Barisan Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....
Bilangan Fibonacci pertama kali dideskripsikan dalam matematika India setidaknya sejak tahun 200 SM, dalam karya oleh Pingala terkait menghitung banyaknya pola puisi Sanskerta yang dibentuk dari dua suku kata. Barisan ini diberi nama dengan nama matematikawan Italia Leonardo da Pisa, juga dikenal sebagai Fibonacci, yang memperkenalkannya ke dunia matematika Eropa Barat lewat bukunya  tahun 1202.

Bilangan Fibonacci sering muncul secara tak diduga dalam matematika, sampai ada jurnal tersendiri yang didedikasikan untuk mempelajarinya, Fibonacci Quarterly. Beberapa penerapan barisan Fibonacci diantaranya meliputi algoritma komputer teknik pencarian Fibonacci dan struktur data heap Fibonacci. Barisan Fibonacci juga muncul sebagai pola di alam, seperti percabangan di pohon, susunan daun pada batang, tunas buah nanas, pembungaan di tanaman articok, dan susunan dedaunan pohon cemara (meskipun tidak terjadi pada semua spesies).

Definisi

Barisan Fibonacci dapat didefinisikan oleh relasi perulangan danuntuk 

Jika menggunakan beberapa definisi lama, nilai  dihilangkan, jadi barisan dimulai dengan  dan perulangan  valid untuk . Dua puluh bilangan  Fibonacci pertama adalah:
{| class="wikitable" style="text-align:right"
! F0
! F1
! F2
! F3
! F4
! F5
! F6
! F7
! F8
! F9
! F10
! F11
! F12
! F13
! F14
! F15
! F16
! F17
! F18
! F19
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
| 987
| 1597
| 2584
| 4181
|}

 Asal mula 

 India 

jmpl|Tiga belas () cara menyusun suku kata panjang dan singkat dalam baris dengan panjang enam. Dari total cara itu, delapan ()  diantaranya berakhir dengan suku kata singkat, dan lima () berakhir dengan suku kata panjang.
Barisan Fibonacci muncul dalam matematika India, dalam hubungannya dengan ilmu irama Veda. Dalam tradisi puisi Sanskerta, ada ketertarikan dalam menyusun semua pola dengan suku kata panjang [P] dengan dua satuan durasi, berseling dengan suku kata singkat [S] dengan satu satuan durasi. Menghitung banyaknya pola berbeda dari gabungan [P] dan [S], dengan suatu total satuan durasi yang ditetapkan, menghasilkan suatu bilangan Fibonacci: banyaknya pola dengan   satuan durasi adalah 

Pemahaman terkait barisan Fibonacci disampaikan pertama kali setidaknya oleh Pingala (. 450 SM–200 SM). Singh mengutip rumus misterius Pingala misrau cha ("keduanya dicampur") dan cendekiawan menafsirkan konteksnya seperti mengatakan banyaknya pola dengan  ketukan () diperoleh dengan menambahkan satu [S] ke pola  dan satu [P] ke pola  Bharata Muni juga menuliskan pemahamannya terkait barisan Fibonacci dalam Natya Shastra (ca. 100 SM–c. 350 SM). Eksposisi paling jelas terkait barisan muncul dalam karya oleh Virahanka (ca. 700 SM), yang telah hilang, tapi ada sebagai kutipan oleh Gopala (ca. 1135). Hemachandra (ca. 1150) juga memiliki pengetahuan tentang barisan, dalam tulisannya "jumlah dari sebelumnya dan yang sebelumnya lagi menjadi banyaknya ... mātrā-vṛtta selanjutnya."

 Eropa 
jmpl|Selembar halaman dari  karya Fibonacci, menunjukkan (dalam kotak di sisi kanan) 13 suku pertama barisan Fibonacci: indeks bulan dalam angka Romawi (I sampai XII), dan banyaknya pasangan kelinci dalam angka Hindu-Arab dimulai dari 1, 2, 3, 5 dan berakhir di angka 377.
Bilangan Fibonacci pertama kali muncul pada buku  (The Book of Calculation, 1202) oleh Fibonacci, yang digunakan untuk menghitung pertumbuhan populasi kelinci. Fibonacci membahas pertumbuhan populasi kelinci yang ideal (secara biologis tidak realistis), dengan asumsi bahwa: sepasang kelinci yang baru lahir langsung diternakkan di ladang; setiap pasangan kawin pada umur satu bulan, dan pada akhir bulan kedua pasangan akan selalu menghasilkan sepasang kelinci lagi; dan kelinci tidak akan mati, tetapi terus berkembang biak selamanya. Fibonacci mengajukan teka-teki: berapa banyak pasangan yang akan ada dalam satu tahun?
jmpl|Solusi dari masalah kelinci Fibonacci: dalam populasi ideal yang terus bertambah, banyaknya pasangan kelinci membentuk barisan Fibonasi. Pada akhir bulan ke-n, banyaknya pasangan sama dengan Fn.
 Pada akhir di bulan pertama, satunya-satunya pasangan kelinci kawin, tapi belum melahirkan.
 Pada akhir bulan kedua mereka menghasilkan pasangan baru (jadi ada 2 pasangan di lapangan) dan hamil kembali.
 Pada akhir bulan ketiga, pasangan awal menghasilkan pasangan baru (dan hamil kembali), tapi pasangan kedua hanya kawin selama sebulan, jadi totalnya ada 3 pasangan.
 Pada akhir bulan keempat, pasangan awal telah menghasilkan pasangan baru lagi, dan pasangan yang lahir dua bulan lalu juga menghasilkan pasangan pertamanya, sehingga total ada 5 pasangan.

Pada akhir bulan ke-n, jumlah pasang kelinci sama dengan jumlah pasangan dewasa (yaitu jumlah pasangan di bulan ) ditambah jumlah dari pasangan yang hidup bulan lalu (bulan ).  Jumlah pasangan bulan ke- adalah bilangan Fibonacci ke-.

Nama "barisan Fibonacci" pertama kali digunakan oleh ahli teori bilangan abad ke-19 Édouard Lucas.
 Hubungan dengan rasio emas 

 Rumus eksplisit 
Sama seperti barisan lainnya yang didefinisikan sebagai relasi perulangan dengan koefisien konstan, bilangan Fibonacci memiliki ekspresi bentuk-tertutup. Extract of page 260 Ekspresi ini selanjutnya dikenal sebagai rumus Binet, dinamakan dengan nama matematikawan Prancis  Jacques Philippe Marie Binet, walau ekspresi tersebut sudah diketahui oleh Abraham de Moivre dan Daniel Bernoulli:dengandikenal dengan sebutan rasio emas, dan  adalah konjugatnya:Karena  rumus tersebut juga dapat dituliskan sebagaiUntuk melihat hubungan antara barisan Fibonacci dengan kedua konstanta tersebut, perhatikan bahwa  dan  keduanya merupakan solusi dari persamaan  dan (sebagai akibatnya)  Ini mengartikan perpangkatan dari   dan   memenuhi relasi perulangan Fibonacci; dengan kata lain,Dari hasil tersebut, semua barisan yang didefinisikan sebagaijuga memenuhi relasi perulangan yang sama, karenaJika nilai  dan  dipilih sedemikian sehingga  dan  maka barisan  yang terbentuk pastilah barisan Fibonacci. Pemilihan ini sama saja dengan mengharuskan  dan  memenuhi sistem persamaan:yang memiliki solusisama seperti rumus Binet.

Untuk sebarang nilai awal  dan  rumus Binet yang lebih umum adalah:dengan

 Perhitungan dengan pembulatan 
Karena suku  pada rumus Binet selalu kurang dari  untuk  , bilangan  menjadi bilangan bulat terdekat dengan  . Akibatnya, bilangan Fibonacci juga dapat dihasilkan dengan membulatkan:Faktanya, galat pembulatan akan mengecil dengan cepat seiring membesarnya  menjadi kurang dari 0,1 untuk  dan kurang dari 0,01 untuk  Rumus ini juga mudah diinvers untuk mendapatkan indeks dari bilangan Fibonacci :Jika diubah agar melakukan pembulatan ke bawah, rumus akan menghasilkan indeks bilangan Fibonacci terbesar yang tidak lebih dari .

 Identifikasi 
Rumus Binet memberikan bukti bahwa bilangan bulat positif  merupakan bilangan Fibonacci jika dan hanya jika setidaknya salah satu dari   atau  merupakan kuadrat sempurna. Hal ini dapat terlihat mengalikan rumus Binet, yang dituliskan sebagai , dengan  lalu diselesaikan sebagai persamaan kuadrat dalam  menggunakan rumus kuadratik, menghasilkan:Membandingkan bentuk ini dengan  didapatkanyang menunjukkan ruas sisi kiri merupakan bilangan kuadrat sempurna.

 Identitas kombinatorial 

 Bukti kombinatorial 
Banyak identitas terkait bilangan Fibonacci yang dapat dibuktikan menggunakan argumen kombinatorial, menggunakan fakta bahwa  dapat dianggap sebagai banyaknya (mungkin kosong) barisan berisi angka 1 dan 2 dengan jumlah total  Hal ini dapat dipilih sebagai definisi dari , dengan konvensi  yang mengartikan tidak ada barisan macam itu dengan total −1, dan  yang mengartikan ada satu barisan -- yakni barisan dengan panjang 0 -- dengan total 0. Menggunakan notasi  untuk menyatakan kardinalitas dari himpunan, berikut beberapa bilangan Fibonacci pertama:








Dalam sudut pandang ini, hubungan perulangan  dapat dianggap sebagai memisahkan barisan-barisan penyusun  menjadi dua himpunan tidak-beririsan, yang masing-masing dimulai dari angka 1 atau 2:Mengabaikan suku pertama, jumlah total setiap suku barisan pada kedua himpunan tersebut masing-masing adalah  dan . Nilai ini adalah kardinalitas dari  dan , menunjukkan bahwa memang 

Dengan cara yang mirip, dapat ditunjukkan bahwa jumlah dari  bilangan Fibonacci pertama sama dengan bilangan Fibonacci ke- dikurang 1. Secara matematis:Identitas ini dapat dilihat sebagai memisahkan setiap barisan dengan total  berdasarkan letak angka 2 pertamanya. Hal ini akan menghasilkan himpunan-himpunan berisi barisan yang dimulai dengan suku  sampai dua himpunan terakhir  dan  yang masing-masing memiliki kardinalitas 1. Menggunakan logika yang sama seperti sebelumnya, dengan menghitung kardinalitas setiap himpunan yang dihasilkan kita dapatkandengan dua himpunan terakhir memiliki nilai . Hubungan ini dapat ditulis sebagai , yang sama dengan identitas tersebut.

Argumen yang mirip, kali ini dengan memisahkan barisan berdasarkan letak angka 1 pertamanya, menghasilkan dua identitas baru: danDalam bentuk kalimat, jumlah dari  bilangan Fibonacci berindeks-ganjil pertama adalah bilangan Fibonacci ke-, dan jumlah dari  bilangan Fibonacci berindeks-genap pertama adalah bilangan Fibonacci ke- dikurang 1.
ka|nirbing|260x260px
Trik yang berbeda dapat digunakan untuk membuktikanatau secara kalimat, jumlah dari kuadrat  bilangan Fibonacci pertama sama dengan hasil perkalian bilangan Fibonnaci ke- dan ke- Untuk melihat hubungan ini, mulai dengan membuat persegi panjang berukuran  dan bagi menjadi persegi-persegi dengan panjang sisi ; identitas terbukti dengan membandingkan luas keduanya.

 Identitas lain 
Banyak hubungan lainnya terkait bilangan Fibonacci yang dapat diperoleh dari berbagai metode. Beberapa di antaranya meliputi:

 Identitas Cassini dan Catalan 

Identitas Cassini menyatakan bahwaIdentitas Catalan memperumum identitas tersebut menjadi:

 Identitas d'Ocagne 
Identitas ini menyatakan bahwadengan  adalah bilangan Lucas ke-n. Identitas kedua di atas menunjukkan persamaan untuk menggandakan indeks Identitas lainnya jenis ini adalahyang didapatkan dari identitas Cassini. Secara lebih umum berlaku,atau juga dapat dituliskan sebagai

 Referensi 

 Catatan kaki penjelas 

 Kutipan 

 Kutipan ilmiah 

 .
 .
 .

 .

 .


 Lihat pula 
 Program bilangan Fibonacci
 Tabel 500 bilangan Fibonacci pertama

 Pranala luar 
 The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
 The Golden Section: Phi 
 Menghitung bilangan Fibonacci pada Mesin Turing 
 Hemachandra's application to Sanskrit poetry 
 Deret Fibonacci 
 Representasi Bilangan Bulat menggunakan bilangan Fibonacci 

Kategori:Bilangan