ग्रीन का फलन

गणित में, ग्रीन के फलन (Green's functions) रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के हल में आने वाले सहायक फलन (auxiliary functions ) हैं। इनका नाम अंग्रेज गणितज्ञ जॉर्ज ग्रीन के नाम पर पड़ा है। जॉर्ज ग्रीन ने विद्युत तथा चुम्बकत्व का अध्ययन अत्यन्त गणितीय विधि से किया और १८२८ में प्रकाशित एक पुस्तक में इन फलनों के बारे में जानकारी दी। बहुत दिनों तक इस पर लोगों का ध्यान नहीं गया और ग्रीन की मृत्यु के नौ वर्ष बाद लॉर्ड केल्विन ने इसका महत्व समझा और इसे प्रकाशित कराया। 

ग्रीन के फलन बहुत उपयोगी हैं। ये कोई भौतिक संकल्पना नहीं हैं बल्कि एक गणितीय औजार हैं जिनका उपयोग १९वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में क्लासिकल विद्युत्चुम्बकत्व और ध्वनिकी में अत्यन्त सफलतापूर्वक किया गया। हाल के दिनों में इसका उपयोग कण भौतिकी, संघनित द्रव्य भौतिकी, ठोस अवस्था भौतिकी, क्वाण्टम यांत्रिकी तथा अनुप्रयुक्त गणित के  अनेकानेक उपविषयों में गणना के लिये औजार के रूप में किया गया है। Chapter 5 - Green Functions

वास्तव में ग्रीन के फलन एक असमघाती रैखिक डिफरेन्शियल ऑपरेटर की आवेग अनुक्रिया है जो निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों या सीमा शर्तों के साथ किसी डोमेन पर परिभाषित हो।

इसका अर्थ यह है कि यदि L वह रैखिक डिफरेन्शियल ऑपरेटर है, तो

 ग्रीन का फलन G, समीकरण LG = δ का हल है, जहां δ डिराक का डेल्टा फलन है ;

 प्रारंभिक-मूल्य समस्या  Ly = f  का हल (G ⁎ f ) होगा, अर्थात G और f का कॉनवोलुशन। यहाँ G ग्रीन का फलन है।

ग्रीन के फलनों की सारणी
नीचे की सारणी में उन प्रमुख ग्रीन फलनों का संक्षिप्त विवरण दिया गया है। ये ग्रीन फलन  उन सभी डिफरेन्शियल ऑपरेटर  के लिये दिये गये हैं जो प्रायः प्रयुक्त होते हैं। जहाँ , ,  हेविसाइड स्टेप फलन (Heaviside step function) है,  एक बेसेल फलन है,  प्रथम प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है और  द्वितीय प्रकार का संशोधित बेसल फलन हैsome examples taken from Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001.  (German) जहाँ समय () प्रथम कॉलम में आया हुआ है, वहाँ उन्नत ग्रीन फलन दिया हुआ है।

 डिफरेंशियल ऑपरेटर    ग्रीन का फलन     अनुप्रयोग के उदाहरण              where       with     1D underdamped harmonic oscillator  where       with     1D overdamped harmonic oscillator  where     1D critically damped harmonic oscillator 2D Laplace operator        with     2D Poisson equation  3D Laplace operator        with      Poisson equation Helmholtz operator     stationary 3D Schrödinger equation for free particle   in  dimensions    Yukawa potential, Feynman propagator     1D wave equation     2D wave equation D'Alembert operator      3D wave equation     1D diffusion     2D diffusion     3D diffusion       with      1D Klein–Gordon equation       with      2D Klein–Gordon equation       with      3D Klein–Gordon equation       with      telegrapher's equation       with      2D relativistic heat conduction       with      3D relativistic heat conduction

सन्दर्भ

इन्हें भी देखें
ग्रीन का प्रमेय

श्रेणी:गणितीय भौतिकी
श्रेणी:भौतिकी के समीकरण
श्रेणी:अवकल समीकरण