Irisan kerucut

Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan Hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM.

 Geometri 
ka|450px|jmpl|Geometri irisan kerucut dan jenis-jenisnya
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

 Jenis-jenis irisan kerucut 
jmpl|Potongan kerucut, Elips
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.

 Kasus degenerasi 
Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut tetapi tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.

 Geometri analitis 
Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:

ka|jmpl|280px|Eksentrisitas adalah rasio antara FP dan P'P.Elips (e = 1/2), parabola (e = 1) dan hiperbola (e = 2) dengan fokus (F) dan direktriks yang tetap.
Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, 0 < e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.

 Koordinat Kartesius 
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.

Jika terdapat persamaan dengan bentuk:

maka:
 Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
 Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips.
 Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
 Jika a = b dan h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
 Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

 Bentuk persamaan umum 
Bentuk persamaan umum sebagai berikut:

kesimpulan:
 Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear
 Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat
 Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran
 Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips
 Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

 Sekilas irisan kerucut 
 Garis lurus

 Titik pusat (0,0): 
 Titik pusat (h,k): 
 Bergradien  (satu titik) dan  (dua titik)
 Dua titik: 
 Sejajar:  
 Tegak lurus: 
 Berpotongan: 
 Lingkaran
 Titik pusat (0,0): 
 Titik pusat (h,k): 

dengan  maka 

 Parabola

  Vertikal  Horisontal  Titik pusat (0,0) Persamaan     Sumbu simetri  sumbu y  sumbu x Fokus     Direktris      Titik pusat (h,k) Persamaan     Sumbu simetri     Fokus     Direktris    

 Elips
  Vertikal  Horisontal  Titik pusat (0,0) Persamaan      Panjang sumbu mayor     Panjang sumbu minor     Panjang Latus Rectum     Fokus     Puncak     Direktris     Eksentrisitas      Titik pusat (h,k) Persamaan      Panjang sumbu mayor     Panjang sumbu minor     Panjang Latus Rectum     Fokus     Puncak     Direktris     Eksentrisitas    

dimana 

 Hiperbola
  Vertikal  Horisontal  Titik pusat (0,0) Persamaan      Panjang sumbu mayor     Panjang sumbu minor     Panjang Latus Rectum     Fokus     Puncak     Asimtot     Eksentrisitas      Titik pusat (h,k) Persamaan      Panjang sumbu mayor     Panjang sumbu minor     Panjang Latus Rectum     Fokus     Puncak     Asimtot     Eksentrisitas    

dimana 

 Persamaan garis singgung 
 bergradien  ()
  Vertikal  Horisontal  Titik pusat (0,0) Lingkaran   Parabola     Elips     Hiperbola      Titik pusat (h,k) Lingkaran   Parabala     Elips     Hiperbola    

 jika persamaan garis lurus bergradien sejajar maka 
 jika persamaan garis lurus bergradien tegak lurus maka 

 melalui titik 
dengan cara bagi adil
  Vertikal  Horisontal  Titik pusat (0,0) Lingkaran    Parabola     Elips      Hiperbola       Titik pusat (h,k) Lingkaran   atau  Parabola     Elips      Hiperbola     

 jika titik  berada di dalam bentuknya maka ada 1 persamaan garis singgung (1 langkah).
 jika titik  berada di luar bentuknya maka ada 2 persamaan garis singgung (2 langkah).

Contoh:
 Umum
 Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan  dan melalui titik potong antara garis  dan !
jawab:
 cari gradien yang sejajar dengan  yaitu m = 4.
 cari x dan y dengan cara eliminasi dari  dan  yaitu x = 1 dan y = 5.
 masukkan persamaannya menjadi y - 5 = 4 (x - 1). 
 maka hasil persamaannya adalah y = 4x + 1.

 Titik pusat (0,0)
 Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 2 terhadap !
jawab:



 Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (4,8) terhadap !
jawab:

 (dalam)
dengan cara bagi adil

 (dibagi 8)

 Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,5) terhadap !
jawab:

 (luar)
dengan cara bagi adil

masukkan lah 

 (dibagi 16/25)

maka kita mencari nilai x

 atau 

maka kita mencari nilai y
 untuk 

jadi 

 untuk 

jadi 

kembali dengan cara bagi adil
 untuk persamaan singgung pertama

 untuk persamaan singgung kedua

 Titik pusat (h,k)
 Tentukan persamaan garis singgung  melalui persamaan yang tegak lurus !
jawab:
ubah ke bentuk sederhana

cari gradien persamaan 

gradien () = 2 karena tegak lurus menjadi 

cari 

 Tentukan persamaan garis singgung  yang berordinat 6!
jawab:
ubah ke bentuk sederhana

cari absis dimana ordinat 6

dengan cara bagi adil

 Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (1,6) terhadap !
ubah ke bentuk sederhana

 (luar)
dengan cara bagi adil

masukkan lah 

 (dibagi 8/9)

maka kita mencari nilai x

 atau 

maka kita mencari nilai y
 untuk 

jadi 

 untuk 

jadi 

kembali dengan cara bagi adil
 untuk persamaan singgung pertama

 (dibagi 4)

 untuk persamaan singgung kedua

 (dibagi 2)

 Referensi 


Kategori:Geometri