Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմ

Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմ (), Համակարգչային գիտության մեջ ալգորիթմ, որը որպես մուտք վերցնում է երկչափանի գրաֆը և արտադրում որպես թողարկման առավելագույն համապատասխան հզորությունը – ամենաշատ հնարավոր եզրերի սահմանումը այն հատկությամբ, որ ոչ մի երկու եզր չեն կիսում վերջնակետը։ Այն վատագույն դեպքում աշխատում է O(m√n) ժամանակում, որտեղ "O" վերաբերում է մեծ O նշումին, m-ը գրաֆում եզրերի թիվն է, և n-ը գրաֆի գագաթների թիվն է։ Խիտ գրաֆիդեպքում ժամանակային սահմանը դառնում է O(n5/2), և պատահական գրաֆի համար այն աշխատում է մոտավորապես գծային ժամանակում։

Ալգորիթմը հայտնաբերվել է Ջոն Հապքրոֆթի և Ռիչարդ Կարպի կողմից 1973 թվականին։ Ինչպես և նախորդ համապատասխանեցնող մեթոդներում, ինչպիսին Հունգարական ալգորիթմը և  աշխատանքն է, Հապքրոֆթ-Կարպ ալգորիթմը բազմակի անգամ շատացնում է մասնակի համապատասխանեցումների չափը մեծացման ճանապարհ գտնելու միջոցով։ Ինչևէ, յուրաքանչյուր բազմակրկնություն մեծացման ճանապարհ գտնելու փոխարեն, ալգորիթմը գտնում են մի շարք առավելագույն սեղմ մեծացման ճանապարհներ։ Որպես արդյունք միայն O(√n) բազմակրկնություններ են անհրաժեշտ։ Նույն սկզբունքն է օգտագործվել ավելի բարդ ալգորիթմեր զարգացնելու նպատակով ոչ երկչափ համապատասխանությունների համար նույն ասիմտոտիկ աշխատաժամանակով ինչպիսին  Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմն է։

 Մեծացման ուղիներ 
Գագաթը, որը չի հանդիսանում սահմանի վերջնակետ որոշ մասնակի համապատասխանող M-երի համար, անվանվում է ազատ գագաթ։ Հիմնական գաղափարը, որի վրա հիմնվա է ալգորիթմը այն է, որ մեծացման ուղինեը, ուղին, որը սկսվում է ազատ գագաթից, վերջանում է ազատ գագաթում, և միմյանց են հաջորդում չգերազանցված և համապատասխան ճանապարհի եզրերը։ Եթե M-ը n-ի համապատասխան չափն է, և P-ն հանդիսանում է մեծացման չափը M-ի համար, ապա սիմետրիկ տարբերությունըերկու եզրերի միջ, M ⊕ P, կստեղծեն համապատասխան n + 1 չափ։ Ուստի, մեծացման ուղիները փնտրելով, ալգորիթմը կարող է մեծացնել համապատասխանությունների չափը։

Եվ ընդհակառակը, ենթադրենք, որ համապատասխան M-ը օպտիմալ չէ, և թող P-ն լինի  M ⊕ M*սիմետրիկ տարբերությունը, որտեղ M*-ը օպտիմալ համապատասխանուրյունն է։Այսպիսով P-ն պետք է ձևավորի հավաքածու առանձնացված մեծացման ուղիներից և շրջաններից կամ ուղիներից, որտեղ համապատասխան ու անհամապատասխան եզրերը հավասար թվով են. չափերի տարբերությունը M և M*-ի միջև P-ում ուղիների ավելացումների թիվն և։ Ուստր, եթե ոչ մի մեծացման ճանապարհ չի գտնվում, ապա ալգորիթմը ապահով դադարեցվում է, քանի որ այս դեպքում Mպետք է լինի օպտիմալ։

Համապատասխանող խնդրի մեծացման ճանապարհը սերտորեն կապված է մեծացմանճանապարհների հետ, որը բխում է առավելագույն հոսքի խնդիրից, ճանապարհներ, որոնց երկայնքով կարելի է ավելացնել հոսքի գումարը հոսքի տերմինալների միջև։ Հնարավոր է փոխակերպել երկչափ համապատասխան խնդիրը առավելագույն հոսքի առանձին դեպքի, այնպես որ համապատասխանման խնդրի միմյանց հաջորդող ուղիները դառնում են հոսքերի խնդրի մեծացման ճանապարհ, section 12.3, bipartite cardinality matching problem, pp. 469–470.։ Ի դեպ, տեխնիկայի ընդհանրացումը, որը օգտագործվում է Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմում կամայական հոսքի ցանցերի համար հայտնի է որպես Դենիսի ալգորիթմ։

 Ալգորիթմ 
Ենթադրենք U-ն և V-ն երկու մասի բաժանված G-ի երկու հավաքածուներ են, և U-ի համապատասխանությունը V-ի հետ ցանկացած ժամանակ ներկայացված է որպես M-ի սահմանում։

Ալգորիթմը կատարվում է փուլերով։ Յուրաքանչյուր փուլ բաղկացած է հետևյալ քայլներց.
 Առաջինը ամենալայնի որոնումը փոխում է գրաֆի սյուները տողերով։ Uում ազատ սյուները օգտագործվում են որպես փնտրման սկզբնական սյուներ, և ձևավորում է փոփոխված առաջին տողը։  Փնտրման առաջին մակարդակում, միայն իրարից տարբեր եզրեր կարող են տեղաշարժվել(քանի որ U-ի ազատ սյուները ըստ սահմանման չեն դրան կարող կցվել որևէ համապատասխան եզրի); փնտրման հաջորդ մակարդակներում, փոփոխված եզրերը պահանջում են իրար համապատասխան և անամապատասխան հաջորդականություն։ Այսպիսով, երբ փնտրում ենք իրավահաջորդներ U-ի սյուներից, ապա միայն անհամապատասխան եզրերը կարող են փոխարինվել, մինչդեռ V-ի սյուներից միայն համապատասխան եզրերը կարող են փոխարինվել։ Որոնումը դադարում է k-ի առաջին տողում, որտեղ V-ում մի կամ ավելի ազատ սյուների են հասնում։
 Բոլոր ազատ սյուները V-ում k տողով հավաքված են F հավաքածույում։ Այսինքն, v սյունը դրվում է F-ում, միայն և միայն այն դեպքում, եթե այն ավարտվում է ամենակարճ արգումենտի ճանապարհով։ 
 Ալգորիթմը գտնում է խաչվող գագաթների առավելագույն հավաքածուն k լայնությամբ արգումենտի ուղիներում։ Այս հավաքածուն կարող է հաշվարկվել առաջինը ըստ խորության որոնում միջոցով F-ից դեպի U-ի ազատ սյուներ, որոնումը առաջնորդելու համար ագտագործելով լայնություն առաջին շերտը. առաջինը ըստ խորության որոնումը թույատրվում է միայն եզրերը կենտրոնացնելու համար, որը հանգեցնում է նախորդ շերտում չօգտագործված սյան, և ուղիները առաջինը ըստ խորության որոնուման ծառում պետք է միմյանց հաջորդեն համապատասխան և անամապատասխան եզրերը։ Հենց որ արգումենտի ճանապարհը գտնվում է, որը ներառում է F-ի մի որևէ սյուն, առաջինը ըստ խորության որոնումը շարունակվում է հաջորդ սյունից։
 Այս ճանապարհով գտնված յուրաքանչյուր ուղի օգտագործվում է M-ը մեծացնելու համար։

Ալգորիթմը դադարում է, երբ էլ ոչ մի մեծացման ճանապարհներ չեն գտնվում առաջինը ըստ խորության որոնուման ժամանակ առաջին փուլում։

 Վերլուծություն 
Ամեն փուլը բաղկացած է պարզ առաջինը ամենալայնի և առաջինը ամենախորի որոնումից։ Այսպիսով մեկ փուլը կարող է իրականացվել գծային ժամանակահատվածի ընթացքում։

Այս եղանակով, առաջին √n փուլը, գրաֆում n բարձրությունների և m եզրերի հետ, պահանջում է O(m √n) ժամանակահատված։

Կարելի է ցույց տալ, որ յուրաքանչյուր փուլը, մեծացնում է ամենակարճ արգումենտի ճանապարհի երկարությունը առնվազն մեկով։ Փուլը գտնում է տվյալ երկարությամբ արգումենտի ճանապարհի մաքսիմալ շարքը, այնպես որ մնացած ճանապարհները պետք է լինեն ավելի երկար։ Այդ պատճառով էլ ալգորիթմի √n սկզբնական փուլը ամբողջական է, հետևաբար մնացած ամենակարճ ճանապարհը պետք է լինի √n–ի եզրերը։ Այնուամենայնիվ սիմետրիկ տարբերություն հնարավոր օպտիմալ համաձայնության և գտնված M-ի սիմետրիկությունը, սկզբնական էտապում ձևավորում է բարձրությունների շարքը և ալտերնատիվ ցիկլերը։ Եթե այս շարքի յուրաքանչյուր ճանապարհի երկարությունը առնվազն √n է, ապա հավաքածուի մեջ կարող է լինել √m և օպտիմալ համաձայնության չաթը կարող է տարբերվել M-ի չափերից ոչ ավել √n –ի եզրերից։ Ալգորիթմի յուրաքանչյուր էտապից հետո մեծանում է համապատասխանությունների թիվը։ Քանի որ ալգորիթմը ընդհանուր առմամբ կատարում է 2√n փուլը, այն պահանջում է O(m √n) ընդհանուր ժամանակահատված վատագույն դեպքում։ Օրինակ միջին դեպքում նոսր երկկողմանի պատահական գրաֆները (բարելավելով իր նախորդ արդյունքները Motwani 1994 թ.) ցույց տվեցին, որ ամենայն հավանականությամբ բոլոր ոչ-օպտիմալ համապատասխանեցումները եղել են լոգարիթմական երկարությունների ավելանալու ճանապարհին։ Որպես հետևանք, այս գրաֆներում, Հապսրոֆտ-Կառպի ալգորիթմը պահանջում է O(log n) փուլեր և O(m log n) ընդհանուր ժամանակահատված։

 Համեմատություն այլ երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմների հետ 
Նոսր գրաֆների համար, Հապսրոֆտ-Կառպ ալգորիթմը շարունակում է  ունենալ ամենահայտնի 'վատագույն դեպքի' կատարումը, բայց խիտ գրաֆների համար օգտագործում է ավելի ժամանակակից ալգորիթմ -ի կողմից հասնելով փոքր - ինչ ավելի լավ ժամանակի սահմանապակում O(n1.5(m/log n)0.5)։ Նրանց ալգորիթմը հիմնված է հրման-վերապիտակավորման առավելագույն հոսքի ալգորիթմի օգտագործման վրա և հետո, երբ այս ալգորիթմի ստեղծած համապատասղանեցումը մոտենում է օպտիմալ սահմանին, անցում է կատարվում Հապսրոֆտ-Կառպի եղանակին։

Մի շարք հեղինակներ հանդես են եկել երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմների փորձարարական համեմատություններով։ Դրանց արդյունքները ընդհանուր առմամբ հակված են ցույց տալու, որ Հապսրոֆտ-Կառպի եղանակը գործնականում այնքան լավը չէ, ինչքան տեսականորեն. այն գերազանցված է ինչպես պարզ առաջինը ամենալայնի և առաջինը ամենախորի ռազմավարություններով արգումենտի ճանապարհներ գտնելու հարցում, և հրման-վերապիտակավորման տեխնիկայով; ; ; .։

 Ոչ երկչափ գրաֆներ 
Ամենակարճ արգումենտի ուղիների առավելագույն շարքը գտնելու նույն գաղափարը աշխատում է նաև ոչ երկչափ գրաֆներում առավելագույն արտադրողական համապատասխանությունների փնտրման ժամանակ, և նույն պատճառներով էլ ալգորիթմը, որը հիմնված է այս մտքի վրա վերցնում է O(√n) փուլերը։ Ինչևէ, ոչ երկչափ գրաֆների համար, յուրաքանչյուր փուլում արգումենտի ճանապարհ գտնելու խնդիրը ավելի դժվար է։ Հիմնվելով մի քանի դանդաղ նախորդների աշխատանքի վրա,  ցույց տվեց, թե ինչպես պետք է իրականացնել փուլերը գծային ժամանակում, որի արդյունքում կառուցվում է ոչ երկչափ համապատասխանեցված ալգորիթմը, նույն սահմանված ժամանակուն ինչպես որ Հապսրոֆտ-Կառպի ալգորիթմը երկչափ գրաֆների համար։ Micali–Vazirani-ի տեխնիկան բարդ է, և նրա հեղինակները չեն ապահովում իրենց արդյունքների լրիվ ապացույցներ. այս խնդրի այլընտրանքային մեթոդը ավելի ուշ բացատրվել է այլ հեղինակների կողմից and .։

 Կեղծ կոդ 
/*
  G = G1 G2 {NIL}
where G1 and G2 are partition of graph and NIL is a special null vertex
 */

 function BFS ()
   for v in G1
     if Pair_G1[v] == NIL
       Dist[v] = 0
       Enqueue(Q,v)
     else
       Dist[v] = ∞
   Dist[NIL] = ∞
   while Empty(Q) == false
     v = Dequeue(Q)
     for each u in Adj[v]
       if Dist[ Pair_G2[u] ] == ∞
         Dist[ Pair_G2[u] ] = Dist[v] + 1
         Enqueue(Q,Pair_G2[u])
   return Dist[NIL] != ∞

 function DFS (v)
   if v != NIL
     for each u in Adj[v]
       if Dist[ Pair_G2[u] ] == Dist[v] + 1
         if DFS(Pair_G2[u]) == true
           Pair_G2[u] = v
           Pair_G1[v] = u
           return true
     Dist[v] = ∞
     return false
   return true

 function Hopcroft-Karp
   for each v in G
     Pair_G1[v] = NIL
     Pair_G2[v] = NIL
   matching = 0
   while BFS() == true
     for each v in G1
       if Pair_G1[v] == NIL
         if DFS(v) == true
           matching = matching + 1
   return matching

 Նշումներ 

 Մանրամասներ 
.
.
.
.
. As cited by .
. As cited by .
.
 .
 .
 .
 .
 . As cited by .
 .

Կատեգորիա:Գրաֆների ալգորիթմներ