Պյութագորասի թեորեմ

ուղիղ անկյանը կից a և b կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է c ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։
Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։ 
Թեորեմը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ՝ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։  Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը՝ ուղիղ անկյան կից կողմերը։

Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան  էջերի և  ներքնաձիգի միջև եղած կապը՝

Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570 թ. - մ.թ.ա. 495 թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը և ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ՝ ավելի շատ, քան որևէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ
 Նման եռանկյունների մեթոդ 
աջից|80px‎
Դիցուք ABC եռանկյան համար

ստացանք

ինչը համարժեք է

Գումարելով կստանանք

կամ
 , ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

 Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ 
Կոսինուսների թեորեմը երբեմն  անվանում են Պյութագորասի ընդհանրացված թեորեմ։ Այս անվանումը պայմանավորված է նրանով, որ կոսինուսների թեորեմը իր մեջ ներառում է նաև Պյութագորասի թեորեմը՝ որպես մասնավոր դեպք։ Իրոք, եթե  եռանկյան  անկյունը ուղիղ է, ապա : Կոսինուսների թեորեմով կստացվի՝ , որտեղից էլ :

Օգտվելով թեորեմից՝ կարելի է պարզել նաև եռանկյան տեսակը՝ սուրանկյուն, ուղղանկյուն կամ բութանկյուն։ Մասնավորապես, եթե
 , ապա եռանկյունը ուղղանկյուն է,
 , ապա եռանկյունը սուրանկյուն է,
 , ապա եռանկյունը բութանկյուն է։ Ընդ որում :

 Վերադասավորումներով ապացույց 
{|
| մինի|240px|աջից|Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով։
Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի և այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը՝ մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։
Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։
Վերևի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ և կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով՝ ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքևի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։ 
Ճիշտ է նաև հակառակը՝ ներքևի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերևի երկու քառակուսիների մեջ։

 Պյութագորասի թվեր 
Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասյան թվեր։ Այսինքն՝ դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։
Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 և 5 թվերի շարքը, քանի որ՝ ։
Դրան հաջորդող եռյակներն են՝
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25;
20, 21, 29;
21, 28, 35;
12, 35, 37;
9, 40, 41....

 Ծանոթագրություններ 

Արտաքին հղումներ

 Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)

Կատեգորիա:Հավասարումներ
Կատեգորիա:Եռանկյուններ
Կատեգորիա:Ապացույց պարունակող հոդվածներ
Կատեգորիա:Էվկլիդեսյան երկրաչափության թեորեմներ
Կատեգորիա:Մաթեմատիկա
Կատեգորիա:Երկրաչափություն
Կատեգորիա:Երկրաչափական ալգորիթմներ