Aritmetika

Aritmetika (bentuk tidak baku: aritmatika; dulu disebut ilmu hitung) adalah bagian dasar matematika yang mempelajari operasi bilangan seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Dalam pengertian yang lebih luas, aritmetika juga mencakup eksponensiasi, akar bilangan, dan logaritma.

Operasi aritmetika menjadi dasar dari banyak bagian matematika, seperti aljabar, kalkulus, dan statistik. Aritmetika memainkan peran yang sama dalam ilmu pengetahuan, seperti fisika dan ekonomi. Aritmetika hadir dalam banyak aspek kehidupan sehari-hari, misalnya, untuk menghitung uang kembalian saat berbelanja atau mengelola keuangan pribadi. Aritmetika adalah salah satu bentuk pendidikan matematika paling awal yang dipelajari oleh siswa.

 Definisi, etimologi, dan cabang yang berkenaan 
Aritmetika adalah cabang matematika yang mendasar. Cabang aritmetika mengkaji bilangan-bilangan serta operasi. Bila dijelaskan lebih rinci lagi, aritmetika adalah cabang matematika yang mengkaji perhitungan numerik menggunakan operasi aritmetika. Operasi aritmetika mencakup penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi aritmetika dapat diperluas lagi, yang mencakup eksponensiasi, penarikan akar, dan logaritma. Kata artimetika bermula dari kata bahasa Latin , yang diturunkan dari kata dalam bahasa Yunani kuno  (arithmos), yang artinya , dan   (arithmetike tekhne), yang artinya .

Definisi yang akurat tentang aritmetika mendapat banyak pertentangan. Bila diartikan dengan sempit, aritmetika adalah cabang matematika yang hanya melibatkan bilangan asli. Akan tetapi, pandangan yang lebih umum adalah jangkauan aritmetika mencakup operasi pada bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan tempo-tempo bilangan kompleks. Beberapa definisi membatasi pengertian aritmetika ke bidang perhitungan numerik. Ketika dipahami dengan pandangan yang lebih luas, aritmetika dapat mencakup kajian bagaimana konsep bilangan-bilangan dikembangkan, analisis sifat-sifat dan hubungan antara bilangan, serta pengujian struktur aksiomatik terkait operasi aritmetika.

Aritmetika sangat terhubung erat dengan teori bilangan, dan beberapa penulis menganggap kedua istilah tersebut sebagai sinonim. Akan tetapi, jika dijelaskan lebih rinci lagi, teori bilangan membatasi kajian bilangan bulat dan hanya berfokus pada sifat-sifat bilangan bulat serta hubungannya seperti keterbagian, faktorisasi, dan primalitas. Teori bilangan sebelumnya dinamakan aritmetika tingkat tinggi.

 Bilangan 
Bilangan adalah objek matematika yang digunakan untuk menghitung kuantitas dan mengukur besaran. Bilangan adalah unsur yang mendasar dalam aritmetika, sebab semua operasi aritmetika dikerjakan pada bilangan. Bilangan mempunyai jenis-jenis serta sistem yang merepresentasikannya.

 Jenis-jenis bilangan 
al=Number line showing different types of numbers|jmpl|Jenis-jenis bilangan pada garis bilangan. Bilangan bulat ditandai dengan warna hitam, bilangan rasional berwarna biru, dan bilangan irasional berwarna hijau.
Jenis-jenis bilangan yang umum dikerjakan adalah bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real. Bilangan asli adalah bilangan cacah yang dimulai dari 1 dan seterusnya. Bilangan asli mengecualikan 0 dan bilangan negatif. Bilangan asli dapat dinyatakan sebagai . Lambang untuk bilangan asli adalah . Bilangan cacah identik dengan bilangan asli. Hanya saja, bilangan cacah menyertakan 0. Artinya, bilangan cacah dapat dinyatakan sebagai  dan mempunyai lambang . Beberapa matematikawan tidak menjelaskan perbedaan bilangan asli dan bilangan cacah dengan menyertakan 0 dalam himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan bulat mencakup bilangan cacah bernilai positif maupun negatif. Lambang untuk bilangan bulat adalah , dan bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai .

Berdasarkan cara bilangan asli dan bilangan cacah digunakan, kedua bilangan dapat dibedakan menjadi bilangan kardinal dan bilangan ordinal. Bilangan kardinal adalah bilangan yang menyatakan kuantitas objek, seperti satu, dua, dan tiga. Bilangan kardinal menjawab pertanyaan "berapa banyak?". Bilangan ordinal mengindikasikan urutan atau letak suatu barisan. Bilangan ordinal menjawab pertanyaan "urutan mana?".

Suatu bilangan adalah rasional apabila bilangan itu dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat. Sebagai contoh, bilangan rasional  dibentuk dengan membagi 1 (yang dinamakan pembilang) oleh bilangan bulat 2 (dinamakan penyebut). Contoh bilangan rasional lainnya adalah  dan . Himpunan bilangan rasional mencakup semua bilangan bulat, yang merupakan pecahan dengan  pembilang 1. Lambang untuk bilangan rasional adalah . Pecahan desimal seperti 0.3 dan 25.12 adalah jenis istimewa bilangan rasional, karena penyebutnya adalah perpangkatan dari 10. Sebagai contoh, 0.3 sama dengan , dan 25.12 sama dengan . Setiap bilangan rasional korespondensi dengan desimal yang terhingga atau suatu desimal berulang.
al=Diagram of a right triangle|jmpl|Bilangan irasional kadangkala diperlukan untuk menggambarkan besaran dalam geometri. Sebagai contoh, panjang sisi miring dari segitiga siku-siku bilangan irasional jika sisi segitiga lainnya adalah 1.
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk rasio dari dua bilangan bulat. Bilangan irasional seringkali diperlukan untuk menggambarkan besaran geometris. Sebagai contoh, jika segitiga siku-siku mempunyai sisi 1, maka sisi miring segitiga memiliki panjang bilangan irasional .  adalah bilangan irasional yang menggambarkan rasio keliling lingkaran dengan diameter. Representasi desimal dari bilangan irasional adalah tak terhingga tanpa memiliki desimal berulang. Himpunan bilangan rasional bersama dengan bilangan irasional, bila digabungkan, membentuk himpunan bilangan real atau bilangan riil. Lambang untuk bilangan real adalah . Bila diperluas lebih lanjut, bilangan real dapat mencakup bilangan kompleks dan bilangan kuaternion.

 Operasi aritmetika 

Operasi aritmetika adalah cara menggabungkan mengubah, atau memanipulasi bilangan-bilangan. Operasi aritmetika adalah fungsi yang memiliki bilangan sebagai input (nilai masuk) dan juga output (nilai hasil). Operasi yang paling penting di dalam aritmetika adalah penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi lebih lanjutnya mencakup eksponen, penarikan akar, dan logaritma. Apabila operasi-operasi tersebut dikerjakan pada variabel dan bukan bilangan, operasi-operasi tersebut kadangkala disebut operasi aljabar.

Dua konsep penting yang berkenaan dengan operasi aritmetika adalah unsur identitas dan unsur invers. Unsur identitas atau unsur netral suatu operasi tidak menyebabkan suatu perubahan jika diterapkan kepada unsur lain. Sebagai contoh, unsur identitas penambahan adalah 0, karena apabila bilangan ditambahkan dengan 0, hasilnya tetap bilangan itu sendiri. Artinya, bilangannya tidak berubah. Unsur invers 9atau unsur kebalikan) adalah unsur yang menghasilkan unsur identitas ketika digabungkan dengan unsur lain. Sebagai contoh, pada operasi penambahan, unsur inversnya, yaitu invers aditif, dari  adalah , karena apabila dijumlahkan maka hasilnya sama dengan .

Selain unsur invers, operasi aritmetika juga memiliki operasi invers. Tanpa memahami secara formal, suatu operasi adalah invers dari operasi lain apabila operasi itu membatalkan operasi pertama. Katakanlah, pengurangan adalah invers (atau kebalikan) dari operasi penambahan, karena suatu bilangan akan kembali nilai semula apabila ditambahkan oleh bilangan kedua dan kemudian dikurangi oleh bilangan yang sama. Sebagai contoh, . Jika kita mendefinisikannya secara formal, operasi  adalah invers dari operasi  jika  memenuhi syarat berikut::  jika dan hanya jika .

Sifat komutatif (atau sifat pertukaran) dan sifat asosiatif (atau sifat pengelompokan) berperan penting dalam urutan suatu operasi aritmetika saat dikerjakan. Suatu operasi dikatakan komutatif apabila urutan bilangan dapat diubah tanpa mempengaruhi hasil perhitungan. Sebagai contoh, untuk operasi penambahan,  sama saja dengan . Sifat asosiatif mempengaruhi urutan bilangan di dalam beberapa operasi aritmetika saat dikerjakan. Artinya, suatu operasi adalah asosiatif apabila, diketahui terdapat dua operasi aritmetika, maka seseorang dapat memilih operasi mana yang dikerjakan terlebih dahulu. Pada contoh operasi perkalian,  sama saja dengan .

 Penambahan dan pengurangan 

Penambahan adalah operasi aritmetika yang menggabungkan dua bilangan menjadi suatu bilangan. Hasil operasi tersebut merupakan jumlah keseluruhan. Lambang untuk operasi penambahan adalah . Contohnya adalah  dan . Penjumlahan dapat diartikan sebagai kumpulan operasi penambahan yang dikerjakan sekaligus. Pencacahan adalah jenis penambahan 1 yang berulang kali dikerjakan terus-menerus.

Pengurangan adalah invers dari penambahan. Pada operasi tersebut, suatu bilangan dapat diambil dari bilangan lain. Hasil operasi tersebut merupakan selisih. Lambang untuk operasi pengurangan adalah . Contohnya adalah  dan . Operasi pengurangan seriingkali diperlakukan sebagai kasus istimewa dari operasi penambahan. Selain mengurangi bilangan bernilai positif, operasi pengurangan dapat diartikan sebagai bilangan yang ditambahkan dengan bilangan bernilai negatif. Sebagai contoh, . Dengan penulisan tersebut, perhitungan matematis terbantu menjadi sederhana dengan menyurutkan beberapa operasi aritmetika dasar yang dibutuhkan untuk mengerjakan perhitungan.

Unsur invers aditif adalah 0 dan invers aditif dari suatu bilangan adalah negatif dari bilangan tersebut. Sebagai contoh,  dan . Operasi penambahan bersifat komutatif maupun asosiatif.

 Perkalian dan pembagian 

Perkalian adalah operasi aritmetika yang melibatkan dua bilangan sehingga hasilnya menjadi suatu bilangan yang dinamakan hasil kali. Lambang untuk operasi perkalian adalah , , dan *. Sebagai contoh,  dan . Dalam bilangan asli, operasi perkalian adalah operasi penambahan yang dilkerjakan berulang kali. Contohnya sepert .

Pembagian adalah invers dari operasi perkalian. Pada operasi ini, suatu bilangan dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang sama oleh suatu bilangan lain. Bilangan terakhir ini disebut pembagi. Hasil operasi ini dinamakan hasil bagi. Lambang untuk operasi pembagian adalah  dan . Sebagai contoh,  dan . Operasi pembagian kerapkali diperlakukan sebagai kasus istimewa dari operasi perkalian. Alih-alih dibagi oleh suatu bilangan, operasi pembagian dapat dipandang sebagai timbal balik. Timbal balik dari suatu bilangan adalah 1 dibagi oleh bilangan tersebut. Sebagai contoh, .

Unsur identitas perkalian adalah 1 dan invers perkalian dari suatu bilangan adalah timbal balik dari bilangan tersebut. Sebagai contoh,  dan . Operasi perkalian bersifat komutatif maupun asosiatif.

 Eksponensiasi dan logaritma 

Eksponensiasi adalah operasi aritmetika yang terdiri dari suatu bilangan yang dinamakan basis, dipangkatkan dengan suatu bilangan lain yang dinamakan pangkat atau eksponen. Operasi eksponen terkadang menggunakan lambang ^, tetapi umumnya operasi ini menulis pangkat dalam bentuk superskrip, diletakkan di sebelah kanan basis. Sebagai contoh,  dan ^. Apabil eksponennya bilangan asli, maka eksponensiasi adalah perkalian yang dikerjakan berulang kali, seperti .

Akar adalah jenis eksponensiasi khusus yang menggunakan pangkat berupa pecahan. Sebagai contoh, akar kuadrat dari suatu bilangan sama saja dengan bilangan yang dipangkatkan dengan , dan akar pangkat tiga dari suatu bilangan sama saja dengan bilangan yang dipangkatkan dengan . Sebagai contoh,  dan .

Logaritma adalah invers dari eksponensiasi. Logaritma dari suatu bilangan  dengan basis  adalah eksponen yang memangkat  supaya menghasilkan nilai . Sebagai contoh, karena , maka logaritma dari 1000 dengan basis 10 sama dengan 3. Logaritma dari  dengan basis  dilambangkan dengan menuliskan basis dalam bentuk superskrip di sebelah kiri logaritma , menuliskan basis dalam bentuk subskrip di antara logaritma dan , , bisa tanpa tanda kurung, , atau bahkan tanpa menjelaskan basis sama sekali  andaikata basisnya dapat dipahami dari konteks yang diberikan. Pada contoh yang sudah disajikan, logaritma tersebut dapat ditulis sebagai .

Eksponensiasi dan logaritma tidak mempunyai unsur identitas dan unsur invers umum seperti operasi penambahan dan perkalian. Unsur netral dari eksponensiasi yang berkenaan dengan eksponen adalah 1, seperti . Akan tetapi, eksponensiasi tidak memiliki unsur identitas umum, karena 1 bukanlah unsur netral untuk basis. Eksponensiasi dan logaritma sama-sama tidak bersifat komutatif ataupun asosiatif.

 Teorema dasar aritmetika 

Teorema dasar aritmetikamenyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 memiliki faktorisasi prima unik (representasi bilangan sebagai hasil kali faktor prima), tidak termasuk urutan faktor. Misalnya, 252 hanya memiliki satu faktorisasi prima:

252 = 2 × 3 × 7

Elemen Euklides pertama kali memperkenalkan teorema ini, dan memberikan bukti parsial (yang disebut lemma Euklides). Teorema dasar aritmetika pertama kali dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss.

 Sejarah 
al=Photo of the Ishango bone|jmpl|Menurut beberapa sejarawan, tulang Ishango adalah salah satu artefak aritmetika tertua.
Awal mula aritmetika kadangkala dapat ditarik kembali pada pencacahan dan turus yang mencatat kuantitas. Menurut sejarah, tulang Lebombo (yang berumur sekitar 43.000 tahun yang lalu) dan tulang Ishango (sekitar 22.000 hingga 30.000 tahun yang lalu) adalah artefak-artefak aritmetika tertua. Akan tetapi, pendugaan tersebut masih diperdebatkan. Untungnya, kepekaan terhadap bilangan mungkin mendahului penemuan artefak-artefak tersebut dan barangkali sudah ada sebelum bahasa dikembangkan.

Tak lama kemudian, kehadiran peradaban kuno memiliki pendekatan kepada aritmetika yang lebih rumit dan terstruktur, yang dimulai sekitar 3000 SM. Pendekatan aritmetika menjadi keperluan karena semakin meningkatnya kebutuhan untuk mencatat penyimpanan barang, mengelola kepemilikan tanah, dan pertukaran yang tersusun rapi. Semua peradaban kuno besar mengembangkan sistem numerik non-posisional yang mempermudah representasi bilangan. Selain itu, peradaban-peradaban kuno juga memiliki lambang untuk operasi seperti penambahan dan pengurangan, serta masih mempelajari pecahan. Contoh lambang-lambang yang ditemukan adalah hieroglif yang diciptakan bangsa Mesir, serta sistem bilangan yang ditemukan di beberapa bangsa lain seperti Sumeria, Tiongkok, dan India. Sistem bilangan posisional pertama kali dikembangkan oleh bangsa Babilionia yang diperkirakan mulai pada 1800 SM. Pengembangan sistem bilangan ini menjadi kemajuan besar-besaran daripada sistem bilangan sebelum-sebelumnya, sebab sistem bilangan milik Babilonia menyajikan bilangan yang cukup besar dan perhitungan bilangan yang lebih mudah. Swipoa telah dipakai sebagai alat hitung menggunakan tangan semenjak masa kuno yang dianggap mudah untuk mengerjakan perhitungan rumit.

Peradaban awal galibnya menggunakan bilangan sebagai tujuan yang dapat dilakukan dengan terwujud, seperti aktivitas yang berhubungan dengan perdagangan serta pencatatan pajak. Akan tetapi, bilangan itu sendiri masih kekurangan konsep yang abstrak. Untungnya, hal tersebut berubah ketika matematikawan Yunani kuno memulai penyelidikan kealamian bilangan yang abstrak, alih-alih mengkaji bagaimana cara menerapakannya ke permasalahan-permasalahan tertentu. Selain itu, matematikawan Yunani kuno memiliki keistimewaan yang menarik, yakni pemakaian bukti-bukti yang mendirikan kebenaran matematika dan mensahkan teori-teori. Kontribusi lebih lanjutnya adalah perbedaan definisi dari berbagai kelas-kelas bilangan, seperti bilangan genap, bilangan ganjil, dan bilangan prima. Hal tersebut mencakup penemuan bilangan-bilangan yang melibatkan panjang geometris yang merupakan bilangan irasional, sehingga tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. Karya Thales dari Miletus dan Pythagoras pada abad ke-7 dan ke-6 SM acapkali merupakan permulaan matematika Yunani. Diophantus adalah tokoh yang berdampak pada aritmetika di Yunani kuno pada abad ke-3 M, karena banyak kontribusi mengenai teori bilangan dan penyelidikannya mengenai penerapan operasi aritmetika ke persamaan aljabar.

Bangsa India kuno pertama kali mengembangkan konsep nol sebagai bilangan untuk menghitung. Aturan pasti mengenai operasinya dicatat oleh Brahmagupta pada sekitar tahun 628 M. Konsep nol atau tiada sudah ada sejak purbakala, tetapi masih belum dipandang sebagai suatu objek operasi aritmetika. Brahmagupta kemudian lebih lanjut menyediakan pembahasan yang rinci mengenai perhitungan dengan bilangan negatif serta penerapannya dalam permasalahan berupa kredit dan debit. Konsep bilangan negatif tersendiri sudah lama ditemukan dalam matematika Tiongkok pada milenium pertama SM.

Matematikawan India juga mengembangkan sistem bilangan berupa posisi digit yang masih digunakan sekarang, terutama konsep digit nol daripada dianggap kosong atau posisi yang menghilang. Sebagai contoh, Aryabhata dalam karyanya memperlakukan operasinya dengan terperinci pada masa menuju abad ke-6 M. Sistem bilangan desimal India kemudian diperhalus dan diperluas menjadi sistem yang bukan bilangan bulat selama zamaan kejayaan Islam oleh matematikawan Timur Tengah, seperti Al-Khwarizmi. Karyanya berdampak dalam memperkenalkan sistem bilangan desimal ke dunia Barat, yang pada masa itu mereka masih bergantung pada sistem bilangan Romawi. Di sana, sistem bilangan milik Al-Khwarizmi dilariskan oleh matematikawan seperti Leonardo Fibonacci, matematikawan atas penemuannya barisan Fibonacci yang tinggal pada abad ke-12 dan ke-13. Selama abad pertengahan dan Renaissance, banyak buku terkenal diterbitkan, yang membahas perhitungan praktis untuk keperluan dagang. Swipoa menjadi alat yang seringkali digunakan pada masa tersebut. Pada abad ke-16, matematikawan Gerolamo Cardano merancangkan konsep bilangan kompleks untuk menyelesaiakan persamaan kubik.
al=Photo of Leibniz's stepped reckoner|jmpl|Mesin hitung Leibniz adalah mesin hitung pertama yang dapat mengerjakan semua empat operasi hitung.
Mesin hitung pertama kali dikembangkan pada abad ke-17 dan kemudian mempermudah perhitungan matematika yang rumit dengan luar biasa, seperti mesin hitung milik Blaise Pascal serta mesin hitung milik Gottfried Wilhelm Leibniz. Pada abad ke-17, logaritma ditemukan oleh John Napier.

Pada abad ke-18 dan ke-19, matematikawan seperti Leonhard Euler dan Carl Friedrich Gauss mendirikan  dasar-dasar teori bilangan modern. Pengembangan lainnya pada masa itu melibatkan pengerjaan formalisasi dan dasar-dasar aritmetika, seperti teori himpunan oleh Georg Cantor dan aksioma Dedekind–Peano yang digunakan sebagai aksiomatisasi aritmetika yang melibatkan bilangan asli. Komputer dan kalkulator elektronik pertama kali dikembangkan pada abad ke-20. Pemakaian alat-alat tersebut tersebar luas, yang mengubah keakuratan serta kecepatan dalam melakukan perhitungan aritmetika yang semakin rumit.

 Lihat pula 

 Daftar topik matematika
 Garis Besar aritmetika
 Aturan geser

 Topik terkait 

 Penambahan bilangan asli
 Aditif invers
 Pengodean aritmetika
 Rata-rata aritmetika
 Bilangan aritmetika
 Perkembangan aritmetika
 Properti aritmetika
 Asosiatif
 Komutatif
 Distributivitas
 Aritmetika dasar
 Aritmetika bidang hingga
 Perkembangan geometris
 Bilangan bulat
 Daftar publikasi penting dalam matematika
 Perhitungan mental
 Garis bilangan

 Catatan 

 Referensi 

 Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
 Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
 Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
 Fine, Henry Burchard (1858–1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
 Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
 Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw–Hill, New York, 1948
 Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004

 Pranala luar 

 MathWorld article about arithmetic
 The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
 The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence