अतिपरवलयिक फलन

गणित में, अतिपरवलयिक फलन () ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

हाइपरबोलिक साइन "sinh" ( या ),(1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, , p. 1386 और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (),Collins Concise Dictionary, p. 328 मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" ( या ),Collins Concise Dictionary, p. 1520 हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" ( या ), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" ( या ),Collins Concise Dictionary, p. 1340 तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" ( या ),Collins Concise Dictionary, p. 329 व्युत्पन्न हुए हैं।

परिभाषा

150px|thumb|sinh, cosh and tanh
150px|thumb|csch, sech and coth
150px|thumb|(a) cosh(x) is the average of ex and e−x
150px|thumb|(b) sinh(x) is half the difference of ex and e−x

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-
 Hyperbolic sine:

 Hyperbolic cosine:

 Hyperbolic tangent:

 Hyperbolic cotangent:

 Hyperbolic secant:

 Hyperbolic cosecant: 

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल  हैं-

such that 
 and .

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं-

such that  for the hyperbolic cosine, and  for the hyperbolic sine.

हाइपरबोलिक फ़ंक्शन को समिश्र तर्कों वाले त्रिकोणमितीय फलन से भी निकाला जा सकता है:
 Hyperbolic sine:

 Hyperbolic cosine:

 Hyperbolic tangent:

 Hyperbolic cotangent:

 Hyperbolic secant:

 Hyperbolic cosecant:

where i is the imaginary unit with the property that 

उपरोक्त परिभाषाओं में समिश्र रूप ऑयलर का सूत्र से प्राप्त होते हैं।
सन्दर्भ

श्रेणी:फलन