimension, chaos, plane filling curves 
  Fractal properties 
  Information on fractals from FAQS.org 
  Fractovia  — Daftar yang otoritatif tentang program penghasil fraktal, juga daftar tentang tutorial fraktal secara umum dan program khusus
  Fractal examples 
  Fractal Artwork, Spot files for Fractal Explorer 
  C82 
  Fractal landscapes 
  Fractal dimensions 
  Fractal calculus 
  Mitchell-Green gravity set 
  Fractal Dimension 
  Several fractal art galleries with parameter files and programs for re-creating the images 
  Fractal Zoom movies 
  Natural fractals in Grand Canyon 
  Galleries and softwares
 Segi Tiga Sierpinski Berwarna Warni 

 Bacaan lebih lanjut 
  Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
  Falconer, Kenneth. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. West Sussex: John Wiley & Sons, Ltd., 2003. ISBN 0-470-84861-8
  Jürgens, Hartmut, Heins-Otto Peitgen, and Dietmar Saupe. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 038797903
  Mandelbrot, Benoît B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
  Peitgen, Heinz-Otto, and Dietmar Saupe, eds. The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0

 Referensi 


Kategori:Revolusi Digital
Kategori:Seni digital
Kategori:Dimensi