Teori bilangan

Teori bilangan (atau aritmetika tinggi dalam penggunaan yang lama) adalah cabang dari matematika murni yang ditujukan terutama untuk mempelajari bilangan bulat dan fungsi bernilai bilangan bulat. Matematikawan asal Jerman Carl Friedrich Gauss (1777–1855) berkata, "Matematika ialah ratu dari ilmu pengetahuan—dan teori bilangan ialah ratu dari matematika."Catatan asli dari bahasa Jerman: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik." Ahli teori bilangan mempelajari bilangan prima serta sifat-sifat suatu objek matematika yang terbuat dari bilangan bulat (misalnya, bilangan rasional) atau didefinisikan sebagai generalisasi bilangan bulat (misalnya, bilangan bulat aljabar).

Bilangan bulat dapat dianggap baik dalam dirinya atau sebagai solusi persamaan (geometri Diophantine). Pertanyaan dalam teori bilangan sering kali paling baik dipahami melalui studi objek analitik (misalnya, fungsi Riemann zeta) yang menyandikan sifat suatu bilangan bulat, bilangan prima, atau objek teori bilangan lainnya dengan cara tertentu (teori bilangan analitik). Beberapa juga bisa mempelajari bilangan real dalam kaitannya dengan bilangan rasional, misalnya seperti yang mendekati yang terakhir (hampiran Diophantine).

Sejarah
Asal-usul
Aritmetika awal
Penemuan sejarah paling awal dari suatu sifat aritmetika adalah fragmen dari tabel: pecahan lempengan tanah liat Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, kira-kira tahun 1800 SM) berisi daftar "Pythagoras   such that . Judul di atas kolom pertama berbunyi: "The takiltum dari diagonal yang telah dikurangi lebar...". Istilah takiltum bermasalah. Robson lebih suka rendering "Kotak penahan diagonal dari mana 1, sehingga sisi pendek muncul..."..

Sumber lain diberikan degan rumus . Van der Waerden memberikan rumus masa awal modern dan bentuk yang pilihan oleh Robson. bahwa dari rumus yang dibangun melalui jumlah, dalam bahasa modern, identitas

yang tersirat dalam latihan Babilonia yang sangat rutin. Bagaimana metode lain bisa menggunakan denganNeugebauer  memerhatikan tabel secara rinci dan menyebutkan secara sepintas dari metode Euklides dalam notasi modern yang. pertama kali dibuat dan kemudian disusun ulang oleh , mungkin untuk penggunaan aktual sebagai "tabel", contohnya, dengan tampilan ke aplikasi.

Tidak diketahui apa aplikasi ini, atau apakah mungkin ada; Astronomi Babilonia, contohnya, baru baru ini benar menjadi pemilik belakangan. Dengan perlu mengalihkan untuk menyarankan bahwa tabel adalah sumber contoh numerik untuk masalah sekolah.. Hasil kontroversial. Lihat Plimpton 322. Artikel Robson dituliskan dengan polemik  dengan maksud ini "memungkinkan [...] dari tabel [Plimpton 322] dari alasnya" ; pada saat yang sama, ia menyimpulkan bahwa [...] pertanyaan "bagaimana tablet dapat dihitung?" tidak harus memiliki jawaban yang sama dengan pertanyaan "masalah apa yang diatur oleh tablet? "Yang pertama dapat dijawab dengan sangat memuaskan oleh pasangan timbal balik, seperti yang disarankan pertama setengah abad yang lalu, dan yang kedua dengan semacam masalah segitiga siku-siku . 
Robson mempermasalahkan gagasan bahwa juru tulis yang menghasilkan Plimpton 322 (yang harus "bekerja untuk mencari nafkah", dan tidak akan menjadi bagian dari "kelas menengah yang santai") bisa saja dimotivasi oleh "keingintahuan yang menganggur" sendiri karena tidak adanya "pasar untuk matematika baru".

Sementara teori bilangan Babilonia atau yang bertahan dari matematika Babilonia yang dapat disebut demikian yang terdiri dari fragmen tunggal yang mencolok ini, aljabar Babilonia (dalam pengertian sekolah menengah " berkembang dengan sangat baik. Sumber-sumber Neoplatonik AkhirIamblichus, Life of Pythagoras, (terjemahan, misalnya, ) dikutip oleh . Lihat pula Porphyry, Life of Pythagoras, paragraf 6, di 
Van der Waerden  mendukung pandangan bahwa Thales mengetahui matematika Babilonia. nyatakan bahwa Pythagoras belajar matematika dari Babilonia. Sumber jauh lebih awalHerodotus (II. 81) and Isocrates (Busiris 28), cited in: . Oleh Thales, lihat Eudemus ap. Proclus, 65.7, (misalnya, ) dikutip dalam: . Proclus menggunakan karya Eudemus of Rhodes (sekarang hilang), Katalog Geometer. Lihat juga pendahuluan,  tentang keandalan Proclus. menyatakan bahwa Thales dan Pythagoras bepergian dan belajar di Mesir.

Euclid IX 21 34 sangat mungkin adalah Pythagoras;, dikutip oleh: . itu adalah bahan yang sangat sederhana ("waktu ganjil genap", "jika bilangan ganjil mengukur [= membagi] bilangan genap, maka ia juga mengukur [= membagi] setengahnya"), tetapi hanya itu yang diperlukan untuk membuktikan nilai 2|]]
adalah irasional.  Mistikus Pythagoras sangat mementingkan ganjil dan genap.
Penemuan tersebut bahwa  tidak rasional dikreditkan ke Pythagoras awal (pra Theodorus).Plato, Theaetetus, p. 147 B, (sebagai contoh, ), cited
in : "Theodorus sedang menulis untuk kita sesuatu tentang akar, seperti akar dari tiga atau lima, menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dibandingkan dengan unit;..." Lihat pula Spiral Theodorus. Dengan mengungkapkan (dalam istilah modern) bahwa angka bisa jadi tidak rasional, penemuan ini tampaknya telah memicu krisis mendasar pertama dalam sejarah matematika; bukti atau penyebarluasannya kadang-kadang dikreditkan ke Hippasus, yang dipisahkan dari sekte Pythagoras. Hal ini dapat memaksa perbedaan antara bilangan (bilangan bulat dan rasional subjek aritmetika), di satu sisi, dan panjang dan proporsi (yang akan kami identifikasi dengan bilangan real, apakah rasional atau tidak), di sisi lain.

Tradisi Pythagoras berbicara juga tentang apa yang disebut poligonal atau angka figur. Sementara bilangan kuadrat, bilangan kubik, dll., Sekarang dipandang lebih alami daripada bilangan segitiga, bilangan pentagonal, dll. Studi tentang jumlah
bilangan segitiga dan pentagonal terbukti bermanfaat pada awal periode modern (abad ke-17 hingga awal abad ke-19).

Kita tidak mengetahui materi aritmetika yang jelas dalam sumber Mesir kuno atau Weda, meskipun ada beberapa aljabar di keduanya. Teorema sisa Bahasa Hanzi muncul sebagai exe  di Sunzi Suanjing (abad ke 3, ke 4, atau ke 5 M)Tanggal teks telah dipersempit menjadi 220–420 M (Yan Dunjie) atau 280–473 M (Wang Ling) melalui bukti internal (= sistem perpajakan yang diasumsikan dalam teks). Lihat . (Ada satu langkah penting yang ditutup-tutupi dalam solusi Sunzi:Sunzi Suanjing, Ch. 3, Problem 26,
in :[26] Sekarang ada sejumlah hal yang tidak diketahui. Kalau dihitung tiga, ada sisa 2; jika kita hitung dengan lima, ada sisa 3; Jika dihitung dengan tujuh, ada sisa 2. temukan sejumlah hal.  Jawab : 2;.
Metode: Kalau kita hitung kelipatan tiga dan ada yang tersisa 2, taruh 140. Kalau kita hitung kelima dan ada sisa 3, turunkan 63. Kalau kita hitung kelipatan tujuh dan ada sisa 2, letakkan 30. Kalau kita hitung tiga dan ada yang tersisa 1, tuliskan 70. Jika kita hitung lima dan ada sisa 1, tulis 21. Bila kita hitung dengan tujuh dan ada sisa 1, turunkan 15. Jika [sebuah angka] melebihi 106, hasilnya diperoleh dengan mengurangkan 105. ini adalah masalah yang kemudian dipecahkan oleh Kuṭṭaka Āryabhaṭa lihat di bawah.)

Ada juga beberapa mistisisme numerik dalam matematika Tiongkok,Lihat, contohnya, Sunzi Suanjing, Ch. 3, Masalah 36, dalam :[36] Sekarang ada seorang ibu hamil berusia 29 tahun. Jika masa kehamilan 9 bulan, tentukan jenis kelamin bayi yang dikandungnya.. Menjawab: Male.
Metode: Letakkan 49, tambahkan masa gestasi dan kurangi usianya. Dari sisanya ambil 1 mewakili langit, 2 bumi, 3 manusia, 4 empat musim, 5 lima fase, 6 enam pipa pitch, 7 tujuh bintang [Biduk], 8 delapan angin, dan 9 sembilan divisi [Tiongkok di bawah Yu Agung]. Jika sisanya ganjil, [jenis kelamin] adalah laki-laki dan jika sisanya genap, [jenis kelamin] adalah perempuan.
Hal ini adalah masalah terakhir dalam risalah Sunzi yang sebenarnya tidak berbelit-belit. tetapi, tidak seperti Pythagoras, tampaknya tidak mengarah ke mana pun. Seperti angka sempurna Pythagoras, persegi ajaib telah berubah dari takhayul menjadi rekreasi.

Yunani Klasik dan periode Helenistik awal

Selain dari beberapa fragmen, matematika Yunani Klasik diketahui oleh kita baik melalui laporan dari non-matematikawan kontemporer atau melalui karya matematika dari teori Helenistik awal. Dalam kasus teori bilangan, ini berarti, pada umumnya, Plato dan Euklides, masing-masing.

Sementara matematika Asia memengaruhi pembelajaran Yunani dan Helenistik, tampaknya matematika Yunani juga merupakan tradisi pribumi.

Eusebius, PE X, bab 4 menyebutkan Pythagoras:

"Faktanya, Pythagoras tersebut, sambil sibuk mempelajari kebijaksanaan setiap bangsa, mengunjungi Babilonia, dan Mesir, dan semua Persia, atas instruksi dari orang Majus dan para pendeta: dan selain itu dia terkait telah belajar di bawah bimbingan Brahmana (ini adalah filsuf India); dan dari beberapa dia mengumpulkan astrologi, dari geometri lain, dan aritmetika dan musik dari yang lain, dan hal-hal yang berbeda dari negara yang berbeda, dan hanya dari orang-orang bijak Yunani dia tidak mendapatkan apa-apa, menikah seperti mereka dalam kemiskinan dan kelangkaan kebijaksanaan: jadi sebaliknya dia sendiri menjadi penulis instruksi kepada orang-orang Yunani dalam pembelajaran yang dia peroleh dari luar negeri."

Aristoteles menyatakan bahwa filosofi Plato mengikuti ajaran Pythagoras,Metafisika, 1.6.1 (987a) dan Cicero mengulangi klaim ini: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Mereka mengatakan Plato mempelajari semua hal Pythagoras").Tusc. Disput. 1.17.39.

Plato memiliki minat yang besar pada matematika, dan dengan jelas membedakan antara aritmetika dan perhitungan. (Dengan aritmetika yang dia maksud, sebagian, berteori tentang angka, daripada apa aritmetika.) Melalui salah satu dialog Plato — yaitu, Theaetetus kita tahu bahwa Theodorus telah membuktikan bahwa  tidak rasional. Theaetetus adalah, seperti Plato, murid Theodorus; dia bekerja pada membedakan berbagai jenis tidak dapat dibandingkan, dan dengan demikian bisa dibilang pelopor dalam studi sistem bilangan. (Buku X Elemen Euklides dijelaskan oleh Pappus sebagian besar didasarkan pada karya Theaetetus.)

Euklides mengabdikan bagian dari Elemen nya untuk bilangan prima dan dapat dibagi, topik yang jelas termasuk dalam teori bilangan dan merupakan dasar untuk itu (Buku VII sampai IX Elemen Euclid). Secara khusus, dia memberikan algoritma untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua angka (Algoritma Euklides; Elemen, Prop. VII.2) dan bukti pertama yang diketahui dari tak terhingga.

Diophantus

Sangat sedikit yang diketahui tentang Diophantus dari Alexandria; dia mungkin hidup pada abad ketiga M, yaitu sekitar lima ratus tahun setelah Euclid. Enam dari tiga belas buku Diophantus Aritmetika yunani; empat buku lagi bertahan dalam terjemahan bahasa Arab. The Arithmetica adalah kumpulan masalah yang diselesaikan di mana tugasnya selalu untuk menemukan solusi rasional untuk sistem persamaan polinomial dari  atau . Jadi, saat ini, kita berbicara tentang persamaan Diophantine ketika kita berbicara tentang persamaan polinomial di mana solusi rasional atau bilangan bulat harus ditemukan.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara
Sementara astronomi Yunani mungkin memengaruhi pembelajaran India, hingga memperkenalkan trigonometri, tampaknya matematika India merupakan tradisi pribumi;Any kontak awal antara matematika Babilonia dan India masih berupa dugaan . khususnya, tidak ada bukti bahwa Euclid's Elements mencapai India sebelum abad ke-18.

Āryabhaṭa (476–550 M) menunjukkan bahwa pasangan kongruensi simultan ,  bisa diselesaikan dengan metode yang dia panggil kuṭṭaka, atau pulveriser;Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Chapter 2, verses 32–33, cited in: . See also . Deskripsi kuṭṭaka yang sedikit lebih eksplisit kemudian diberikan di Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3–5 (in , cited in ). ini adalah prosedur yang dekat dengan (generalisasi dari) Algoritma Euklides, yang mungkin ditemukan secara independen di India. Āryabhaṭa tampaknya ada dalam pikiran aplikasi untuk perhitungan astronomi.

Brahmagupta (628 M) memulai studi sistematis persamaan kuadrat tak tentu khususnya, Persamaan Pell, di mana Archimedes mungkin pertama kali tertarik, dan yang tidak mulai diselesaikan di Barat sampai masa Fermat dan Euler. Kemudian penulis Sansekerta akan mengikuti, menggunakan terminologi teknis Brahmagupta. Sebuah prosedur umum (chakravala, atau "metode siklik") untuk menyelesaikan persamaan Pell akhirnya ditemukan oleh Jayadeva (dikutip pada abad kesebelas; pekerjaannya akan hilang); eksposisi paling awal yang masih hidup muncul di Bīja-gaṇita (abad kedua belas) Bhāskara II.

Matematika India sebagian besar tetap tidak dikenal di Eropa sampai akhir abad kedelapan belas; Karya Brahmagupta dan Bhāskara diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris pada tahun 1817 oleh Henry Colebrooke.

Aritmetika di zaman keemasan Islam

Pada awal abad kesembilan, khalifah Al-Ma'mun memerintahkan terjemahan banyak karya matematika Yunani dan setidaknya satu karya Sansekerta (Sindhind,
yang mungkin , cited in . See also the preface in
 dikutip dalam  atau mungkin tidak, dan , dikutip dalam . jadilah Brahmagupta Brāhmasphuṭasiddhānta).
Karya utama Diophantus, Arithmetica, diterjemahkan ke dalam bahasa Arab oleh Qusta ibn Luqa (820–912).
Bagian dari risalah  al-Fakhri  (oleh al-Karajī, 953 - ca. 1029) dibangun di atasnya sampai batas tertentu. Menurut Rashed Roshdi, Al-Karajī sezaman Ibn al-Haytham mengetahui apa yang kemudian akan disebut Teorema Wilson.

Eropa Barat pada Abad Pertengahan
Selain risalah tentang kotak dalam perkembangan aritmetika oleh Fibonacci - yang melakukan perjalanan dan belajar di Afrika utara dan Konstantinopel — tidak ada teori bilangan yang bisa dibicarakan dilakukan di Eropa barat. Hal-hal mulai berubah di Eropa pada akhir Renaisans, berkat studi baru tentang karya-karya kuno Yunani. Katalis adalah perbaikan tekstual dan terjemahan ke dalam bahasa Latin Diophantus' Arithmetica.Bachet, 1621, mengikuti upaya pertama oleh Xylander, 1575

Teori bilangan modern awal
Fermat

Pierre de Fermat (1607–1665) tidak pernah menerbitkan tulisannya; Secara khusus, karyanya tentang teori bilangan terkandung hampir seluruhnya dalam surat-surat untuk matematikawan dan catatan pinggir pribadi. Dalam catatan dan suratnya, dia jarang menulis bukti, bahwa dia tidak punya model di daerah itu.. Ini lebih terjadi dalam teori bilangan daripada di bidang lain (komentar dalam ). Bukti Bachet sendiri "sangat kikuk" .

Selama hidupnya, Fermat memberikan kontribusi berikut di lapangan:

 Salah satu minat pertama Fermat adalah bilangan sempurna (yang muncul di buku tulisan Euklides, Elements IX) dan nomor yang bersahabat;Jumlah yang sempurna dan terutama yang bersahabat sedikit atau tidak menarik sama sekali saat ini. Hal yang sama tidak berlaku di abad pertengahan — baik di Barat atau di dunia berbahasa Arab — sebagian karena pentingnya yang diberikan oleh Neopythagoras (dan karenanya mistis) Nicomachus (ca. 100 CE), yang menulis "Pengantar Aritmetika" primitif tetapi berpengaruh. Lihat . topik ini membawanya untuk bekerja pada integer pembagi s, yang dari awal di antara subjek korespondensi (1636 dan seterusnya) yang membuatnya berhubungan dengan komunitas matematika dari hari ke hari.. Subjek awal korespondensi Fermat termasuk pembagi ("bagian alikuot") dan banyak subjek di luar teori bilangan; lihat daftar di surat dari Fermat ke Roberval, 22.IX.1636, , cited in .
 Pada tahun 1638, Fermat mengklaim, tanpa bukti, bahwa semua bilangan bulat dapat diekspresikan sebagai jumlah dari empat persegi atau kurang.
 Teorema kecil Fermat (1640):, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640,
cited in  if a is not divisible by a prime p, then Di sini, seperti biasa, diberikan dua bilangan bulat a dan b dan bilangan bulat bukan nol m, kami menulis  (baca "a kongruen dengan b modulo m") yang berarti m membagi a b, atau, apa artinya sama , a dan b meninggalkan residu yang sama ketika dibagi dengan m. Notasi ini sebenarnya lebih lambat dari Fermat; ini pertama kali muncul di bagian 1 Gauss Disquisitiones Arithmeticae. Teorema kecil Fermat adalah konsekuensi dari fakta bahwa urutan dari suatu elemen kelompok membagi grup. Bukti modern akan berada dalam kemampuan Fermat (dan memang diberikan kemudian oleh Euler), Padahal konsep modern kelompok datang jauh setelah Fermat atau Euler. (Ini membantu untuk mengetahui bahwa invers ada modulo p, yaitu, diberikan a tidak habis dibagi oleh prima p, ada bilangan bulat x sehingga ); fakta ini (yang, dalam bahasa modern, membuat residu mod p menjadi satu kelompok, dan yang sudah diketahui Āryabhaṭa; lihat di atas) sudah tidak asing lagi bagi Fermat berkat penemuannya kembali oleh Bachet . Weil melanjutkan dengan mengatakan bahwa Fermat akan mengenali bahwa argumen Bachet pada dasarnya adalah algoritma Euklides.
 Bila a dan b adalah coprime, setelah itu  tidak habis dibagi oleh kongruen prima manapun dengan −1 modulo 4;, cited in . Semua kutipan berikut dari Varia Opera Fermat diambil dari . Karya standar Tannery & Henry mencakup revisi dari karya Fermat Varia Opera Mathematica yang awalnya disiapkan oleh putranya . dan setiap kongruen prima dengan 1 modulo 4 dapat ditulis dalam bentuk . Kedua pernyataan ini juga berasal dari tahun 1640; pada 1659, Fermat menyatakan kepada Huygens bahwa dia telah membuktikan pernyataan terakhir dengan metode keturunan tak terbatas.
 Pada 1657, Fermat mengajukan masalah pemecahannya  sebagai tantangan bagi matematikawan Inggris. Masalahnya diselesaikan dalam beberapa bulan oleh Wallis dan Brouncker. Fermat menganggap solusi mereka valid, tetapi menunjukkan bahwa mereka telah memberikan algoritma tanpa bukti (seperti yang dimiliki Jayadeva dan Bhaskara, meskipun Fermat tidak mengetahui hal ini). Dia menyatakan bahwa bukti dapat ditemukan dengan keturunan yang tak terbatas.
 Fermat dinyatakan dan dibuktikan (dengan keturunan tak terbatas) di lampiran Pengamatan Diophantus (Obs. XLV) that  tidak memiliki solusi non-sepele dalam bilangan bulat. Fermat juga mengatakan kepada korespondennya itu  tidak memiliki solusi non-sepele, dan ini juga dapat dibuktikan dengan penurunan tak terbatas. Bukti pertama yang diketahui adalah karena Euler (1753; memang dengan keturunan tak terbatas).
 Fermat menyatakan ("Teorema terakhir Fermat") telah menunjukkan bahwa tidak ada solusi untuk  for all ; klaim ini muncul dalam penjelasannya di pinggir salinan Diophantus miliknya.

Euler

Ketertarikan Leonhard Euler (1707–1783) pada teori bilangan pertama kali didorong pada tahun 1729, ketika seorang temannya, seorang amatirUp hingga paruh kedua abad ketujuh belas, posisi akademis sangat langka, dan sebagian besar matematikawan dan ilmuwan mencari nafkah dengan cara lain . (Sudah ada beberapa fitur yang dapat dikenali dari praktik profesional, yaitu mencari koresponden, mengunjungi kolega asing, membangun perpustakaan pribadi . Masalah mulai bergeser pada akhir abad ke-17 ; akademi ilmiah didirikan di Inggris (Royal Society, 1662) dan Prancis (Académie des sciences, 1666) dan Rusia (1724). Euler ditawari posisi terakhir ini pada tahun 1726; dia menerimanya, tiba di St. Petersburg pada 1727 ( dan
).
Dalam konteks ini, istilah amatir yang biasanya diterapkan pada Goldbach didefinisikan dengan baik dan masuk akal: ia digambarkan sebagai sastrawan yang mencari nafkah sebagai mata-mata. ; cited in ). Perhatikan, bagaimanapun, bahwa Goldbach menerbitkan beberapa karya tentang matematika dan terkadang memegang posisi akademis. Goldbach, mengarahkannya ke beberapa karya Fermat tentang masalah ini. Ini disebut "kelahiran kembali" dari teori bilangan modern, setelah Fermat relatif kurang sukses dalam menarik perhatian orang-orang sezamannya untuk subjek tersebut. dan  Karya Euler tentang teori bilangan meliputi yang berikut ini: and Bukti untuk pernyataan Fermat. Ini termasuk teorema kecil Fermat (digeneralisasikan oleh Euler ke modulus non-prima); fakta bahwa  jika dan hanya jika ; pekerjaan awal menuju bukti bahwa setiap bilangan bulat adalah jumlah dari empat kotak (bukti lengkap pertama adalah oleh Joseph-Louis Lagrange (1770), segera diperbaiki oleh Euler sendiri); kurangnya solusi integer bukan nol ke  (menyiratkan kasus n=4 dari teorema terakhir Fermat, kasus n=3 yang juga dibuktikan oleh Euler dengan metode terkait).Persamaan Pell, pertama kali salah diberi nama oleh Euler.. Euler murah hati dalam memberikan penghargaan kepada orang lain , tidak selalu benar. Dia menulis tentang hubungan antara pecahan lanjutan dan persamaan Pell.Langkah pertama menuju teori bilangan analitik. Dalam karyanya tentang penjumlahan empat kotak, partisi, bilangan pentagonal, dan distribusi bilangan prima, Euler memelopori penggunaan apa yang dapat dilihat sebagai analisis (khususnya, deret tak hingga) dalam teori bilangan. Karena dia hidup sebelum pengembangan analisis kompleks, sebagian besar karyanya dibatasi pada manipulasi formal deret pangkat. Dia melakukannya, bagaimanapun, melakukan beberapa pekerjaan awal yang sangat penting (meskipun tidak sepenuhnya ketat) tentang apa yang kemudian akan disebut fungsi Riemann zeta.; see also chapter III.Bentuk kuadrat. Mengikuti arahan Fermat, Euler melakukan penelitian lebih lanjut tentang pertanyaan bilangan prima mana yang dapat diekspresikan dalam bentuk , beberapa di antaranya menggambarkan timbal balik kuadrat. Persamaan Diophantine. Euler mengerjakan beberapa persamaan Diophantine dari genus 0 dan 1. Secara khusus, dia mempelajari karya Diophantus; dia mencoba untuk mensistematisasikannya, tetapi waktunya belum tepat untuk usaha seperti geometri aljabar yang masih dalam tahap awal. Dia melihat ada hubungan antara masalah Diophantine dan integral elips, yang studinya telah dia mulai sendiri.

Lagrange, Legendre, dan Gauss

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) adalah orang pertama yang memberikan bukti penuh dari beberapa karya dan pengamatan Fermat dan Euler contohnya, teorema empat persegi dan teori dasar dari "persamaan Pell" yang salah nama (yang solusi algoritmiknya ditemukan oleh Fermat dan orang-orang sezamannya, dan juga oleh Jayadeva dan Bhaskara II sebelum mereka.) Dia juga mempelajari bentuk kuadrat secara umum penuh (sebagai lawan ) mendefinisikan relasi ekivalennya, menunjukkan bagaimana meletakkannya dalam bentuk tereduksi, dll.

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) adalah orang pertama yang menyatakan hukum timbal balik kuadrat. Dia juga
menebak berapa jumlah teorema bilangan prima dan teorema Dirichlet tentang perkembangan aritmetika. Dia memberikan perlakuan penuh persamaan  dan mengerjakan bentuk-bentuk kuadrat di sepanjang garis yang kemudian dikembangkan sepenuhnya oleh Gauss. Di usia tuanya, dia adalah orang pertama yang membuktikan "teorema terakhir Fermat"  (menyelesaikan pekerjaan oleh Peter Gustav Lejeune Dirichlet, dan memuji dia dan Sophie Germain).


Kedewasaan dan pembagian menjadi subbidang

Mulai awal abad kesembilan belas, perkembangan berikut secara bertahap terjadi:

 Kebangkitan kesadaran diri teori bilangan (atau  aritmetika yang lebih tinggi ) sebagai bidang studi.Lihat pembahasan di bagian 5 dari . Tanda-tanda awal kesadaran diri sudah ada dalam surat-surat oleh Fermat: demikian komentarnya tentang apa itu teori bilangan, dan bagaimana "karya Diophantus [...] tidak benar-benar menjadi milik [it] "(dikutip dalam ).
 Perkembangan banyak matematika modern yang diperlukan untuk teori bilangan modern dasar: analisis kompleks, teori grup, teori Galois - disertai dengan ketelitian yang lebih besar dalam analisis dan aljaber abstrak.
 Pembagian kasar teori bilangan ke dalam subbidang modernnya — khususnya, analitik dan teori bilangan aljabar.

Teori bilangan aljabar dapat dikatakan dimulai dengan studi timbal balik dan siklotomi, tetapi benar-benar muncul dengan perkembangan aljabar abstrak dan cita-cita awal; Lihat di bawah. Titik awal konvensional untuk teori bilangan analitik adalah Teorema Dirichlet tentang progresi aritmetika (1837),  yang buktinya memperkenalkan L-functions dan melibatkan beberapa analisis asimtotik dan proses pembatas pada variabel nyata.

Bagian divisi utama
Teori bilangan dasar
Istilah elemen dasar biasanya menampakkan metode yang bukan menggunakan analisis kompleks. Misalnya, teorema bilangan prima pertama kali dibuktikan menggunakan analisis kompleks pada tahun 1896, tetapi bukti dasar baru ditemukan pada tahun 1949 oleh Erdős dan Selberg. Istilah ini sedikit ambigu: misal, bukti berdasarkan teorema Tauberian kompleks (misalnya, Wiener–Ikehara) merupakan pencerahan yang tidak cukup mendasar meskipun menggunakan analisis Fourier, dibandingkan analisis kompleks seperti itu. Ini seperti penempatan berbeda, bukti "dasar" mungkin lebih panjang dan lebih sulit bagi sebagian besar pembaca dibanding bukti non-dasar.


Teori bilangan memiliki reputasi sebagai bidang yang banyak hasilnya pula bisa dinyatakan kepada orang awam. Pada saat yang sama, bukti dari hasil ini tidak dapat diakses secara khusus, sebagian karena jangkauan alat yang mereka gunakan, jika ada maka sangat luas dalam matematika.Lihat, contohnya, di komentar awal .

Teori bilangan analitik


 Dalam hal beberapa alatnya, sebagai studi tentang bilangan bulat melalui alat dari riil dan analisis kompleks;
 Dalam hal keprihatinannya, sebagai studi dalam teori bilangan perkiraan ukuran dan kepadatan, sebagai lawan dari identitas.: "Perbedaan utamanya adalah bahwa dalam teori bilangan aljabar [...] hanya beberapa biasanya mempertimbangkan pertanyaan dengan jawaban yang diberikan oleh rumus eksak, sedangkan dalam teori bilangan analitik [...] beberapa mencari hampiran baik."

Beberapa subjek umumnya menganggap sebagai bagian dari teori bilangan analitik, misalnya, teori tapis,Tokoh teori tapis sebagai salah satu bagian bidang utama teori bilangan analitik dalam banyak perlakuan standar; misalnya,  atau  lebih baik dicakup oleh definisi kedua dibanding definisi pertama: beberapa teori tapis, misalnya, menggunakan sedikit analisis,Ini adalah kasus untuk tapis kecil (khususnya, beberapa tapis kombinatorial seperti tapis Brun) dibanding untuk tapis besar; studi yang terakhir sekarang mencakup gagasan dari harmonik dan analisis fungsional. tetapi itu dimiliki teori bilangan analitik.

Berikut ini adalah contoh soal dalam teori bilangan analitik: teorema bilangan prima, konjektur Goldbach (atau konjektur bilangan prima kembar, atau konjektur Hardy–Littlewood), masalah Waring dan hipotesis Riemann. Beberapa alat paling penting dari teori bilangan analitik adalah metode lingkaran, metode tapis dan fungsi-L (atau lebih tepatnya, mempelajari beberapa sifatnya). Teori bentuk modular (dan, secara umum, bentuk automorfik) juga menempati bagian yang semakin sentral dalam kotak peralatan teori bilangan analitik.Lihat komentar di pengantar : "Namun jauh lebih kuat ...".

Beberapa dapat mengajukan pertanyaan analitik tentang bilangan aljabar, dan menggunakan sarana analitik untuk menjawab pertanyaan semacam itu; dengan demikian teori bilangan aljabar dan analitik irisan. Misalnya, seseorang bisa mendefinisikan ideal prima (generalisasi dari bilangan prima pada medan bilangan aljabar) dan menanyakan berapa banyak ideal prima yang ada hingga ukuran tertentu. Pertanyaan ini bisa dijawab melalui pemeriksaan fungsi zeta Dedekind, yang merupakan generalisasi dari fungsi Riemann zeta, objek analitik kunci pada akar subjek.: "[Riemann] mendefinisikan apa yang sekarang kita sebut fungsi Riemann zeta [...] karya mendalam Riemann melahirkan subjek kita [...]" Ini adalah contoh prosedur umum dalam teori bilangan analitik: mendapatkan informasi tentang distribusi urutan (ideal prima atau bilangan prima) dari perilaku analitik dari fungsi bernilai kompleks yang dibangun dengan tepat.Lihat, contohnya, , hal. 1.

Lihat pula
 Bidang fungsi aljabar
 Bidang terbatas
 Bilangan p-adic

Catatan

Referensi

Sumber



  (Subscription needed)

  1968 edition at archive.org








































  Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
  For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
  This Google books preview of Elements of algebra'' lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:









Pranala luar


 Number Theory entry in the Encyclopedia of Mathematics
 Number Theory Web