हिन्दू गणना के सिद्धान्त

हिन्दू गणना के सिद्धान्त (अरबी: كتاب في أصول حساب الهند, किताब फ़ी उसूल हिसाब अल-हिन्द; अंग्रेज़ी: Principles of Hindu Reckoning) १०वीं और ११वीं सदी के फ़ारसी गणितज्ञ कुशयार इब्न लब्बान द्वारा लिखित एक गणित की पुस्तक है। हिन्दू-अरबी अंकों (० १ २ ३ ४ ५ ६ ७ ८ ९) का प्रयोग करने वाली हिन्दू अंकगणित पर अरबी में उपलब्ध यह दूसरी सबसे पुरानी पुस्तक है, जिससे पहले ९५२ में अबुल अल-हसन अहमद इब्न इब्राहिम अल-उक्लिदिसी द्वारा लिखित पुस्तक अल-फ़ुसुल फ़ी अल-हिसाब अल-हिन्दी (अरबी: كتاب الفصول في الحساب الهندी) आती है।

यद्यपि मुहम्मद बिन मूसा अल-ख़्वारिज़्मी ने भी ८२५ में हिन्दू अंकगणित पर एक पुस्तक लिखी थी, पर उसका मूल अरबी संस्करण खो गया है और केवल इसका १२वीं सदी का अनुवाद ही उपलब्ध है। अपने आरम्भिक वाक्य में, इब्न लब्बान अपनी पुस्तक को हिन्दू अंकगणित के सिद्धान्तों पर आधारित बताते हैं। हिन्दू गणना के सिद्धान्त भारत में १०वीं और ११वीं सदी में हिन्दू गणना के लिए विदेशी स्रोतों में से एक थे। इसका अनुवाद मार्टिन लेवे और मार्विन पेट्रक द्वारा १९६३ में उस समय उपलब्ध एकमात्र अरबी पाण्डुलिपि - इस्तांबुल, आया सोफ़िया पुस्तकालय, एमएस ४८५७ - और शालोम बेन जोसेफ अनाबी द्वारा लिखित एक हिब्रू अनुवाद और टीका के आधार पर अंग्रेज़ी में किया गया था।

 भारतीय धूलि-पट्ट 
हिन्दू अंकगणित एक धूलि-पट्ट पर किया जाता था, जो चीनी गणना पट्ट के समान होता था। धूलि-पट्ट एक सपाट सतह होती है जिस पर रेत की एक परत होती है और उस पर जाली की लाइनें बनी होती हैं। चीनी गणना-छड़ अंकों के ही समान, रेत के पट्ट पर जाली में एक रिक्त स्थान शून्य को दर्शाता था और शून्य चिह्न की आवश्यकता नहीं होती थी। अंकों को हटाने और पुनः लिखने की प्रक्रिया गणना पट्ट से भिन्न थी।George Ifrah, The Universal History of Numbers, p. 554.

 विषय-वस्तु 
वर्तमान में केवल एक ही अरबी प्रति उपलब्ध है, जो अब इस्तांबुल के हागिया सोफिया पुस्तकालय में रखी गई है। ऑक्सफ़र्ड विश्वविद्यालय के बोडलियन पुस्तकालय में एक हिब्रू अनुवाद और टीका भी रखी हुई है। १९६५ में विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय प्रेस ने अरबी और हिब्रू दोनों संस्करणों के आधार पर मार्टिन लेवे और मार्विन पेट्रक द्वारा अनूदित इस पुस्तक का एक अंग्रेज़ी संस्करण प्रकाशित किया। इस अंग्रेजी अनुवाद में मूल अरबी पाठ की ३१ फैक्सिमाइल तस्वीरें शामिल थीं।

हिन्दू गणना के सिद्धान्त के दो भाग हैं, जो उनके समय में भारत में प्रचलित दो अंक प्रणालियों में अंकगणित से सम्बन्धित हैं।

 भाग १ मुख्यतः स्थानीय मान वाली हिन्दू-अंक प्रणाली में व्यवकलन, गुणन, भाग, वर्गमूल और घनमूल निकालने की दशमलव क्रियाविधि से सम्बद्ध था। हालाँकि, "आधा करने" के एक अनुभाग को भिन्न ढंग से, यानी दशमलव और षट्दशमलव अंक प्रणाली के मिश्रण के साथ प्रस्तुत किया गया था।

दशमलव हिन्दू क्रियाविधि और सुन्ज़ी सुआनजिंग में चीनी क्रियाविधि के बीच समानता चौंकाने वाली है,Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footsteps, p. 52. सिवाय आधा करने की क्रिया के, क्योंकि चीन में दशमलव/षट्दशमलव मिश्रित गणना नहीं थी।

 भाग २ षट्दशमलव अंक प्रणाली में व्यवकलन, गुणन, भाग, वर्गमूल और घनमूल निकालने की क्रियाओं से सम्बन्धित था। चीन में केवल स्थानीय दशमलव अंकगणित था, षट्दशमलव अंकगणित कभी नहीं था।

 अबुल हसन अल-उक्लिदिसी की किताब अल-फ़ुसुल फी अल-हिसाब अल-हिन्दी (द अरिथमेटिक्स ऑफ अल-उक्लिदिसी) के विपरीत, जहाँ योग, व्यवकलन, गुणन और भाग की मूल गणितीय क्रियाओं का वर्णन शब्दों में किया गया है, इब्न लब्बान की पुस्तक हिन्दू-अरबी अंकों में व्यक्त वास्तविक गणना प्रक्रियाएँ प्रदान करती है।

 दशमलव अंकगणित 

 योग 
बाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|छड़ गणित योग
दाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|इब्न लब्बान के अनुसार हिन्दू योग
कुशयार इब्न लब्बान ने दो संख्याओं के योग का विस्तार से वर्णन किया है।

हिन्दू योग, सुन्ज़ी सुआनजिंग में छड़ अंक योग के समान है।Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, p. 47, World Scientific.
क्रिया छड़ गणितहिन्दू गणनाविन्यासदो संख्याओं को दो पंक्तियों में व्यवस्थित करनादो संख्याओं को दो पंक्तियों में व्यवस्थित करनागणना का क्रमबाएँ से दाएँबाएँ से दाएँपरिणामऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैनिचली पंक्ति हटानाबाएँ से दाएँ अंकों को हटाया जाता हैअंक हटाए नहीं जाते
दूसरी पंक्ति के उपचार में एक मामूली अंतर था, हिन्दू गणना में, रेत के पट्ट पर खींचे गए दूसरी पंक्ति के अंक शुरू से अंत तक अपने स्थान पर बने रहते थे, जबकि छड़ गणित में, निचली पंक्तियों की छड़ों को भौतिक रूप से हटा दिया जाता था और ऊपरी पंक्ति में अंकों के हिसाब से जोड़ दिया जाता था।

 व्यवकलन 
बाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|४०० ईस्वी सुन्ज़ी का व्यवकलन कलन विधि
दाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|११वीं सदी का हिन्दू व्यवकलन: ५६२५–८३९
अपनी पुस्तक के तीसरे खंड में, कुशयार इब्न लब्बान ने ५६२५ में से ८३९ घटाने के लिए चरणबद्ध क्रियाविधि प्रदान की है। दूसरी पंक्ति के अंक हर समय अपने स्थान पर बने रहते हैं। छड़ गणित में, गणना के दौरान दूसरी पंक्ति के अंकों को अंकों के हिसाब से हटा दिया जाता था, जिससे केवल परिणाम एक पंक्ति में बचता था।

 गुणन 
बाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|सुन्ज़ी गुणन
दाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|इब्न लब्बान गुणन
कुशयार इब्न लब्बान का गुणन, सुन्ज़ी गुणन का एक रूपान्तर है।
क्रियासुन्ज़ीहिन्दूगुण्यऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैगुणकतीसरी पंक्तिगुण्य के नीचे दूसरी पंक्तिसँरेखणगुणक का अंतिम अंक, गुण्य के पहले अंक के साथगुणक का अंतिम अंक, गुण्य के पहले अंक के साथगुणक पैडिंगछड़ अंक रिक्त स्थानछड़ अंक शैली के रिक्त स्थान, हिन्दू अंक ० नहींगणना का क्रमबाएँ से दाएँबाएँ से दाएँगुणनफलमध्य पंक्ति में रखा जाता हैगुण्य के साथ मिला दिया जाता हैगुणक का खिसकानाएक स्थान दाएँएक स्थान दाएँ

 भाग 
प्रोफेसर लैम ले योंग ने पाया कि कुशयार इब्न लब्बान द्वारा वर्णित हिन्दू भाग विधि पाँचवीं सदी के सुन्ज़ी सुआनजिंग में छड़ गणित भाग के पूर्णतः समान है।Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, p. 43, World Scientific.
बाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|६५६१ को ९ से भाग देने की सुन्ज़ी कलन विधि
दाएँ|अंगूठाकार|150x150पिक्सेल|इब्न लब्बान के अनुसार दशमलव हिन्दू भाग: ५६२५ / २४३
क्रियासुन्ज़ी भागहिन्दू भागभाज्यमध्य पंक्ति परमध्य पंक्ति परभाजकनिचली पंक्ति में भाजकनिचली पंक्ति में भाजकभागफलऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैभाजक पैडिंगछड़ अंक रिक्त स्थानछड़ अंक शैली के रिक्त स्थान, हिन्दू अंक ० नहींगणना का क्रमबाएँ से दाएँबाएँ से दाएँभाजक का खिसकानाएक स्थान दाएँएक स्थान दाएँशेषफलअंश मध्य पंक्ति पर, हर नीचेअंश मध्य पंक्ति पर, हर नीचे
पूर्णतः समान प्रारूप, प्रक्रिया और भिन्न शेषफल के अलावा, इस भाग क्रियाविधि की उत्पत्ति का पता लगाने वाला एक संकेत २४३ के बाद लुप्त ० में है, जिसे वास्तविक हिन्दू अंक में २४३० लिखा जाना चाहिए था, न कि २४३रिक्त; रिक्त स्थान छड़ अंकों (और गिनतारा) की एक विशेषता है।

 २ से भाग देना 
हिन्दू गणना में २ से भाग देना या "आधा करना" दशमलव और षट्दशमलव अंकों के मिश्रण के साथ किया जाता था: इसकी गणना दशमलव अंकगणित की तरह बाएँ से दाएँ नहीं, बल्कि दाएँ से बाएँ की ओर होती थी: पहले अंक ५ का आधा करके २½ प्राप्त करने के बाद, ५ को २ से बदल दें, और उसके नीचे ३० लिखें:

 ५६२२
 ३०

अंतिम परिणामः

 २८१२
 ३०

 वर्गमूल निकालना 
बाएँ|अंगूठाकार|250x250पिक्सेल|२३४५६७ के वर्गमूल (√२३४५६७=३८३https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48aa62d470e8aee6d1cff690036cd0a22ffbd50) के लिए सुन्ज़ी कलन विधि
दाएँ|अंगूठाकार|250x250पिक्सेल|६३३४२ का इब्न लब्बान वर्गमूल (√६३३४२)
कुशयार इब्न लब्बान ने वर्गमूल निकालने की क्रियाविधि का उदाहरण सहित वर्णन किया है:

कुशयार इब्न लब्बान की वर्गमूल निकालने की क्रियाविधि मूलतः सुन्ज़ी क्रियाविधि के समान ही है।
क्रियासुन्ज़ी वर्गमूलइब्न लब्बान वर्गमूलभाज्यमध्य पंक्ति परमध्य पंक्ति परभाजकनिचली पंक्ति में भाजकनिचली पंक्ति में भाजकभागफलऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैऊपरी पंक्ति में रखा जाता हैभाजक पैडिंगछड़ अंक रिक्त स्थानछड़ अंक शैली के रिक्त स्थान, हिन्दू अंक ० नहींगणना का क्रमबाएँ से दाएँबाएँ से दाएँभाजक का दुगुना करना२ से गुणा किया जाता है२ से गुणा किया जाता हैभाजक का खिसकानाएक स्थान दाएँएक स्थान दाएँभागफल का खिसकानाआरम्भ में स्थित, बाद में कोई खिसकाव नहींएक स्थान दाएँशेषफलअंश मध्य पंक्ति पर, हर नीचेअंश मध्य पंक्ति पर, हर नीचेअंतिम हरकोई परिवर्तन नहीं१ जोड़ें
सुन्ज़ी क्रियाविधि का प्रयोग करते हुए अपूर्ण वर्गमूल का सन्निकटन दशमलव भाग में वास्तविक मान से थोड़ा अधिक परिणाम देता है, जबकि लब्बान का वर्गमूल सन्निकटन थोड़ा कम मान देता है, पूर्णांक भाग समान होते हैं।

 षट्दशमलव अंकगणित 

 गुणन 
हिन्दू षट्दशमलव गुणन प्रारूप हिन्दू दशमलव अंकगणित से पूर्णतः भिन्न था। कुशयार इब्न लब्बान का २५ डिग्री ४२ मिनट को १८ डिग्री ३६ मिनट से गुणा करने का उदाहरण खड़े रूपरेखा में इस प्रकार लिखा गया था:

१८| |२५

३६| |४२

बीच में एक रिक्त स्थान के साथ।Ibn Labbān, Kūshyār (1965). Kitab fi usul hisab al-hind [Principles of Hindu Reckoning]. Translated by Levey, Martin; Petruck, Marvin. Madison: University of Wisconsin Press. LCCN 65012106. OL 5941486M.

 प्रभाव 
कुशयार इब्न लब्बान के हिन्दू गणना के सिद्धान्त ने बाद के अरबी अरबी क्रियाविधि विशेषज्ञों पर गहरा प्रभाव डाला। उनके शिष्य अल-नसावी ने अपने शिक्षक की विधि का अनुसरण किया। तेरहवीं सदी के अल्गोरिस्ट, जोर्डनस डी नेमोर के कार्य पर अल-नसावी का प्रभाव था। सोलहवीं सदी तक भी, इब्न लब्बान का नाम अभी भी उल्लेखित किया जाता था।

 सन्दर्भ 

 बाहरी कड़ियाँ 


 हिन्दू-अरबी एवं पारंपरिक चीनी अंकगणित का विकास, चीनी विज्ञान 13.1996, <ID2