Faktor persekutuan terbesar

Dalam matematika, faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang sama-sama membagi habis kedua bilangan bulat tersebut. Sebagai contoh, faktor persekutuan terbesar 24 dan 60 adalah 12.

Dua bilangan atau lebih disebut saling prima jika FPB bilangan-bilangan tersebut sama dengan 1. Sebagai contoh, karena FPB bilangan 9 dan 28 sama dengan 1, maka bilangan 9 dan 28 adalah saling prima (walaupun masing-masingnya bukan bilangan prima)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dan sekawannya, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), menjadi pembahasan yang penting dalam aritmetika dan teori bilangan.

 Definisi 
Suatu bilangan  disebut faktor persekutuan bilangan  dan  jika  habis membagi bilangan  dan  sekaligus.

Suatu bilangan  disebut faktor persekutuan terbesar bilangan jika:

  faktor persekutuan bilangan  dan ; dan
 jika  faktor persekutuan bilangan  dan  maka berlaku 

bilangan  ditulis sebagai  atau .

 Peristilahan 
Secara bahasa, kata "persekutuan" berarti hal bersama-sama dan kata "faktor" berarti 'pembagi'. Maka dari itu, sebagian penulis menggunakan istilah lain untuk FPB, seperti pembagi persekutuan terbesar, atau pembagi bersama terbesar, dilambangkan dengan . Dalam penulisan matematika kadang dipakai juga notasi , berasal dari bahasa Inggris greatest common divisor.

 Contoh 

 Faktor dari  adalah 
 Faktor dari  adalah 

Faktor persekutuan 12 dan 20 adalah 1, 2, 4. Karena 4 adalah bilangan terbesar di antara faktor persekutuan itu, maka disimpulkan .

 Perhitungan FPB 

 Faktorisasi prima 
FPB dari beberapa bilangan dapat ditentukan dengan mencari faktorisasi prima bilangan-bilangan itu kemudian mengalikan faktor-faktor primanya yang sama dengan pangkat terkecil. Sebagai contoh, akan ditentukan FPB dari 24 dan 60. Dengan pohon faktor

nirbing|190x190pxnirbing|190x190px

diperoleh  dan . Dengan mengambil faktor prima yang sama dengan pangkat maka, .

 Algoritma Euklides 

Euclid menemukan sebuah algoritma untuk mencari FPB. Misalkan  dan  adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka FPB dua bilangan itu dapat dicari dengan algorirma sebagai berikut:1. masukkan nilai a dan b;
2. misalkan u:=a dan v:=b;
3. selama u ≠ v, ulangi
   u = maximum (u,v) - minimum (u,v)
   v = minimum (u,v);
4. FPB(a,b)=u;

 Sifat 
Untuk sebarang bilangan bulat , dengan  adalah nilai multak dari , berlaku:

 Sifat komutatif, yaitu .
 Sifat asosiatif, yaitu .
 Sifat distributif, yaitu 
 Jika  faktor persekutuan  dan , maka , dan , sehingga jika  maka 




 Untuk sebarang bilangan bulat positif ,  jika dan hanya jika  habis membagi .

 Koprima 

Dua buah bilangan dikatakan koprima, atau relatif prima, atau saling prima jika dan hanya jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut bernilai 1.
 Penerapan 
 Menyederhanakan pecahan 
Salah satu penerapan terhadap faktor persekutuan terbesar adalah menyederhanakan pecahan. Sebagai contoh, pecahan  dapat disederhanakan dengan menggunakan faktor persekutuan terbesar. Faktor persekutuan terbesar dari  dan  adalah . Kita tuliskan sebagai

 .

 Kelipatan persekutuan terkecil 

Selain digunakan untuk menyederhanakan sebuah pecahan, faktor persekutuan terbesar juga dapat diterapkan dalam kelipatan persekutuan terkecil, di mana hubungan keduanya berkaitan dengan rumus berikut..

 Lihat pula 
 Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)
 Rujukan 

Kategori:Matematika